Собственные значения оператора параметра

Однако поскольку собственные значения оператора А (0) разных знаков (особая точка О —седло), отношение собственных чисел оператора А (е) принимает рациональные значения на любом интервале изменения параметров (если деформация типична). Поэтому существуют сколь угодно малые значения е, для которых формальная нормальная форма уравнения [c.68]

В тех случаях, когда область D определения <р бесконечна или когда параметры оператора С нерегулярны в области D, т. е. имеют в этой облает особенности, кроме дискретного (точечного) спектра, вообще говоря, может появиться плотное распределение (континуум) собственных значений оператора. L. Этот континуум, соответствующий сингулярным собственным функциям, на зывается непрерывным спектром оператора L. [c.214]

М не зависит от А, Н — норма в ) для всех к из области определения операторов Ь и Ь, то можно применить хорошо известные результаты теории возмущения спектра. В частности, если % — кратное собственное значение оператора Ь с кратностью ш и выполняется неравенство (8.3), то для достаточно малых значений комплексного параметра г оператор Ь + гЬ имеет тп изолированных собственных значений (не обязательно различных) [c.169]

При изучении уравнения (8.2) имеется несколько возможностей, так как можно фиксировать три из четырех комплексных параметров со, / 2, и искать спектр значений параметра, оставленного свободным. В частности, можно фиксировать к и рассматривать со подробно исследован случай вещественных к. Этот случай возникает при изучении свободных звуковых волн [26—28] и является стандартной задачей о собственных значениях оператора + /к- [c.227]

Один интеграл всегда существует — это интеграл энергии. Таким образом, для полной интегрируемости уравнений на h достаточно знать еще один независимый интеграл. Перечислим известные случаи интегрируемости. Как уже отмечалось, задача о тяжелом волчке содержит шесть параметров три собственных значения оператора инерции I, l2,h и три координаты центра масс b 2i 3 относительно его собственных осей. [c.89]

Точный вид оператора неизвестен, поэтому приходится считать его собственные функции и собственные значения В/ параметрами теории. Часто удобно рассматривать операторы Нп как операторы молекул, учитывающих возможные деформации молекул в кристалле, обусловленные их нерезонансным взаимодействием с ближайшим окружением. В частности, операторы Я должны отражать симметрию не свободных молекул, а местную симметрию молекул, занимающих л-е место в кристалле. В этом случае операторы должны учитывать только остаточную часть взаимодействия между молекулами, которую нельзя включить в операторы Я . [c.331]

При достаточно малых >0 точка x i) заведомо попадет в область /(х)< 0. Оказывается, в момент времени i v 1 точка x(t) перестанет взаимодействовать с преградой, причем при Л"—>оо скорость V в этот момент линейно зависит от V (у = Л ), и собственные значения оператора восстановления Л можно выразить через физические параметры задачи. [c.44]

Метод обеспечения сходимости борновского ряда. Если теперь все собственные значения оператора К = GH по величине меньше единицы, кроме одного собственного значения а, величина которого превышает единицу, то его собственные векторы можно выбрать для замены оператора Н по формулам (9.38), (9.50) и (9.51). Значение величины р можно контролировать при помош,и числа b (если только а (Е) не окажется точкой пересечения двух траекторий], причем можно сделать так, чтобы величина ар была меньше единицы, ар < 1. При этом борновский ряд для Т или y будет сходиться и формулы (9.43) или (9.46) будут определять Т через Г, а формула (9.47) — У через. Ясно, что в каком-то смысле оптимальный выбор параметра р соответствует значению р = 0. Можно ожидать, что при таком р борновский ряд будет сходиться быстрее всего, поскольку в этом случае величина Н будет наименьшей . При этом для Т нужно использовать выражение (9.46), а не (9.43). [c.239]

Проблему можно также рассмотреть с точки зрения собственных значений оператора S a- Считая, что для некоторого значения параметра оператор [c.459]

Уравнение (4.3) фи любых значениях параметра ц имеет тривиальное решение м = 0. Можно показать, что спектр линейного оператора R(fi) точечный. Предположим, что существует такое значение параметра ц, что тривиальное решение теряет устойчивость, т.е. хотя бы одно собственное значение оператора Л(д) пересекает мнимую ось. Пусть при м = До одно простое собственное значение Х(до) = 0. при этом считаются выполненными условия трансверсальности — КеХ (до) Ф 0. т.е. мнимая ось пересекается с ненулевой скоростью. Тогда, по теореме о центральном многообразии, для д из окрестности До существует однопараметрическое семейство стационарных решений, которые будут строиться следующим образом. [c.175]

Последовательность бифуркационных значений параметра, соответствующих выходу в комплексную область мультипликаторов цикла периода 2", возникающего в каскаде удвоений, имеет вид e = 6 +0(6 a ), где б — константа Фейгенбаума, а — максимальное сжимающее собственное значение линеаризации оператора удвоения в неподвижной точке G, с — константа, зависящая от семейства. [c.85]

Параметр а является собственным значением и функция / (г) — собственной функцией оператора М. В общем случае уравнение (1.63) может иметь как действительные собственные функции и собственные значения, так и комплексно-сопряженные. Кроме того, оператор М может иметь наряду с точечным спектром непрерывный континуум собственных значений а и соответствующие сингулярные собственные функции /а (г) (см. П. 2.2). [c.25]

Представим себе теперь, что в системе, размеры которой неизменны, произошло возмущение параметров, в результате чего изменился вид оператора L, граничные условия и сами собственные функции и собственные значения [c.107]

Были проведены расчеты собственных чисел операторов типа для некоторых значений безразмерных параметров волноводов Gj — = Gj/Go, p j = pj/po, l j = Ij/k (i 0, l,...,m - 1). Ha рисунках 6.6-6.14 приведены графики функции f Q) (fi < 5) для аналогичной задачи о крутильных колебаниях кругового цилиндра, рассмотренной в 6.3. Здесь они будут выглядеть схожим образом, с той лишь разницей, что график функции f fl) в окрестности 0 = 0 равен единице. [c.230]

М не зависит от /г для любой /г из области определения как I, так и и), то оператор ЬгЬ при достаточно малых значениях комплексного параметра г имеет т изолированных собственных значений, которые приводятся к X при г = О и анали-тичны по г. [c.229]

Рассмотрение взаимодействия солитонов в гл. 3 основывалось на возможности связать нелинейное уравнение КдФ с линейным одномерным уравнением Шредингера для стационарных состояний решение и х,1) уравнения КдФ играло роль потенциала в уравнении Шредингера, а время / рассматривалось как параметр. Эта техника позволила использовать известные свойства собственных значений и функций уравнения Шредингера. Успех метода был обеспечен открытием замечательного свойства этого уравнения, которое состоит в том, что спектр оператора Шредингера с потенциальной энергией, определяемой из уравнения КдФ, не зависит от времени. В результате этот спектр мог быть определен для всех моментов времени лишь при помощи начального условия и х,0), взятого в качестве потенциальной функции уравнения Шредингера. [c.95]

В замкнутой форме собственные значения и собственные функции оператора (6.2) найти не удается, поэтому приходится применять приближенные методы. Первый шаг выделение из Н некоторого разумного нулевого приближения и малого оператора возмущения. Ввиду особенностей операторов (1ар и и оператор возмущения оказывается неоднозначным и его можно представить в виде разложения по малому параметру, отношению к(т1М) / где В — средняя вращательная постоянная, со — сред- [c.172]

Так как невозможно найти в замкнутой форме собственные значения и собственные функции оператора (2.2), то приходится применять приближенные методы. Первым шагом в этом направлении является выделение из Н некоторого разумного нулевого приближения оператора возмущения. Ввиду особенностей операторов и и 1ар оператор возмущения оказывается неоднородным и его можно представить в виде разложения по малому параметру Борна—Оппенгеймера л= (т/Л1) /4 = (В/(о ) /2, где В — средняя вращательная постоянная, со — средняя основная частота, т — масса электрона, М — средняя масса ядер в молекуле. Разложение оператора Н достигается разложением операторов Ха и И [c.29]

Не боясь излишних подробностей, еще раз поясним сказанное выше. Элементы Ра групповой алгебры могут быть, как уже отмечалось в п, 1, реализованы операторами сдвига на соответствующей группе, линейным образом выражающимися через производные по групповым параметрам а , 1 а iV. При переходе к функциональной группе пространство групповых параметров как бы раздваивается переменные аа играют роль обобщенных координат, а переменные aa = д/даа — роль сопряженных им импульсов 2 -мерного пространства. При этом имеется г циклических координат а,, 1 t г (где г — ранг О), не участвующих в игре, а сопряженные им импульсы a, перестановочны (в смысле скобок) со всеми элементами G и через полиномы от них выражаются инвариантные операторы С и собственные значения этих операторов для один из которых [c.16]

Построение системы уравнений для собственных функций операторов Казимира как динамических величин, находящихся между собой в инволюции, требует реализации их в виде дифференциальных операторов по групповым параметрам с последующим переходом к переменным фазового пространства и отыскания спектра собственных значений этих операторов. Для квадратичного оператора Казимира произвольной полупростой группы Ли G собственные значения даются замечательной по простоте и изящности формулой Рака [c.84]

Полученные в предыдущем параграфе генераторы в асимптотической области, реализующие произвольное неприводимое представление с весом (р, / соответствующей алгебры, позволяют выполнить эту программу до конца. При этом предельный переход к бесконечно большим значениям некомпактных параметров фактически реализует каноническое преобразование в фазовом пространстве, обеспечивающее выбор наиболее удобной для вычислений системы координат, в которой операторы Казимира и их собственные значения можно довести до конкретных формул. Получаемые результаты справедливы вне зависимости от того, является ли представление вырожденным или невырожденным, конечно- или бесконечномерным. Они справедливы в соответствии с п. 2, П. 1 и для конечномерных унитарных представлений, в том числе вырожденных, компактных групп. [c.85]

Здесь состояние То ( , а) —то же, что и в (7.15), но по отношению к оно является аут-состоянием. Отметим, что параметр а в записи ( , а) вовсе не указывает, что эти состояния соответствуют просто собственному значению а оператора А, который коммутирует с Я и, следовательно, является интегралом движения. В величина а обозначает набор квантовых чисел ин-состояния, а в она обозначает набор квантовых чисел аут-состояния. В обоих случаях а является только индексом того состояния, которое входит в неоднородный член интегрального уравнения, в то время как знаки ( ) характеризуют свойства функции Грина. [c.175]

Эквивалентные резонаторы ). Итак, три параметра (Л , бх, Ог) определяют специфику оператора в интегральном уравнении (2.6.11), а следовательно, его собственные значения у и собственные функции и. Это означает, что распределение поля на зеркалах (определяемое функциями и), а также дифракционные потери и резонансные частоты (выражаемые через собственные значения -у) полностью определяются параметрами Ы, [c.154]

IV. Задача (Р ) имеет дискретное т. е. пустое, конечное или счетное) множество собственных значений параметра Я каждое из этих собственных значений имеет конечную кратность, и множество собственных значений не имеет конечных предельных точек. Если К не является собственным значением, то задача (Р (,) имеет единственное решение для любой функции /е Но(А). Если % является собственным значением, то решение существует тогда и только тогда, когда (/, щ) = 0 (к = 1,. .I), где ((>1,. .щ — множество всех собственных функций уравнения Ф — ЯО ф = 0 здесь О — оператор, сопряженный к О, причем О рассматривается как оператор из Яо(Л) в Яо(Л). [c.51]

Действительно, из того, что величины Iq p, х) и их скобки Пуассона являются интегралами движения и, следовательно, не зависят от t, следует возможность рассмотрения асимптотических значений входящих в них величин Pj и Х/. При этом члены -в выражении для L(t), связанные с корневыми векторами 36+j, при /->-оо убывают, тогда как pi triiVi при выполнении определенных неравенств между параметрами mi . Последующие -вычисления асимптотики интегралов движения вполне тривиальны, и окончательный ответ воспроизводит соответствующие -выражения для собственных значений операторов Казимира алгебр Ли . [c.154]

Формально допуская возможность непрерывного изменеиия на полуоткрытом интервал —п<та л параметра та, входящего в оператор уравнения (1.10), можно проследить за изменещ-1ем уиожества его решений и, в частности, за изменением собственных значений (частот) оператора. Это открывает возможность установить Nr зависимостей [c.11]

ФЁДОРОВСКИЕ ГРУППЫ — то же, что пространственные группы симметрии (см. Симметрия кристаллов). ФЁЙГЕНБАУМА УНИВЕРСАЛЬНОСТЬ—явление универсальности, связанное с бесконечными последовательностями бифуркаций удвоения периода устойчивых перио-дич. траекторий. Это явление было обнаружено и исследовано М. Фейгенбаумом (М. Feigenbaum) в 1978 [1—3]. Бифуркация удвоения периода происходит в том случае, когда для периодич, траектории у, зависящей от параметра ц, собственное значение А. (ц) оператора монодромии, задающего сдвиг вдоль Y на период, проходит через значение [c.276]

Согласно выражению для оператора кинетической энергии ядер Т следует, что корень из массы ядра включен в координату R. Оператор Но описывает электроны, движущиеся в поле ядер, закрепленных в положениях R. Дцерные координаты не являются динамическими переменными в электронном гамильтониане Но- Они являются параметрами, определяющими электронное состояние. Действительно, собственные функции и собственные значения гамильтониана Но зависят от этого параметра [c.54]

Характеристические показатели линейной системы с постоянными параметрами совпадают с собственными значениями линейного оператора этой системы. Если дискретизация системы выполнена на уровне выбора расчетной схемы или она оказалась результатом применении какого-либо метода к распределенной системе (например, метода конечных элементов, граничных элементов, конечных разностей, Бубнова -Галеркина и др.), то оператор системы будет конечномерным. В принятом базисе этому оператору соответствует некоторая матрица (см. уравнение (7.2.3)]. Свойства этой матрицы зависят от характера внещних воздействий. Напри- [c.486]

Собственные функции уравнения (2.2) должны быть, очевидно, также oб твeнны ra функциями оператора Р, вид которого зависит от типа и параметров резонатора и пока уточняется не будет. Пусть Р имеет набор собственных функций и соответствующих им собственных значений /3 = ехр -ib yn -5m) так что Pum = exp (-/Sj i- т) т- Подставив это в (2.2), получаем ехр (likLo - /6 5m) = 1, или lik qLo - [c.66]

Другим основным источником теории оптимальных процессов явились экстремальные вариационные задали, которые возникли в ходе развития автоматического регулирования. Возрастающие требования к регулируемым системам означали не только необходимость обеспечить устойчивость заданного движения, но и приводили к проблеме определения таких законов регулирования, которые обеспечивали бы наилучшие возможные характеристики переходных процессов. Сначала требования к переходным процессам формулировались в качественной форме и выран ались прежде всего в условиях, налагаемых на спектр собственных значений тех линейных операторов, которыми описывался процесс. Это обстоятельство естественным образом было связано с тем, что в то время исследовались главным образом линейные объекты и линейные законы управления ими. Соответственно основным рабочим аппаратом служили линейные дифференциальные уравнения разо] кнутой и замкнутой системы регулирования, изучаемые методами операционного исчисления, где основную роль играют частотные характеристики передаточных функций. Позже были предложены количественные оценки и начала оформляться задача о выборе таких параметров регулятора, при которых эти количественные характеристики оказались бы экстремальными. Одной из таких характеристик, которая сыграла большую роль в развитии проблемы оптимальности, явилась интегральная оценка переходного процесса х 1), [c.184]

К оператору такого типа можно прийти, если известно, что осциллятор находится в когерентном состоянии, которому соответствует неизвестное собственное значение а. Следовательно, можно считать, что функция Р (а) играет роль, аналогичную плотности вероятности для распределения значений а по комплексной плоскости ). Дальше мы увидим, что иногда такую интерпретацию можно обосновать. Однако в общем случае функцию Р (а) нельзя последовательно интерпретировать как распределение вероятности, поскольку проекционные операторы, с которыми она связана, не ортогональны друг другу при различных значениях а. Правда, в некотором смысле можно сказать, что состояния а) и а ) становятся приблизительно ортогональными при а — а 1 [что отмечалось Б связи с (3.33) ], т. е. когда их волновые пакеты (3.29) или (3.30) не перекрываются заметным образом. Если же функция Р (а) мало изменяется во всей области значений параметра а, то пеортогональ-ность когерентных состояний оказывает небольшое влияние и функ--цию Р (а) можно приближенно интерпретировать как плотность-вероятности. Медленно меняющиеся функции Р (а) обычно будут связываться с сильными полями, которые приближенно можно описывать с помощью классической теории. [c.89]

Наиболее удобным методом расчета собственных значений энергии нам представляется метод неприводимых тензорных операторов, который позволяет свести вычисление большого числа матричных элементов, встречающихся в теории возмущений для вырожденных уровней нулевого приближения, к вычислению очень небольшого числа ириведенных матричных элементов пропорциональных параметрам теории Dq, В, С и Эти параметры можно находить из сравнения теории с наблюдаемыми оптическими спектрами, привлекая также данные по спектрам ЭПР. [c.20]

Явление универсальности. При изучении некоторых однопараметрических семейств дифференциальных уравнений (система Лоренца, нелинейные колебания в электрическом контуре, галеркинские аппроксимации уравнений Навье—Стокса и др.) наблюдаются последовательные бифуркации удвоения периода устойчивых периодических траекторий, о происходит в том случае, когда для некоторой периодической траектории у. непрерывно зависящей от параметра ц., собственное значение Я((х) линейной части оператора монодромии вдоль у принимает значение Я( хо)=—1. В случае общего положения при прохождении параметра через цо от у ответвляется новое периодическое решение у, которое при ц = совпадает с дважды пройденным у. Для у ((х) соответствующее собственное значение Я (цо) = (Я(цо) ) = 1. При дальнейшем изменении ц собственное значение Я (ц) меняется, и при некотором [Х1 оказывается Я (ц.1) =—1, после чего от у ответвляется траектория с периодом вдвое большим, чем период уЧй ), и так далее. Моменты последовательных бифуркаций (х,- имеют предел [х = = Ит[Х ,-. При м-г- -Цоо бифурцирующие траектории становятся [c.216]

Смотреть страницы где упоминается термин Собственные значения оператора параметра : [c.148] [c.82] [c.134] [c.102] [c.221] [c.31] [c.287] [c.91] [c.108] [c.147] [c.179] [c.64] [c.303] [c.58] [c.264] [c.178]

Оптические спектры атомов (1963) -- [ c.91 ]

ПОИСК

Оператор

Собственное значение значение

Собственные значения

Собственные значения оператора

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...