Радиус сходимости ряда

На основе полученных численных оценок можно установить радиусы сходимости ряда (6. 8. 77) по параметрам 8 и X [1011 [c.288]

Если ряд (с1), сходится при достаточно малых по абсолютным величинам значениях р, то ряд (Ь) также сходится на некотором интервале действительных значений С. Определить радиус сходимости ряда вида (Ь) можно на основании теории аналитических функций. Следует заметить, что коэффициенты ряда (Ь) — периодические функции переменных с периодом 2п. [c.222]

Внутри сферы радиуса сходимости ряда (12.32) на плоскости = о функция ф обращается в нуль. Однако это не означает, что ф = о во всех точках плоскости = 0. Если возможно аналитическое продолжение функции ф, то при достаточно больших 5, ц на плоскости = 0 могут появиться части плоскости = о, на которых ф =/= 0 при подходе к этой части плоскости = о с разных сторон значения ф будут отличаться знаком. Область 3) может быть многолистной, на плоскости С = 0 могут появиться особые точки и т. п. [c.175]

Иногда внутренний радиус сходимости ряда Лорана бывает равен нулю, т. е. областью сходимости является круг с выброшенной центральной точкой. [c.198]

Если в ряде Лорана имеется лишь конечное число членов с отрицательными степенями г — а, то внутренний радиус сходимости ряда Лорана обязательно равен нулю. [c.198]

Эти уравнения решаются с помощью ряда, коэффициенты которого представляют собой функции от параметра теплоотдачи Sq. Методы численного интегрирования решения могут быть распространены за область радиуса сходимости ряда. Детально рассмотрены два частных случая случай малой интенсивности теплоотдачи, когда температура поверхности тела весьма незначительно отличается от температуры изолированного тела (So O), и случай интенсивного теплообмена, когда температура поверхности тела имеет тот же порядок величин, что и температура внешней границы пограничного слоя (So l). [c.101]

Заметим, что этот ряд сходится при Я, < 1/)/ 2, тогда как разложения (II.3), (II.4) — при А,< 1. Последний пример показывает, что радиус сходимости ряда (II.9) может быть меньше радиусов сходимости разложений (II.3) — (II.5), на основе которых строится решение интегрального уравнения (П.1). [c.45]

Из условия сходимости ряда (1.44) получаем, что решение интегрального уравнения (1.43) изложенным методом может быть получено при Л > 2/уо, где уо — радиус сходимости ряда в (1.44). [c.43]

Радиус сходимости ряда 36 550 J 33e e He векторов 10 [c.725]

Из всего изложенного ранее следует, что ряд Тейлора в точке Ь функции /(г) сходится внутри круга с центром в точке Ь, внутри которого функция /(г) аналитична. Таким образом, радиус сходимости ряда Тэйлора совпадает с расстоянием от точки Ь, в которой ищется разложение, до ближайшей от нее особой точки функции /(г), в которой [c.532]

Радиус сходимости ряда [c.213]

Теорема 1 2 не дает возможности определить область сходимости, так как ряд для Р(а,х) здесь сходится при любом а, откуда следует только, что радиус сходимости ряда конечен. [c.48]

Аналогичным способом можно определить последующие коэффициенты разложения в формуле (13.15). Радиус сходимости ряда (13.15) зависит от характеристики среды а = а(е) и от характера изменения давления на конце х == 0. Ошибку вычислений, вытекающую из принятия конечного числа членов разложения (13.15), можно оценить следующим способом. Принимая форму ударной волны в виде, например, двух членов разложения (13.15), вычислим обратным путем (подобно тому, как это сделано в п. И для случая волны разгрузки, когда сг"(е) < 0) изменение давления на конце стержня, отвечающее заданной [c.102]

Рассмотрение проводится наиболее просто, если допустить, что К — вполне непрерывный оператор. В этом случае радиус сходимости ряда (9.3) определяется наибольшими по величине собственными значениями оператора К, т. е. наименьшими по величине характеристическими значениями. (В противоположность собственным значениям величина у называется характеристическим значением интегрального ядра К, если существует такой нормируемый вектор Ф, что уКФ = Ф.) Число таких значений (одинаковых по величине) всегда конечно. Ситуацию, когда имеется несколько одинаковых собственных значений, можно, вообще говоря, рассматривать как исключение. Поскольку радиус конечен (так как К — вполне непрерывный оператор, то он обязательно ограничен), то радиус сходимости ряда (9.3) всегда отличен от нуля, т. е. ряд сходится, если только у достаточно мало. С другой стороны, если ряд (9.3) сходится при всех конечных у, то он является целой аналитической функцией у и спектр оператора К (этот спектр не может быть пустым, если К ограничен и всюду определен см. [824], стр. 261) состоит только из точки а = 0. [c.224]

Вполне непрерывные ядра и их собственные значения. Если теперь предположить, что К — вполне непрерывный оператор, то радиус сходимости ряда (9.3) просто равен наименьшему по величине характеристическому значению оператора К- Поскольку ядро К = G (Е) Н зависит от энергии Е, то, вообще говоря, от энергии будет зависеть и каждое из его характеристических и собственных значений. Каждое собственное значение а Е) ядра К в то же время отвечает полюсу резольвенты Е — Яо — уН ) оператора Яо уН при Y — 1/а. Если Е изменяется от —оо до +оо, то точки, соответствующие каждому собственному значению (и каждому характеристическому значению), описывают траектории в комплексной а-плоскости. Поскольку [c.225]

Сходимость борновского ряда. Вопрос о сходимости борновского ряда для функции Грина У (Е) при фиксированной энергии Е может быть теперь решен просто в зависимости от того, имеет ли оператор К (Е) какие-либо собственные значения а Е) вне круга единичного радиуса. Если нет, то радиус сходимости ряда (9.3) больше единицы и борновский ряд сходится. Если вне круга единичного радиуса есть собственные значения а, то радиус сходимости [c.227]

Пусть радиусы сходимости рядов (8.35) равны р. Тогда все дальнейшие рассуждения, основанные на формулах (8.34), (8.35), будут по крайней мере иметь смысл при X > 2р . [c.100]

Следовательно, ряд (55) совпадает при С, к 12 с рядом (58), если положить в первом г = ег. Так как степенной ряд (58) сходится при е < р и расходится при е > р и так как радиус сходимости ряда (55) при = я / 2 равен р (я / 2) по определению, то доказательство формулы (53г) можно считать законченным ). [c.261]

Так как радиус сходимости ряда (12.55) равен единице, то при вьшоде (12.57) контур интегрирования должен проходить в области I < 1 < 1. Чтобы удовлетворить этому требованию, точку <7 = 1 обойдем в IV квадранте по полуокружности достаточно большого радиуса и снова вернемся на кон-тур 7 (см. рис. 12.2). Поскольку подынтегральная функция не имеет полюсов на верхнем листе, переход к такому пути интегрирования производится беспрепятственно. [c.265]

Наша трактовка диаграммных методов в статистической механике беспорядка замещения лишь в малой степени воздает должное весьма обширному, быстро развивающемуся и сложному разделу теоретической физики. Однако при более близком знакомстве с ним (см. особенно подробный обзор [1, т. 3]) читателя захлестывает обилие сугубо математических теорем из теории графов, аналитических приемов определения коэффициентов разложения и радиусов сходимости рядов, а также численных результатов для различных физических характеристик тех или иных моделей. Большая часть этого материала представляет лишь технический интерес, будучи связана в основном со вспомогательными вопросами, которые приходится решать при попытках раз- [c.233]

Функция f (х) называется аналитической, если в окрестности каждой точки она может быть разложена в степенной ряд с отличным от нуля радиусом сходимости. [c.20]

В теории дифференциальных уравнении доказывается сходимость рядов, расположенных по степеням параметров, определяемых начальными условиями. Сходимость эта, вообще говоря, не является равномерной относительно независимой переменной (в механике — времени), т. е. радиус сходимости степенного ряда убывает с ростом интервала, в котором рассматривается изменение независимого переменного. Если известно заранее, что искомое решение является периодическим и тем самым интервал изменения независимой переменной фиксируется величиной периода, то, согласно сказанному, всегда может быть указано такое достаточно малое значение параметра, чтобы ряд, представляющий решение, был равномерно сходящимся относительно независимой переменной. [c.505]

По определению этот ряд имеет отличный от нуля радиус сходимости г. Функция ) К ) оператора Вольтерра определяется следующим образам [c.585]

Вольтерра доказал следующую теорему. Если степенной ряд имеет отличный от нуля радиус сходимости, то операторный ряд, получающийся из него заменой переменной оператором с ограниченным ядром К, сходится всюду. Операторный ряд мы будем называть сходящимся, если ряд для его ядра сходится абсолютно. Мы не будем здесь приводить доказательство этой теоремы, которое можно найти, например, в книге Работнова [И]. Заметим, что условие ограниченности ядра можно заменить условием ограниченности его итераций, начиная с некоторого номера. Поэтому теорема справедлива для слабо сингулярных ядер типа дробно-экспоненциальных. Будем называть ограниченными такие операторы, которые удовлетворяют условию [c.585]

Очевидно, что этот ряд имеет тот же радиус сходимости, что и исходный ряд для функции f(x). В частности, из формулы (17.4.6) следует, что из интегрального уравнения (17.1.5) при условии, что ueG, вытекает такая величина предельного значения переменной v [c.586]

Степенной ряд сходится абсолютно для всех значений х, удовлетворяющих неравенству ) л — 1 < р, где р —радиус сходимости степенного ряда, который определяется по формулам [c.151]

На границах промежутка сходимости (а — р, а 4- р) ряд может сходиться или расходиться. Всякий степенной ряд с радиусом сходимости р > О есть равномерно сходящийся на любом отрезке, принадлежащем промежутку его сходимости. [c.151]

Итак, предположим, что начало координат лелсит на поверхности, определенной уравнением (j). Уравнение (j) не налагает каких-либо ограничений на полярный радиус р. Следовательно, поверхность, определенная уравнением (j), может быть замкнутой и незамкнутой. При условии (j) нельзя обратить ряд (d) радиус сходимости ряда (li) при этом равен нулю, а функция V не будет знакоопределенной и даже может не быть знакопостоянной. Знак V в точках, лежащих на поверхности (j) достаточно близко от начала координат, зависит от знака Уз- Следовательно, в малой окрестности начала координат функция V может иметь как положительное, так и отрицательное значение. [c.223]

Радиационные пароперегреватели 453, 455 Радикал углеводородный 77 Радиус сходимости ряда 36 Размерности механических и тепловых величин 54 Растворимость газов, жигко-стей и твердых тел 239, 240, 241 Растворы бинарные идеальные 243 [c.725]

Интересно, сравнить это поведение с поведением соответствующих фервш-функций (j), (j). Они также могут быть представлены в виде рядов (5.4.22), (5.4.23), но теперь члены ряда знакопеременны. Радиус сходимости рядов также равен = 1, но эта точка не является критической. Функция, представленная рядом, может быть аналитически продолжена в область J > 1. Последнее ясно видно из того, что в интегралах типа (5.7.3), (5.7.4) теперь стоит знаменатель + 1), который не обращается в нуль для положительных значений j. Следовательно, функции существуют для всех J в области О < j < схз. [c.200]

ЧТ0 и следовало доказать. Это локальный результат, так как радиус сходимости рядов для №> = Я(° )( ), по-виднмому, не превосходит величины Яо, определенной формулой (7.74). Действительно, для г вещественных, а не чисто мнимых - -г(5 е) имеет ненрерывныр спектр, который достигает нуля при 2 = = Яо. По этой же причине следует ожидать, что для ноте.н- [c.229]

Рассмотрим вопросы сходимости рядов (6)— (10). Ввиду того, что эти ряды ыосят характер степенных, в случае гидродинамической задачи для внешности шара с радиусом Во ряды при п>0 сходятся всюду в области В > Во, если опи сходятся при В = Во. Таким образом, если с помощью представлений (6) —(10) оказывается возможным удовлетворить граничным условиям иа сфере В == Во, то указанные представления будут решениями уравнений Павье — Стокса везде в рассматриваемой области. Остается выяснить, существует ли ненулевой радиус сходимости рядов. Пусть Вп, Сп, Оп — интенсивности соответствующих мультиполей, причем Вп, Сп, Дп1<С /ге , а>1, 0<С<°о, а расход для простоты положим равным нулю. Случай с ненулевым расходом, когда присутствуют члены с 1н/ , монсет быть рассмотрен аналогичным образом. [c.292]

Можно, конечно, прибегнуть и к оценкам радиусов сходимости рядов, оценкам погрешности конечного числа приближений, приближенному определению границ областей устойчивости по малому параметру. Однако получение таких оценок требует затраты большого труда к тому же, как правило, они оказываются неэффективными, ибо, будучи всегда ориентированными на худший случай, являются весьма пессимистичными. Отметим, что аналогичная ситуация имеет место и в случае, когда факт устойчивости движения в малом используется как довод в пользу устойчивости данного движения при реальных, практически малых отклонениях. Эти и некоторые другие родственные вопросы более подробно обсуждаются в статье И, И, Блехмана, А. Д. Мышкиса и Я. Г, Пановко (1967). [c.164]

Но этот же ряд можно использовать, как отмечает в цитированной уже работе Г. А. Мерман, для нахождения новой нижней границы для радиуса сходимости рядов (6.50). [c.298]

Изложим результаты, полученные Г. А. Мерманом. Итак, будем искать точный радиус сходимости ряда г(6), расположенного по целым положительным степеням 6 и удовлетворяющего уравнению (6.67). [c.298]

Вторая трудность состоит в доказательстве равномерной оценки для радиусов сходимости рядов, представляющих решение, т.е. аналитичности решения в полосе равномерной ширины, окружающей действительную ось. Вывод необходимых для этого оценок периметра треугольника, образованного тремя телами, и величины скорости тела, не участвующего в столкновении, требует тонких и кропотливых рассуждений и занимает в работе Сундмана значительное место. [c.37]

При низких температурах этому условию можно удовлетворить только при плотности, меньшей некоторой критической Пс (Т). При п = Пс (Т) левая часть неравенства (6.47) обращается в нуль. Значение Пд мы интерпретируем как плотность, при которой при температуре Т наступает конденсация. Как показано в работе [24], при той же плотности расходится и разложение pIniT по степеням активности, т. е. большая часть атомов собирается в очень большие плотные группы. Однако при высоких температурах высшие вириальные коэффициенты (Т) могут стать отрицательными, так что условие (6.47) будет удовлетворяться при любых значениях п и конденсации не будет. Температура Тс, разделяющая эти два режима, есть критическая температура данного вещества. Вопрос о сходимости вириального разложения остается все же неясным. В работах [27—29] даны оценки радиуса сходимости ряда по степеням активности для различных видов потенциальной энергии, но не выяснена связь этих оценок с такими термодинамическими сингулярностями, как конденсация газа в жидкость или в твердое тело. [c.268]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...