Собственные значения матрицы перехода

Неравенство (3.48) является аналогом условия (3.41). Имеются некоторые алгебраические условия, достаточные для того, чтобы выполнялось неравенство (3.48). На практике, однако, их используют редко, и мы не будем их приводить. Сформулируем лишь простой необходимый признак устойчивости. Обозначим через к], Х2,. .., Лр собственные значения матрицы перехода 5. Очевидно, А,2",. .., Хр" — собственные значения матрицы S". Наибольшее по модулю собственное значение матрицы не превышает ее нормы (см. 1.6), поэтому [c.87]

Собственные значения матрицы перехода — корпи уравнения [c.118]

Переходя теперь к резонатору, следует отметить, что наличие анизотропии приводит к появлению еще одного требования, накладываемого на моды резонатора состояние поляризации на любой выбранной отсчетной плоскости после полного прохода резонатора должно воспроизводиться (в качестве такой отсчетной плоскости обычно выбирают выходное зеркало). Подобно тому как требование воспроизведения распределения амплитуды и фазы поля [т. е. существование мод резонатора (см. п. 2.1)] приводило к решению задачи на нахождение собственных значений некоторого интегрального уравнения, воспроизведение поляризационного состояния излучения математически может описываться задачей нахождения собственных значений матрицы Джонса / резонатора для полного прохода. Последняя определяется как произведение соответствующих матриц элементов резонатора, записанное справа налево в порядке прохождения излучением (рис, 2.26). [c.90]

Здесь Ла и Ав—диагональные матрицы, а и Хг—собственные значения матриц А и В. Замораживая коэффициенты А и В и выписывая матрицу перехода для разностной схемы, получим матрицу перехода и условия устойчивости. [c.220]

Пусть матрица А такова, что для всех ее собственных значений имеет место равенство к . = т . Тогда существует базис из собственных, векторов матрицы А, при переходе к которому по формулам [c.117]

Особый интерес представляет случай точки типа центра в этом случае матрица А имеет чисто мнимые собственные значения. Система с одной степенью свободы устойчива по первому приближению, но это свойство, как мы видели, не всегда сохраняется при переходе к точным уравнениям. [c.602]

Следовательно, периодическую матрицу PS можно рассматривать как модальную (т. е. состоящую из собственных векторов) для периодической системы, а собственные значения Л определяют основные частоты и демпфирование составляющих решения. При переходе к нормальным координатам q имеем х = = PSq. Переходный процесс х (/) = ф ( , о) х ( о) в нормальных координатах имеет вид q ( = (/о), как и для стационар- [c.346]

Обратимся к задаче вычисления А . Уравнения устойчивости длинной панели, основанные на кинематической модели недеформируемой нормали, получим, выполнив в системе (4.5.5) предельный переход (3.2.20), что сводится к вычеркиванию из этой системы четвертого и восьмого уравнений и исключению из оставшихся уравнений слагаемых, содержащих функции у , и их производные. Вновь пренебрегая влиянием докритических деформаций, приходим к системе шести линейных дифференциальных уравнений первого порядка с шестью неизвестными, которая должна интегрироваться при краевых условиях (4.5.6), накладываемых на функции у , у у Матрица коэффициентов этой системы постоянна и ее собственные значения, как легко убедиться, таковы [c.127]

Обозначив Л = —и обратив матрицу [В], так как она не является вырожденной, осуществим переход от (9.6) к стандартной задаче на собственные значения [c.489]

Стохастическая сходимость является следствием того, что при приведенных условиях вероятность перехода за п шагов pW uj при /г ОО. На языке теории матриц условие (7) означает, что вектор (м ) есть левый собственный вектор матрицы (р ), отвечающий единичному собственному значению. Если / (х) обладает соответствующими свойствами (достаточно существования ее третьего абсолютного момента), то справедлива центральная предельная теорема цепей [c.277]

Переходим к переменным и, v, в которых матрица А диагональна, а оба ее собственные значения действительны, поскольку неподвижная точка неустойчива тогда Г переходит в Г. [c.454]

Формуле (2.27) для собственных значений можно придать более наглядный вид. Для этого выразим величины Ql и Q2 через радиусы кривизн и Гг границы области 2 в точках С и О. Переходя вначале от и Рг к элементам матрицы А по формулам (2.19) и (2.13), а затем используя равенства (2.3), получаем [c.119]

При Г = Гч = г эта формула переходит в формулу (5.29) главы 3 для собственных значений эллипса. Вспоминая выражение (2.13) для угла ф—аргумента собственного значения А,1 матрицы А, перепишем формулу (2.30) в виде [c.119]

Если рассматриваются все такие собственные значения и собственные векторы, то размеры диагональных матриц Вф Сф удваиваются при каждом шаге рекуррентной процедуры. Мы ожидаем, что данные матрицы стремятся к бесконечномерным пределам. Смысл такого предельного перехода определен в разд. 13.4 если диагональные элементы матриц расположены в убывающем порядке, то каждый данный элемент (например, шестой) будет стремиться к пределу. [c.393]

В этом случае выражение (5.68), разумеется, всегда сходится. Пользуясь аналогией между статистической суммой для данной модели и марковским процессом [29], можно представить матрицу переноса в виде ядра интегрального уравнения и найти наибольшие собственные значения, которые затем надлежит подставить в соотношение (5.59). Интересно, что в предельном случае у N О эти собственные значения становятся вырожденными, что соответствует фазовому переходу при температуре 2/М. На самом деле в этом предельном случае каждый спин очень слабо взаимодействует со всеми остальными, так что вся цепочка представляет собой единый однородный кластер . Иначе говоря, рассматриваемая модель преобразуется при этом в решетку с бесконечным координационным числом (т. е. бесконечной размерности), для которой результат приближения среднего поля (5.6) оказывается точным. [c.198]

В этом свете теория сферической модели выглядит совершенно отличной от описанных в нескольких предыдущих параграфах алгебраических методов, основанных на понятии матрицы переноса. Можно показать, однако [56], что аналогом матрицы переноса здесь служит непрерывный оператор, собственные функции которого удовлетворяют некоторому интегральному уравнению фазовый переход возникает, когда наибольшее собственное значение указанного оператора становится вырожденным, как и в случае, описываемом соотношениями (5.66), (5.125) и т. д. Эта аналогия подтверждает, что сферическую модель отнюдь нельзя рассматривать как совершенно нереалистическую и искусственную напротив, она дает представление о ключевых механизмах перехода порядок — беспорядок в решетке. [c.222]

Вместо явного введения в уравнения членов с искусственной вязкостью типа 1 искусственное затухание может вноситься неявным образом просто за счет выбора конечно-разностной схемы. Схема привносит в одних случаях искусственную схемную вязкость в виде ненулевого коэффициента при вторых производных по пространственным переменным, а в других — искусственное схемное затухание, когда все собственные значения соответствующей матрицы перехода становятся по модулю меньше единицы. В обоих случаях для стабилизации расчета сильных ударных волн в этих схемах может потребоваться и введение дополнительной явной искусственной вязкости. [c.353]

Критерий устойчивости фон Неймана (Чарни с соавторами [1950], О Браейн с соавторами [1950]) требует, чтобы наибольшее собственное значение матрицы перехода итерационной схемы было меньше, чем единица минус члены порядка ошибки аппроксимации. Лаке и Рихтмайер [1956] показали, что это условие является достаточным для устойчивости линейной системы с постоянными коэффициентами и что в случае, когда матрица перехода удовлетворяет одному из трех наборов свойств, выполнение этого критерия является достаточным также для сходимости. Эти и другие вопросы, связанные с устойчивостью, обсуждаются в разд. 3.1 и в монографии Рихтмайера и Мортона [1967]. [c.27]

При С 1 схема ипо/тт искусственное схемное затухание нри этом анализ ус го 1чнвости по ( )он Нейману даег, что собственнее значення матрицы перехода Х < 1. Любая схема, для ко-Т0[)0п вводит подобное искусетвенное схемное затуха- [c.516]

При С С 1 схема вводит искусственное схемное затухание при этом анализ устойчивости по фон Нейману дает, что собственные значения матрицы перехода < 1. Любая схема, для которой 1 1 С 1, вводит подобное искусственное схемное затухание. Разложение в ряд Тейлора, используемое в анализе устойчивости по Хёрту [1968], показывает, что схема (Б.З) соответствует следующему уравнению в частных производных [c.516]

Для применения модели Эберса—Молла при машинных расчетах необходима ее модификация, заключающаяся прежде всего в переходе от комплексных функций частоты к дифференциальным уравнениям. В целях повышения точности модели необходим учет барьерных емкостей эмиттер-ного Сд.э и коллекторного переходов, объемных сопротивлений тел базы Гд и коллектора г , сопротивлений утечек эмиттерного и коллекторного переходов. Введение в модель Сб.э и диктуется также требованиями повышения обусловленности модели. Действительно, при Сд.э = Сд., = О полная емкость запертого перехода при его обратном смещении стремится к нулю, что приводит к крайне малым собственным значениям матриц, составленных из коэффициентов уравнений математической модели схемы. [c.57]

В зависимости от выбора матрицы Н и вектора С получаются различные итерационные методы. Эти величины выбирают такими, чтобы формула (2.14) была согласована с (2.13), т. е. Х = НХ -ЬС. Основные итерационные методы простой итерации, Якоби, Гаусса— Зейделя, релаксационные. Для практической реализации итерационных методов необходимо выбрать способ ускорения сходимости и установить критерий окончания итерационного процесса. Способы ускорения сходимости весьма разнообразны, но часто основываются на оценке максимального Л (Н) и минимального та(Н) по модулю собственных значений матрицы Н. Идеальным критерием окончания итераций является норма вектора ошибки Ел, но непосредственно ее определить невозможно, так как точное решение X неизвестно. Поэтому для итерационного процесса (2.13) вводится вектор приращений (вектор псевдоневязки) ДХй= —Ха+1—Ха, связанный с вектором ошибки следующим равенством ДХ.,= (Н—1)Еа, где I — единичная матрица. Переходя к оценке по нормам, получим [c.35]

Чтобы обнаружить в общем случае сжимаемой среды те свойства волн, которые наблюдались в несжимаемом материале, будем считать, что и в сжимаемой среде при = О в рассматриваемой области в некоторых состояниях возможно совпадение двух собственных значений, одно из которых соответствует вращательной волне а = а°, другое - той из плоскополяризованных волн, которая при малых ир (/3=1,2) переходит в поперечную волну а = а°. Для определенности будем считать, что третье собственное значение аз больще, чем оба других. В силу того, что собственные значения матрицы Fj , соответствующие вращательной и плоскополяризованным волнам, определяются из независимых уравнений, требование их совпадения приводит, в отличие от предыдущего случая, к одному уравнению, представляющему кривую на плоскости щи или поверхность вращения в пространстве щ. Ее уравнение имеет вид [c.378]

Пусть Л — ЛМГМ диффеоморфизма 5, причем 5]Л — топологически транзитивно. Пусть также (2л, о) — символическое представление Л, построенное посредством марковского разбиения . Рассмотрим стационарную цепь Маркова с вероятностями переходов Pij = aijZilX A)Zi, где Я(Л)—максимальное положительное собственное значение матрицы А и Z= zi —соответствующий собственный вектор (см. [3]). Пусть далее (Хо — марковская мера на этой цепи Маркова и fxo — прообраз меры (Хо под действием отображения г з. Как показано в [3], (хо — мера с максимальной энтропией для S на Л (определение см. ниже п. 3.5). Сейчас будут указаны и некоторые другие важные свойства меры хо- [c.146]

Последний предельный переход справедлив при очень больших значениях N. Из формулы (5.62) следует, что отношение собственных значений при Я = О равно 111 К. Другими словами, всегда имеется ближний порядок, причем корреляционная функция экспоненциально затухает вдоль цепочки [ср. с формулой (1.37)] однако при Т = О, когда два корня (5.62) становятся одинаковыми, размер области упорядоченности стремится к бесконечности. Это есть частный случай общей теоремы, согласно которой дальний порядок существует тогда и только тогда, когда наибольшее собственное значение матрицы переноса асимпт.отически вырождено [29]. [c.196]

ОНИ представляют собой частные случаи восъмивершинной модели ( 1.4) с определенными значениями параметров взаимодействия Jij и /7 в гамильтониане Изинга общего вида (1.26а). Для этой модели матрицу переноса можно выразить через операторы Паули [ср. с формулой (5.109)] и найти общие условия существования матрицы, с которой она коммутирует, т. е. имеет общие собственные функции. Подобно тому как формула Бете (5.91) определяет собственные функции и гейзенберговской цепочки, и плоской модели сегнетоэлектрика (хотя и с очень различными собственными значениями), здесь тоже можно построить общую алгебраическую схему [52], в которой наибольшее собственное значение матрицы переноса выражается в виде функции энергетических параметров задачи. Последние приписываются различным восьмивершннным конфигурациям, изображенным на рис. 1.10. При этом получается, например [53], что зависимость спонтанного дальнего порядка от температуры определяется отношениями названных параметров. Частными примерами могут служить модели Изинга п KDP. Очевидно, наиболее интересным было бы применение этого мощного математического метода к общей теории фазовых переходов [c.217]

На первый вопрос немедленно сле/iyei утвердительный ответ в случаях (5.6а) и (5.6в), когда R = О, и схема (5.8) ничем не отличается от уже рассмотренных. Случай (5.66) требует более сложного анализа, учитывающего конкретный вид матрицы R. Применение спектрального метода для модельной задачи Коши после элементарных выкладок приводит к собственным значениям оператора перехода от слоя х = л , 1 к слою л =Х/, Не превосходящим по модулю еди1шцы, но крайней мере если v <и, что. обычно и имеет место, когда поперечные размеры области течения являются намного меньшими, чем продольные. [c.178]

Метод матриц перехода. Весьма эффективный численный метод, приспособленный для ЭВМ [14], основан непосредственно на общей теории. Этот метод состоит в вычислении матрицы перехода (монодромии) R и исследовании мультипликаторов как собственных значений этой матрицы. Первая часть алгоритма — построение матрицанта X (/) непосредственным численным интегрированием уравнения (3), например, по методу Рунге — Кутта для этого нужно решить 2га задач Коши с начальными условиями, следующими из (7). Матрица перехода R находится как значение матрицанта в конце первого периода. Другая существенная часть алгоритма — [c.130]

На ранней стадии развития квантовой механики основное внимание уделялось освобождению атомной теории от ненаблюдаемых и не имеющих физ. смысла элементов (таких, как классич. орбита в теории Бора). Целью было непосредственное определение паблюдае.мых величии типа уровней энергии, характеристик стационарных состояний, вероятностей перехода. Эта цель была достигнута двумя способами, к-рые сначала казались совершенно различными, — в волновой механике де Бройля — Шредингера и в матричной механике Борна — Гейзенберга — Йордана. В 1-м способе уровни энергии и стационарные состояпия получались как собственные значения и собственные ф-ции краевой задачи, связанной с ур-нием Шредингера для волповой ф-ции. Во 2-м способе решение проблемы состояло в отыскании системы матриц Pj, Q , удовлетворяющей канонич. перестановочным соотношениям [c.193]

Здесь не было рассмотрено применение итерационного метода к задачам на собственные значения, представленным в виде уравнений движения в усилиях [см. уравнение (4.17)1, поскольку главным при этом были бы наибольшие собственные значения р. В задаче, в которой проще определяются коэффициенты жесткости, а не податливости, можно всегда обратить неособенную матрицу жесткостей S и тем самым получить матрицу податливостей F, которая имеется в уравнении (4.103). С другой стороны, для полуопределенной системы, матрица жесткостей которой является особенной, требуется проводить специальное исследование. В этом случае матрицы жесткостей и податливостей следует редуцировать путем перехода к новой системе координат, чтобы исключить формы движения как абсолютно жесткого тела, которые можно определить с помощью простого рассмотрения и составить процедуру для исключения этих форм. [c.299]

Сначала рассмотрим опять вместо системы Гамильтона общую нелинейную систему (13 1) нри том ограничении, что матрица 21 имеет два иротивоноложных но знаку собственных значения Ai, А2 = — Ai-Попытаемся найти частное решение, в котором х, . .., разлагаются в стененные ряды но двум неизвестным функциям , rj = r] t). Система (13 1) переходит нри этом в [c.143]

Чтобы далее снова воспользоваться обш ими результатами КМОЗ, их предварительно нужно дополнить определением собственных значений локальной матрицы перехода для точки О, где [c.241]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...