Собственные значения уравнений

В этом параграфе рассмотрен случай, когда собственные значения уравнения (41.2) являются невырожденными и гамильтониан не зависит от времени. [c.232]

Докажем, что все собственные значения уравнения (7.9) вещественны и по модулю не меньше 1, Предварительно установим некоторые вспомогательные соотношения. По аналогии с построением краевой задачи Римана для решения сингулярного интегрального уравнения и в нашем случае необходимо построить эквивалентное уравнению (7.9) соотношение между предельными (извне и изнутри) значениями потенциала простого слоя, плотностью которого является искомое решение интегрального уравнения. Воспользовавшись формулой (6.31), получаем соотношение [c.102]

В 18 было сказано, что в случае уравнения Шредингера величина dz дает вероятность обнаружить электрон в данном элементе объема rfx. Для любой другой величины, возможные значения которой определяются собственными значениями уравнения вида (1), можно найти вероятность обнаружения одного из этих значений. Пусть оператор F имеет прерывный ряд собственных значений Xj, , которым соответствуют собственные [c.111]

Это уравнение переходит в уравнение (10) невозмущенной задачи при е = 0. Собственные функции и собственные значения уравнения (11) обозначим через и W . Предположим, что и можно представить в виде [c.149]

Собственные значения уравнения Шредингера (1), соответствующие потенциальной энергии и (7), представляются следующим образом [c.196]

Если учесть вариационное уравнение, то отсюда следует, что собственные значения уравнения (4) отвечают экстремумам, причем можно показать, что эти экстремумы являются минимумами выражения (7). Таким образом, энергии системы являются минимумами выражения (7). В нормальном состоянии энергия системы принимает наименьшее значение из [c.199]

Отсюда вытекает, что минимумы выражения (5) также дают собственные значения уравнения Шредингера (4), т. е. возможные значения энергии системы. [c.200]

Уравнение Хартри, основанное на простом представлении собственной функции атома ф в виде произведения собственных функций, относящихся к отдельным электронам дает для ф только нулевое приближение, а для собственных значений уравнения W, т. е. для энергий атома, — только первое приближение. При этом, как было сказа о, остаются неучтенными ни спиновые взаимодействия, ни обменная энергия. [c.205]

Высказанное опасение, таким образом, не оправдывается, по крайней мере в случае уровней энергии или, осторожней говоря, в случае частот (так как нельзя забывать, что остается неясным, как следует истолковывать энергию колебаний , поскольку лишь в случае одного тела можно говорить о чем-то, что поддается истолкованию как колебания в действительном трехмерном пространстве). Определение квантовых уровней не разбивается больше на два, по существу различных, этапа, а именно 1) на нахождение всех динамически возможных траекторий и 2) на отбрасывание большинства полученных на первом этапе решений с выделением некоторых немногих, удовлетворяющих специальным требованиям напротив, квантовые уровни определяются теперь сразу как собственные значения уравнения (18), при которых выполняются введенные выше естественные граничные условия. [c.693]

Задачу собственных значений уравнения Зоммерфельда—Орра с граничными условиями на бесконечности (вдали от а = а , Х=о, = j можно исследовать с помощью ряда Тейлора. Представляется возможным расширить этот метод на непараллельный стационарный поток. [c.113]

Собственное значение уравнения (40а) X. заменяют на X = Z-Итерационный процесс состоит в последовательном умножении произвольного вектора и на матрицу А [см. (406)] [c.489]

Значения параметра со , при которых операторное уравнение (3) имеет решения, отличные от ф = О, называют собственными значениями уравнения, а соответствующие ненулевые решения ф (х) — собственными элементами уравнения. Совокупность собственных значений называют спектром уравнения. Положительные значения квадратных корней из собственных значений уравнения (3) имеют смысл собственных частот, а собственные элементы совпадают с собственными формами колебаний упругой системы. [c.168]

Здесь о) — собственное значение уравнения (6) Г — амплитуды обобщенных сил, определяемые согласно (26) с заменой fo на. [c.239]

Собственные значения уравнений 168 Собственные формы 59, 60, 170, 171, 215—218 — Дифференциальные уравнения 218 [c.349]

Можно показать, что функция представляет собой распределение поля в резонаторе, образованном двумя плоскопараллельными зеркалами длиной 2а в направлении оси х и бесконечно протяженными в направлении оси у (ленточные зеркала). Аналогичная интерпретация справедлива и в отношении функции t/T . Мы будем различать собственные функции и собственные значения уравнений (4.81) с помощью соответствующих индексов т и I. Таким образом, согласно определениям (4.80), имеем [c.193]

Обозначим систему собственных значений уравнения (7.30) через Л = Из уравнения (7.29) тогда получим [c.370]

Сначала определим собственные функции и собственные значения уравнения Шредингера (8.33) для жесткого волчка. Необ ходимо рассмотреть три случая (линейные многоатомные моле кулы обсуждаются в гл. 12) [c.193]

Здесь (Ко) — собственное значение уравнения для относительного движения электрона и дырки плюс энергетический зазор. Прямые оптические переходы на эти экситонные состояния запрещены в силу условия сохранения К- Эти переходы, однако, становятся разрешенными, если излучается или поглощается фонон с импульсом К- Мнимая часть е (а также коэффициент поглощения) пропорциональна плотности экситонных состояний N , которая из-за параболического дисперсионного закона (15.23.1) равна [c.402]

При определенном наборе собственных значений уравнения [c.272]

Перейдем теперь к обсуждению характера поведения собственных значений уравнения (2.55), определяющих потери мод резонатора и спектр резонансных частот. [c.146]

Собственные значения уравнения (3.14) определяют потери и фазовые набеги за полный циклический проход волны в несимметричном резонаторе. При этом характеристики для прямого и обратного хода волны могут быть различными. Средние коэффициенты потерь и изменение фазы поля за односторонний проход волны определяются соотношениями [c.47]

Как показано в приложении Б, указанное преобразование ядра интегрального уравнения рассматриваемого типа приводит к изменению собственных функций и собственных значений уравнения [c.51]

Обобщенные волновые сфероидальные функции, определяющие собственные функции и собственные значения уравнений (3.27), находят все большее приложение в технике. Свойствам этих функций посвящен сборник [83]. Там же можно найти подробную библиографию. [c.56]

Дифракционные потери. Относительные потери энергии, обусловленные дифракцией на конечной апертуре зеркал, определяются собственными значениями уравнений (3.27), которые выражаются через радиальные вол- [c.61]

Потери для резонатора с прямоугольной апертурой задаются суперпозицией собственных значений уравнений типа (3.27а), записанных для ортогональных поперечных координат [c.62]

Фазовые набеги и спектр частот. В конфокальном резонаторе поверхность равной фазы совпадает с поверхностью зеркала, фазовый набег волны при прохождении резонатора не зависит от размера апертуры и отличается от фазового набега идеальной плоской волны (кЬ) на величину Фтп или Фр/. Анализируя собственные значения уравнений (3.27) или выражения (3.29), нетрудно найти [c.64]

Теория возмущений позволяет сделать это приближенно в предположении малости оператора V, который называется возмущением. Математический критерий малости оператора Кбудет выяснен в дальнейшем. По смыслу задачи ясно, что этот оператор можно считать малым в том случае, когда собственные значения уравнения (41.3) мало отличаются от собственных значений уравнения [c.232]

Вычисление поправок к собственным функциям и собственным значениям. Будем искать ту собственную функцию и собственное значение уравнения (41.3), которые при Р = О преходят в собственную функцию и собственное значение невозму- [c.232]

Перейдем к рассмотрению уравнений (7.8) и (7.9) при % = = —] (т. е. для задач и Л ). Рассмотрим уравнение (7.8), которое имеет (в силу теоремы Гаусса (6.28)) очевидное решение фо=1, а, следовательно, Х = —1—собственное значение уравнения. Таким образом, приходим к утверждению, что уравнение (7.9) (как союзное) будет иметь при Х = —1 собственные функции. Покажем, что собственная функция — одна. Обозначая эту функцию через фо и рассматривая ее как плотность, образуем потенциал простого слоя Р(р, фо). Предельное значение его нормальной производной изнутри будет равно нулю, и поэтому сам потенциал будет равен некоторой постоянной Со- Если допустить, что уравнение (7.9) при X = —1 имеет еще одно решение фь линейно независимое с фо, то тогда потенциал Г(р, фО будет равен С. Образуем теперь плотность фа = С1фо — Софь которая также будет собственной функцией, причем потенциал Е(р, фа) будет равен нулю в области D+, а значит, и в области 0 . Поэтому его плотность фа есть тождественный нуль, а, следовательно, функции фо и ф1 линейно зависимы. Следовательно, уравнение (7.8) будет иметь лишь одну указанную ранее собственную функцию. [c.101]

Таким образом, чтобы получить k k) и е.(к), принимая при этом, что й( ) [ + г ( ) ] = / 2, необходимо собственное значение уравнения для ограниченной области найти из решения первой задачи для по-луограниченной области. Разница в р, подсчитанная выше, экспоненциально мала при условии, что выполнено наше третье ограничение, накладываемое на ядро. Таким образом, при 1 результат имеет более высокую точность. Другие собственные значения находят, принимая й (X) [р + S (X) ] = ят /2, где п — целое число. Каждое из них соответствует собственной функции [c.23]

Укажем в заключение на различие и сходство в задачах об определении зависимости адиабатического потенциала от нормальных координат Ш Q) и зависимости энергии зонного электрона в кристалле в зависимости от компонент импульса Е (к). Обе эти величины суть собственные значения уравнения Шредингера с.параметром Q или к), симметрия которого определяется значением этого параметра. Задача для W прош е, чем задача для Е, в том смысле, что она относится к точечной, а не пространственной группе и в ней не возникает сложностей, связанных с трансляциями и нагруженными представлениями. Однако задача для суш е-ственно сложнее в том смысле, что симметрия к-пространства всегда одинакова (группа кристаллического класса), в то время как симметрия -пространства зависит от колебательного представления. Метод, предложенный в настояш ей работе для написания секулярного уравнения, может быть использован в теории зон и представляет в этом смысле общую формулировку приемов, использованных для частных случаев в [ ]. [c.8]

Для резонатора с круглой апертурой коэффициент дифракционных потерь определяется собственным значением уравнения (3.276) ар/= 1 — 7р/ 2. Коэффициенты потерь для низших мод представлены на рис. 3.6. Используя асимптотическое представление обобщенных радиальных волновых функций, Слепьян [29, 30] вывел соотношение [c.62]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...