Упрощение задачи о собственных значениях

Итак, задача устойчивости цилиндрической оболочки сформулирована как краевая задача на собственные значения для системы дифференциальных уравнений с частными производными (6.4.1) — (6.4.5) при краевых условиях (6.4.6) и условии 2л -периодичности решения по угловой координате. Наименьшее из собственных значений этой задачи определяет критическую интенсивность внешней нагрузки, а соответствующая ему собственная вектор-функция — форму потери устойчивости. Параметрические члены уравнений нейтрального равновесия (6.4.1) в общем случае переменны и определяются путем интегрирования линейной системы уравнений осесимметричного изгиба (6.2.14) при краевых условиях (6.2.9). В выражениях для элементов матриц А, В коэффициентов этой системы (см. параграф 6.2) следует выполнить упрощения, соответствующие принятым допущениям о тонкостенности и пологости оболочки, а вектор-столбец / для рассматриваемого ниже случая нагружения оболочки равномерно распределенным внешним давлением интенсивности Р следует взять в виде [c.185]

В общем случае замена переменных, конечно, не может решить задачу. Однако в данном случае замена может привести к существенным упрощениям. Для этого нужно прежде всего выделить устойчивые и неустойчивые моды. Мы будем называть моду /, k устойчивой, если ее собственное значение / k) имеет отрицательную действительную часть. В таком случае малое возмущение будет затухать и система будет возвращаться в исходное состояние в случае лазера, например, система будет возвращаться к решению [c.183]

При описании формы контура центральной части линии [14] вводится ударное приближение, что приводит к дисперсионному контуру. Для крыла линии [37, 32, 48] сразу же решается третья из ранее перечисленных задач, так как появляется возможность оценить интервал по t методом стационарной фазы. Это влечет за собой радикальное упрощение и квантовой и классической задач. Первая сводится только к решению уравнения (эквивалентного золотому правилу Ферми) En t)—Em t) = fi(o с Еп, Ещ — собственными значениями гамильтониана взаимодействующих молекул. [c.188]

Этот оператор обычно называют КВ-гамильтонианом молекулы потому, что в молекуле существуют два физически разных типа ядерных движений и соответственно в гамильтониане присутствуют колебательные ((//, и вращательные (/х, Iу, ]г) операторы, имеющие разные математические свойства. Большинство работ по методу КП связано с проблемой упрощения задачи на собственные значения для гамильтониана При этом преобразование (2.10) выбирают обычно таким образом, чтобы сделать процесс нахождения КВ-энергии молекулы Еун двухступенчатым, последовательно концентрируя внимание вначале на колебательной , а затем на вращательной задаче. [c.33]

Упрощение задачи, возникающее при переходе от дифференциального уравнения (2.1) к уравнению (2.15), похоже на разделение переменных в линейном случае. Вместо уравнения для вектор-функции со значениями в пространстве V, мы пришли к уравнению в самом пространстве V. Получилась своего рода задача на собственные значения, в которой роль параметра играет элемент а алгебры Ли группы симметрии С. [c.249]

Подставляя в уравнение (2.28) какой-либо конкретный профиль скорости U z), мы придем к весьма сложной задаче на собственные значения, решение которой требует выполнения громоздких расчетов, В целях упрощения этих расчетов естественно начать с попытки воспользоваться экспериментальными данными, согласно которым критическое число Рейнольдса для большинства плоскопараллельных потоков очень велико. Следовательно, можно ожидать, что при числах Рейнольдса, близких к критическому, слагаемые в правой части уравнения Орра — Зоммерфельда (2.28), описывающие действие сил вязкости на малое возмущение, будут малы по сравнению со слагаемыми в левой части. Поэтому можно попробовать сперва считать жидкость идеальной, т. е. пренебречь правой частью уравнения (2.28), и рассмотреть укороченное уравнение [c.118]

Упрощение задачи о собственных значениях [c.50]

Для упрощения доказательства отклонения собственных значений задач (2.22), (2.23) гл. II удобно сдвинуть на единицу спектры соответствующих операторов. Поэтому будем рассматривать следующие задачи на собственные значения для операторов вида (2.60), (2.61) гл. II [c.225]

Будем искать (пока формальное) асимптотическое разложение собственного значения Я (е) и соответствующей ему собственной функции uj x) задачи (8.1) в виде (индекс k для упрощения записи опускаем) [c.286]

В дальнейшем совокупность значений реализующая минимум функции В, называется минимизирующей формой. Дж. Рэлей, таким образом, предложил способ построения минимизирующей формы для прямого решения задачи о нахождении минимального значения функции В. Вместе с теоремой о минимальных свойствах собственных частот, это предложение составляет содержание принципа Рэлея. Основанный на этом принципе способ приближенного определения основной частоты называется методом Рэлея. Точность получаемого по методу Рэлея значения первой частоты даже при весьма упрощенном выборе минимизирующей формы и возможность применения этого метода в графической форме сделали его одним из наиболее употребительных способов определения основной частоты в технических расчетах. Его недостатком является отсутствие каких-либо данных для суждения о допускаемой при пользовании той или иной формой статической деформации погрешности в определении основной частоты. Впрочем, когда имеется возможность построения некоторой закономерной последовательности форм, приближающихся к основной форме, вместе с тем может быть установлена и верхняя граница погрешности определения основной частоты по методу Рэлея . [c.189]

Совмещение звеньев. Сочетание методов конечных элементов и метода случайного поиска позволяет осуществить синтез возбуждающих зон поверхностей активных звеньев, входящих в две (или более) кинематические пары. Совмещение звеньев кроме очевидного упрощения всей конструкции повышает точность задания координат, так как число контактирующих поверхностей уменьшается (рис. 2.26). Задача синтеза активного звена сводится к определению возбуждающих зон, приводящих к независимому перемещению по любому из возможных направлений. При этом происходит резонансное взаимодействие изгибных форм колебаний преобразователей (при соблюдении требования близости по значению собственных частот) с одновременным наложением продольных и сдвиговых колебаний преобразователей. [c.53]

Дальнейшее упрощение задачи при п = 0 связано с тем, что, как было установлено эмпирически, а затем и доказано Ии (1972), системе (2.104а) (в отличие от (2.104)) отвечают лишь чисто мнимые собственные значения о). Таким образом, здесь выполняется принцип смены устойчивости, все волновые возмущения с п = 0 стационарны и, значит, при расчете нейтральной кривой можно с самого начала считать, что о) = 0. [c.140]

При описании формы контура центральной части линии [9, 20] главное упрощение — замена 5 матрицей рассеяния тотчас же приводит к дисперсионному контуру. Для крыла линии сразу же решается третья из ранее перечисленных задач, так как появляется возможность оценить интеграл по t методом стационарной фазы. Это влечет за собой радикальное упрощение и квантовой и классической задач. Первая сводится только к решению уравнения (эквивалентного золотому правилу Ферми) En(t) — Em(t) = где Е П, Егп — собственные значения гамильтониана взаимодействующих молекул. Для классической задачи уже не нужно знать всю траекторию — достаточна ее малая часть около корня последнего уравнения, где возможна аппроксимация прямолинейным участком. Наконец, в рассматриваемой асимптотике система уравнений для Ф [c.86]

Главный вклад Рэлея в нашу науку содержится в его книге Теория звука ( Tie theory of sound ) ), В первом томе этой замечательной книги исследуются колебания струн, стержней, мембран, пластинок и оболочек. Автор демонстрирует те преимущества, которые может извлечь инженер из применения понятий обобщенных сил и обобгценных координат. Введение этих понятий и использование теоремы взаимности Бетти—Рэлея внесло большое упрощение в расчеты статически неопределимых систем. Труд этот охватывает не только собственно звуковые колебания, но и колебания не акустические. Автор обращает внимание на те удобства, которые может представить применение нормальных координат, и показывает, каким образом, приравнивая скорости нулю, можно извлекать решения для статических задач из исследования колебаний. Таким путем он находит прогибы для стержней, пластинок и оболочек, выражая их через нормальные функции эта методика приобрела в технике большое значение. [c.404]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...