Дискретные собственные значения

Однородная граничная задача, сформулированная для конечного интервала (а, Ь). в случае регулярных в этом интервале коэ-фициентов уравнения Штурма — Лиувилля, при р(лг)>0, г(дг)>0, имеет бесконечную последовательность дискретных собственных значений (точечный спектр), а принадлежащая им система собственных функций представляет замкнутую полную ортогональную систему с весом р х) (см. стр. 263). В случае 1-й, 2-й и 3-й краевых задач собственные значения — простые. [c.240]

Однородное стационарное уравнение (3.108), дополненное граничным условием (3.110), имеет бесчисленный спектр дискретных собственных значений v и соответствующих собственных функций oj), т. е. [c.96]

Получим теперь дисперсионное соотношение, с помощью которого можно определить дискретные собственные значения tio-Интегрируя (10.8) по ц пределах от —1 до 1 и используя ус-> ловие нормировки (10.6), получаем [c.381]

При (й = 1 дискретные собственные значения т1о становятся равными бесконечности, а обе дискретные собственные функции ф( т]о, fi) вырождаются в одну [c.381]

В табл. 10.1 приведены дискретные собственные значения rjo при О < < 1. [c.382]

Здесь Р означает, что интегрирование 1/(т) — ]j,) по tj или ц должно производиться в смысле главного значения Коши, а дискретные собственные значения т]о представляют собой два корня уравнения [c.456]

Дискретные собственные значения, дисперсионное соотношение 381 [c.606]

Этот спектр совершенно отличен от прежнего. Вместо того чтобы полу шть по меньшей мере пять дискретных собственных значений (как в гидродинамическом случае), мы имеем теперь непрерывный спектр для всех значений к. Кроме того, собственные функции представляют собой сингулярные функции Дирака. [c.101]

В (3.13) II к II означает норму в гильбертовом пространстве .) Действительно, если существуют дискретные собственные значения между значением Я = О (которому соответствуют собственные функции и vo, то положим [х равным наименьшему из этих собственных значений, р, = в противном случае примем х = vo. [c.89]

Рис. 5. Кривая 7, разделяющая плоскость 5 на область, где нет дискретного спектра и (внешняя область), и область с двумя дискретными собственными значениями.

Рис. 38 Кривая, ограничивающая область, в которой существуют два дискретных собственных значения.

Использование обобщенных аналитических функций, кратко описанное в разд. 10, приводит к интересному явному представлению непрерывного спектра, заполняющего двумерную область. Однако непрерывные спектры обычно не дают четкой информации о результатах, которые следует ждать из эксперимента. Фактически может оказаться, что из экспериментальных данных вытекает отчетливо выраженное собственное значение даже в том случае, когда теория предсказывает непрерывный спектр. Мы уже сталкивались с подобной ситуацией в разд. 7 при исследовании плоских волн сдвига с помощью модельного уравнения БГК- Там было показано, что дискретные собственные значения могут быть получены посредством аналитического продолжения соотношения, определяющего дискретный спектр (так называемого дисперсионного соотношения ). Для модели, рассмотренной в разд. 10, дисперсионное соотношение дается формулой (10.9), или формулой [c.367]

Здесь iy = Pj + iqj - дискретные собственные значения. Тогда точное решение для формы одиночного солитона 0 1) записывается в декартовых координатах как [c.312]

Понятие коллапса волновой функции естественно возникает при измерении квантовой величины согласно основному принципу квантовой механики такое измерение с некоторой вероятностью "выдает" только одно из дискретных собственных значений соответствующего оператора. Можно сказать, что при "информационном соприкосновении" квантового объекта с классическим неравновесным окружением, например с прибором, у его волновой функции сохраняется только одна проекция, а остальные компоненты уничтожаются. Этот процесс [c.346]

Там, где у У (Е) простые полюсы, Я имеет дискретные собственные значения ( 3). То обстоятельство, что как Я, так и Яо имеют непрерывный спектр, простирающийся от == О до = оо, приводит к тому, что О ( ) и (Е) в этой области имеют разрезы (гл. 9, 4). Другими словами, так как Яо не имеет никаких других собственных значений, кроме собственных значений, принадлежащих непрерывному спектру, простирающемуся от = Одо = оо, то О ( ) является аналитической функцией Е, регулярной всюду в любой конечной области плоскости Е с разрезом от = О до = оо. Если Я не имеет связанных состояний, то такими же свойствами обладает и ( ) если Я имеет связанные состояния с энергиями то при Е = Е функция Ц/ (Е) имеет простые полюсы ( 3). Поскольку как С (Е), так и ( ) имеют разрезы от = О до = оо, то их значения на положительной части действительной оси Е различны в зависимости от того, откуда мы подходим к действительной оси — сверху или снизу. В первом случае мы находимся на верхнем, а во втором случае — на нижнем береге разреза. Эти два различных предельных значения равны (Е) и С ( ) или (Е) и, 9 ( ). Таким образом, для 1гп Е — = 0 и Re > О имеем [c.172]

Обозначим дискретные собственные значения оператора Н через [c.344]

Не существует дискретных собственных значений а , а следовательно, нет и ао. [c.35]

Число дискретных собственных значений может быть бесконечным, так что возникают проблемы, касающиеся сходимости ряда (1.46). [c.35]

Первая попытка обстоятельного рассмотрения оператора переноса связана с односкоростной задачей при изотропном рассеянии для бесконечной пластины без отражателя [21]. Первоначально предполагалось, по аналогии с другими проблемами математической физики, что существует бесконечный набор дискретных собственных значений уравнения (1.47) и что соответствующие собственные функции образуют полную систему. Точное решение уравнения (1.45) дало, однако, конечный (ненулевой) набор действительных собственных значений, для которых > —ov и, кроме того, непрерывный спектр для всех а,. < —ov (как в третьей ситуации из рассмотренных в предыдущем разделе). Вклад непрерывного спектра спадает, однако не медленнее, чем ехр (—ovt). Так как всегда существует одно или несколько дискретных собственных значений, асимптотическое решение при больших временах будет [c.35]

Возможное физическое объяснение наличия непрерывного спектра оператора переноса следующее [231 нейтроны, перемещающиеся строго параллельно граничным поверхностям пластины, могут улететь как угодно далеко без столкновений с ядрами, не покидая пределов пластины. Плотность нейтронов, перемещающихся строго параллельно границам, будет убывать как ехр (—ovt), т. е. так же, как вклад непрерывного спектра. Подтверждается это тем, что оператор переноса в случае односкоростной задачи для сферы без отражателя не имеет непрерывного спектра, а только конечное число действительных дискретных собственных значений [24]. [c.36]

Проводился также анализ уравнения переноса для конечной (ограниченной) геометрии с учетом энергетической зависимости [25]. В предположении, что скорость нейтрона не может быть равна нулю и ядро рассеяния интегрируемо и ограничено, было найдено, что при больших временах решение уравнения переноса определяется дискретными собственными значениями. Асимптотически решение уравнения переноса пропорционально ехр (аоО, так что в этом достаточно общем случае критическая система есть такая, для которой ао = 0. При некоторых условиях на ядро рассеяния, которые практически всегда выполняются для систем, содержащих делящиеся изотопы, существует по крайней мере одно дискретное собственное значение, т. е. а . Хотя этот результат не был подтвержден в общем случае, разумно предположить, что всегда существует действительное ао и что не отрицательно. [c.36]

Итак, суш,ествуют два дискретных собственных значения и —Уд, которые удовлетворяют уравнению (2.16), когда V ф х. Соответствуюш.ая собственная функция определяется уравнением (2.19) [c.56]

Ниже будет показано, что, вообще говоря, существуют и другие решения уравнения (2.12), но те, которые описаны уравнением (2.22), являются определяющими на больших расстояниях от источников и границ. Они называются асимптотическими решениями, а Фо — асимптотическим потоком. Прежде чем вернуться к уравнению (2.16), рассмотрим асимптотические (дискретные), собственные значения Уд. [c.56]

Итак, помимо двух дискретных собственных значений, которые удовлетворяют уравнению (2.20), существует континуум собственных значений (и соответствующие им собственные функции) для всех V, лежащих между —1 и 1. Решение уравнения (2.12) для —1 х 1 может быть теперь представлено в виде [c.58]

При использовании всего определителя можно получить более точное значение асимптотической длины релаксации. В этом случае появляются дополнительные корни определителя и, следовательно, дополнительные дискретные собственные значения v [49]. Дальнейшее обсуждение асимптотической длины релаксации содержится в работе [50]. [c.83]

Используя интегральное уравнение (1.37) в плоской геометрии, найти дискретные собственные значения разд. 2.2.2. Предложить другие способы решения поставленной задачи (см. работу [67]). [c.97]

Собственное значение К- Условия существования дискретных собственных значений можно получить в связи с экспериментами по определению длины диффузии нейтронов, если переписать уравнение (7.89) в виде [c.293]

Представляют интерес такие условия эксперимента, при которых дискретное собственное значение, т. е. длина релаксации, может или не может существовать. В соответствии с уравнением (7.88) дискретное собственное значение означает, что на расстояниях, далеких от источника, плотность нейтронов будет спадать приблизительно по закону ехр ( — Кх) с одинаковым показателем экспоненты для всех энергий нейтронов, представленных в спектре. Этот асимптотический (или равновесный) спектр не зависит от нейтронного источника. Так как плотность нейтронов с энергией Е не может спадать быстрее, чем по закону ехр ( — сг ( ) х), то спектр как целое не может спадать быстрее, чем ехр — [сг( )мин ] > и это объясняет предел в соотношении (7.94). [c.293]

Асимптотический спектр, не зависящий от источника, предполагает интенсивный обмен энергией между нейтронами и рассеивающими ядрами, что может привести к появлению равновесного спектра. Если какой-либо сильный эффект препятствует достижению равновесия, то следует ожидать, что равновесный спектр не будет установлен и, значит, не будет дискретных собственных значений. Укажем три таких эффекта а) непосредственный вклад в спектр [c.293]

Это решение удовлетворяет граничному условию (13.1556), так как в решение однородного уравнения не вошел член, который расходится на бесконечности. Здесь 9(vo, — дискретная собственная функция и ф(у, х)— непрерывная собственная функция, определенные в гл. 10 [см. РО.8) и (10.16)], а два дискретных собственных значения vo являются корнями дисперсионного соотношения (10.9). Два коэффициента разложения (vo, 5 ) и /4(v, ) находятся из условия, чтобы решение (13.157) удовлетворяло граничному условию (13.155а), с последующим использованием свойства ортогональности собственных функций и различных интегралов нормировки, как было описано в гл. 10 и И или в работе [43]. [c.569]

Следующий вопрос заключается в том, существуют ли в действительности наряду с непрерывным спектром дискретные собственные значения (кроме ь = 0). Для случая твердых сфер положительный ответ на этот вопрос дали Кущер и Уильямс [23], которые пришли к такому выводу при помощи метода Ле-нера — Винга [24], использованного ранее в теории переноса нейтронов. Метод основан на введении искусственного пара- [c.210]

Кривые плоскости 5, ограничивающие область существования дискретных собственных значений, в случае БГК-мо<дели были исследованы Р. Мэсоном [28]. [c.354]

В разделе 2.2.2 мы определили координатное представление собственного энергетического состояния гармонического осциллятора. Соответствующее граничное условие — затухание волновой функции в классически недоступной области — отбирает из всех возможных решений соответствующего уравнения Шрёдингера волновую функцию данной энергии. Поэтому граничные условия в координатном пространстве приводят к дискретности собственных значений энергии и определяет их величину. [c.110]

Допустим теперь, что мы рассматриваем такой гамильтониан, что несмотря на неэрмитов характер оператора Ша при вещественных значениях Е, превышающих порог отдельных каналов рассеяния в группе каналов , оператор S a (Ео) имеет дискретное собственное значение Eq. Тогда операторная функция ) имеет полюс в точке 0 и, согласно (16.101), в этой же точке имеется полюс и у функции (Е). Это означает, что Еа является энергией связанного состояния оператора Я. которое утоплено в непрерывном спектре. Подобное состояние невозможно обнаружить при рассеянии оно нормируемо, и, следовательно, его волновая функция асимптотически обращается в нуль. [c.459]

Здесь Uo = Итах/(6/3), а = 1/Д = (итах/12/3) / . Дискретные собственные значения уравнения Шредингера даются формулой (см. [14], 23, задача 4) [c.401]

Определение энтропии дано соотношением (9.20). При абсолютном нуле температуры система находится в основном состоянии, т. е. в состоянии с наименьшей энергией. Для системы с дискретными собственными значениями энергии соотношение (9.20) означает, что при абсолютном нуле 5 = й 1п О, где О — вырождение основного состояния. Если основное состояние не вырожд,ено, то при абсолютном нуле температуры 5=0. Если основное состояние вырождено, но О ЛГ, где N есть полное число молекул в системе, тогда при абсолютном нуле температуры 5 Л 1п ЛГ. В обоих случаях справедлив третий закон термодинамики, так как при абсолютном нуле энтропия на молекулу стремится к нулю (при ЛГ—>-оо). [c.212]

Выше предполагалось, что скорость нейтрона отлична от нуля. Если эго допущение не выполняется, то для некоторых упрощенных вариантов ядра рассеяния, встречающихся в теории термализации, было найдено, что существует только конечное число дискретных действительных собственных значений плюс непрерывный спектр для всех а с существенно отрицательными действительными частями [26]. Кроме того, для достаточно малых систем не существует дискретных собственных значений (27). Но все эти выводы, относящиеся к случаю, когда скорость нейтрона может быть равна нулю, практически не имеют отношения к проблеме критичности. Как отмечено в разд. 1.1.2, уравнение переноса не имеет смысла для нейтронов достаточно малой энергии (большие X). Кроме того, системы, которые так малы, что не имеют дискретных собственных значений, заведомо подкритичны для больших систем ац существует. [c.36]

Дискретные собственные значения V уравнения (2.92) можно найти, если результат его интегрирования по .I приравнять единице. Это было пределано для некоторых особых случаев. В работе [52] доказана полнота системы дискретных и непрерывных собственных функций. [c.84]

Еш,е одно замечание касается того, что суш,ествуют некоторые пределы, превзойти которые собственные значения не могут. Собственные значения, превосход71ш,ие эти предельные величины, принадлежат непрерывному спектру п связаны с сингулярными собственными функциями, такими, как рассмотренные в разд. 2.2.3. Для полного решения задачи с импульсным источником нейтронов или нейтронными волнами (синусоидальный источник) эти сингулярные собственные функции следовало бы принимать во внимание, но для асимптотических решений (по времени и пространству) достаточно дискретных собственных значений при условии, что они существуют. [c.293]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...