Другие методы вычисления собственных значений

ДРУГИЕ МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ [c.64]

При решении конкретных задач какой-либо вариант обобщенного метода обычно оказывается в некоторых отношениях проще, чем метод собственных частот. Если задача сводится к трансцендентному уравнению, то уравнение это во всех методах одинаково, однако решать его не относительно частоты, а относительно какого-либо другого параметра обычно проще. В некоторых методах достаточно бывает лишь вычислить левую часть уравнения — эта величина при правильно записанном уравнении сама уже есть искомое собственное значение, т. е. полностью определяет резонансную кривую. Для систем с потерями часто удается избежать вычислений в комплексной области. Например, если диэлектрическая проницаемость тела комплексна, то целесообразно применять метод, в котором собственным значением является именно величина диэлектрической проницаемости— это собственное значение вещественно (если в задаче дифракции нет других потерь, кроме диэлектрических) и находится из вещественного уравнения. Ана- [c.8]

Стационарные функционалы релеевского типа для собственных частот в задачах о замкнутой области подробно рассмотрены, например, в [7], там приведено также несколько примеров того, как сделать какие-либо граничные условия естественными. Общий метод неопределенных коэффициентов для построения функционалов, для которых заданные граничные условия являются естественными ( 16), ранее не применялся. Вариационный аппарат не применялся, по-видимому, для вычисления других собственных значений электродинамических задач. При построении стационарных функционалов в бесконечной области существенным является вещественность к. [c.282]

Заметим, что матрица М должна быть положительно определенной, поскольку квадратичная форма 2, данная равенством (17.33) или (17.39), есть среднее число фотонов, подсчитанных в некотором когерентном поле. Таким образом, собственные значения aSi положительны, и сингулярности производящей функции лежат на отрицательной части действительной оси переменной Я. Поскольку функция Q аналитична в полуплоскости Re Я > О, мы видим, что если разложить функцию Q в степенные ряды около точки Я = О или Я = 1, то эти разложения в ряды в других точках можно вычислить в принципе методом аналитического продолжения. Это соображение показывает, что использованная нами процедура вычисления производящей функции посредством ее разложения в точке Я = О действительно ведет к единственному результату для распределения вероятности. [c.185]

Нам удобно в этой главе явно выделить химический потенциал л при этом W (Х) суть, очевидно, собственные значе-йия не обобщенного, а обычного гамильтониана. Для собственных значений обобщенного гамильтониана мы сохраним символ Е. Подчеркнем, что речь идет сейчас о гамильтониане, по определению не содержащем взаимодействия между частицами. Поэтому спектр (X), вообще говоря, не совпадает с экспериментально определяемым. В частности, эффективные массы, которые будут введены в дальнейшем, суть затравочные массы (в смысле квантовой теории поля). В металлах они никогда не совпадают с определяемыми, например, из гальваномагнитных явлений с другой стороны, в полупроводниках можно реализовать условия, когда взаимодействие между электронами практически исчезает, и тогда параметры, характеризующие функцию W (к), непосредственно определяются из опыта. Явные вычисления с выражением (18.1) весьма затруднительны, так как фактически функции ср, (х) можно эффективно определить лишь в весьма грубом приближении. По этой причине, как уже говорилось в предыдущем параграфе, целесообразно воспользоваться каким-либо из вариантов метода эффективной массы, рассматривая ср, (д ) как эффективные волновые функции и учитывая периодическое поле просто путем введения некоторых параметров в невозмущенный гамильтониан. При этом рассматриваемая система делается пространственно однородной (соответственно, компенсирующий заряд надлежит считать равномерно размазанным по пространству). Как известно, при этом следует различать два случая [c.162]

Здесь я использую другой способ, который представляет собой усовершенствованный вариант метода, примененного в работе [25], и имеет то преимущество, что в нем различаются два наибольших по модулю собственных значения. Такой метод можно применить для вычисления поверхностного натяжения [28]. [c.231]

При вычислении векторов о(0> т(0 численными методами необходимо учитывать, что решение задач Коши может экспоненциально возрастать, в силу того что матрица А( ) при любом t имеет собственные значения как с положительной, так и с отрицательной вещественной частью. В силу этого задачи Коши являются слабо устойчивыми по начальным данным, по ошибкам вычисления матрицы А(/) и по другим погрешностям, неизбежно возникающим при численной реализации алгоритма. Некоторые компоненты о, могут сильно возрастать при прогонке и их значения могут выйти за пределы разрядной сетки ЭВМ. В ряде [c.219]

С практической точки зрения это означает, что кусочно полиномиальные функции можно подставить непосредственно в отношение Рэлея в качестве пробных функций. Вычисление этого отношения становится как раз той задачей, которая уже обсуждалась и для выполнения которой к настоящему времени создано множество мощных вычислительных машин. Эта задача представляет собой вычисление матриц жесткости и массы К и М. Следующий шаг, однако, приводит к другой, более трудной вычислительной задаче линейной алгебры вместо решения линейной системы КО = Р надо решить дискретную задачу на собственные значения КО = ХМО- К счастью, сейчас известно, как можно использовать свойства этих двух матриц симметричность, разреженность, положительную определенность матрицы М, для ускорения численного алгоритма. В разд. 6.4 мы рассмотрим несколько эффективных численных методов [c.251]

Вследствие того, что паровые процессы совершаются в различных областях с изменением агрегатного состояния тела, аналитический метод расчета процессов значительно сложнее графического метода, являющегося весьма простым и универсальным. Простота его заключается в том, что определение параметров и величии процессов сводится к простому чтению их на диаграммах и выписке искомых значений, а не к выполнению сложных вычислений по формулам, выведенным в предыдущей главе. Универсальность графического метода заключается в том, что он применим для всех процессов, протекающих в любых областях, т. е. по одной и той же диаграмме можно рассчитать изобарный процесс в—в , совершающийся в области насыщенных паров (фиг. 10. 1), или процесс Я—П, проходящий в области перегретых паров, или процесс в—Я, протекающий в той и другой областях с изменением агрегатного состояния тела в точке с, лежащей на верхней пограничной кривой. К тому же, если при применении аналитического метода расчета необходимо предварительно выяснять, в каком состоянии находится тело и изменяется ли его агрегатное состояние в совершающемся процессе, то при применении графического метода этого делать не приходится. Если же при графическом методе расчета процесса возникает необходимость определить агрегатное состояние тела, то это выяснение сводится, собственно, к чтению диаграммы. [c.224]

Мы рассматриваем не все задачи, затронутые в главах I и II, а только наиболее типичные и, может быть, наиболее важные из задач, допускающих сведение к уравнениям Фредгольма в Ь 8) или Ь У+), где К+ — область, ограниченная поверхностью (или кривой) 5. Подробный разбор всех вариантов этих задач занял бы слишком много места. Все вторичные математические трудности мы устраняем, предполагая поверхность 5 гладкой и замкнутой, т. е. не имеющей ребер и отверстий, а диэлектрическую проницаемость г х) — меняющейся скачком при переходе через 5. (Таких трудностей особенно много в конкретных прикладных задачах, которые разбирались в главе IV.) К сожалению, в отношении задач, рассмотренных в 6 и 8, пока удалось выяснить очень немногое, и мы о них здесь не будем говорить. Не проанализирован также формальный метод Ритца отыскания стационарных точек функционалов (см. гл. III). Отметим, что другие методы вычисления собственных значений несамосопряженных операторов описаны, например, в [10], [14]. [c.297]

Линейная зависимость пробных функций начинает сказываться только нри больших размерностях матриц — порядка 1000. По и до этого плохая сходимость метода ОПВ проявляется в следующем. При увеличении размерности матрицы найденное решение (значепие энергии уровня) должно стремиться к какому-то пределу. В методе ОПВ матрица даже сравнительно малой размерности дает хорошее приближение к правильному ответу (известному, иагЕример, с помощью другого метода расчета зонной структуры) с ростом размерности матрицы решение начинает осциллировать вблизи этого ответа. Если требуется большая точность вычисления собственных значений, то с помощью метода ОПВ ее достигнуть, видимо, нельзя [316—320] ). [c.159]

При сведении связанной задачи к обычной задаче о собственных значениях целесообразно использовать специальные преобразования. Некоторые такие преобразования описаны в работе [21]. Другой метод вычислений изложен Айронсом [23]. [c.388]

Вычислив значения определителя р (X) = det (G — А.Е) при некоторых заранее выбранных можно получить систему уравнений р Х" + PjX"j + +. .. + p iXj + р = Pj (j = 1, 2.....rt+ 1) относительно коэффициентов характеристического полинома. Здесь Pj — вычисленные значения определителя. Возможны другие варианты с использованием интерполяционных полиномов. Подробный анализ [108] показал, что этот метод приводит к большим относительным погрешностям коэффициентов полино ла и собственных значений. [c.88]

Метод матриц перехода. Весьма эффективный численный метод, приспособленный для ЭВМ [14], основан непосредственно на общей теории. Этот метод состоит в вычислении матрицы перехода (монодромии) R и исследовании мультипликаторов как собственных значений этой матрицы. Первая часть алгоритма — построение матрицанта X (/) непосредственным численным интегрированием уравнения (3), например, по методу Рунге — Кутта для этого нужно решить 2га задач Коши с начальными условиями, следующими из (7). Матрица перехода R находится как значение матрицанта в конце первого периода. Другая существенная часть алгоритма — [c.130]

Преимущества изложенного алгоритма сравнительно с другими численными методами интергирования системы дифференциальных уравнений особенно значительны, если матрица А имеет большие по модулю собственные значения, что характерно для систем рассматриваемого вида. В этом случае при интегрировании системы дифференциальных уравнений численными методами (например, методом Рунге — Кутта или Л. Эйлера) величина шага выбирается /=10 —10 с. При интегрировании при помощи рассмотренного алгоритма вычисления можно осуществлять с шагом А =0,01 с, то есть в 100—1000 раз большим. [c.417]

Таким образом, метод модельных потенциалов имеет в общем те же черты, что и метод псевдопотеициалов. Однако, как мы сейчас увидим, модельный потенциал можно найти прямо из эксперимента. Применим сначала этот метод к свободному атому. Величину постоянной составляющей модельного потенциала можно определить, приравняв собственные значения энергии соответствующим экспериментальным значениям энергии термов. Тогда для каждого азимутального квантового числа мы найдем величины констант, отвечающие энергиям соответствующих термов. Интерполируя между этими значениями, можно найти величины констант, соответствующие энергиям, характерным для расчета внутри металла. Такая процедура позволяет нам избежать тех сложностей, которые возникают в методе псевдопотеициалов из-за необходимости пользоваться вычисленными потенциалами и волновыми функциями сердцевины. С другой стороны, нам не удаегся избежать трудностей, связанных, например, с неэрмитовостью псевдопотеициала, хотя эта сторона вопроса при первоначальной формулировке метола модельного потенциала не принималась во внимание. Использование в расчетах экспериментальных значений энергии электронных термов существенно упрощает проблему, так что оказывается возможным определить этим методом OPW формфакторы для всех простых металлов. Такие расчеты были выполнены Анималу ). [c.123]

С возрастанием v величина члена быстро уменьшается. На осносе вычисленных значений можно выразить прогиб у, что к является решением задачи. Следует иметь в виду, что описанный метод не ограничивается только применением собственных функций он пригоден и при применении других ортогональных функций, которые удовлетворяют заданным граничным условиям. Его можно рассматривать как метод, дающий лишь приближенные результаты, поскольку для выражения прогибов применяются функции, удовлетворяющие граничным условиям, но не удовлетворяющие дифференциальному уравнению движения. При вычислении второй производной функции лучше всего применить описанный выше способ Рейснера. В заключение следует вкратце упомянуть [c.99]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...