Построение системы уравнений

Прежде всего отметим, что процедура построения уравнений в МКЭ имеет важную особенность по сравнению с методом конечных разностей. При построении конечно-разностной схемы мы рассматривали уравнение теплового баланса для элементарного объема, построенного около узла сетки с номером т (см. 3.3), и сразу получали т-е уравнение общей системы. В случае МКЭ в т-е уравнение системы (4.21) входит сумма производных от функционалов /<">, вычисленных для различных элементов, которые содержат узел с номером т. Поэтому при составлении каждого уравнения надо производить суммирование вкладов от разных элементов. Из-за этой особенности процедура построения системы уравнений МКЭ несколько менее наглядна, чем в случае конечных разностей, и при ее первоначальном изучении возникают некоторые трудности. Для простоты изложение начнем с разбора конкретного примера для области, изображенной на рис. 4.8 и состоящей всего из трех элементов, которые содержат пять узлов. [c.141]

Для построения системы уравнений необходимо уметь строить [c.35]

Так как нагрузки осесимметричны, для определения деформаций уплотняющих элементов могут быть применены методы теории упругости. Задача сводится к разделению сечения кольца на элементы, нахождению основного уравнения, построению системы уравнений для узловой сетки, построению моделирующей схемы и решению задачи на вычислительных машинах. Конструктору при проектировании торцового уплотнения необходимо производить расчеты, определяя хотя бы порядок величин деформаций. С этой целью можно воспользоваться положениями теории осесимметричных деформаций [51]. При осевой симметрии уплотняющего кольца простой формы (рис. 85, а) на него в радиальных сечениях действуют моменты Мс, скручивающие сечение кольца относительно его центра тяжести. Если при этом отношение на- [c.167]

Одна из схем построения системы уравнений двухфазной среды заключается в том, что уравнения сохранения массы, количества движения и энергии, а также уравнения состояния и теплопередачи записываются отдельно для паровой и жидкой фаз, находящихся в элементарном объеме двухфазной среды. Структура среды считается известной. Так, например, рассматривая в потоке пара индивидуальную сферическую каплю жидкой фазы, на которую действуют силы Стокса, можно прийти к следующему уравнению отдельной капли [c.43]

Проиллюстрируем процедуру построения системы уравнений относительно , на конкретном примере. Умножим (7.74) на аг и продифференцируем по М [c.226]

ПОСТРОЕНИЕ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ [c.120]

Построение системы уравнений 121 [c.121]

При построении системы уравнений в качестве единицы длины выбирается наибольший из размеров всех подобластей, а в качестве масштаба напряжений — среднее значение модуля упругости подобластей. При этом получается устойчивая при счете система уравнений, которую можно решить методом исключения Гаусса без итерации остатков. [c.118]

Имея функцию распределения, выраженную через определяющие задачу моменты, можно далее воспользоваться методом моментов (см. 3.2 и 3.4) для построения системы уравнений, которым должны удовлетворять моменты или множители Лагранжа [c.233]

Второй путь заключается в отказе от рассмотрения при помощи уравнений каких-нибудь явлений с изменением при этом условий однозначности. Последние должны быть выбраны таким образом, чтобы эффект совокупности явлений, которые не учитываются уравнениями, был учтен при помощи условий однозначности. Общий принцип построения системы уравнений и условий однозначности при этом сохраняется. В этом случае, однако, условия однозначности будут зависеть от явлений, происходящих в самой системе. [c.356]

Там же имеются предложения по поводу построения системы уравнений фильтрации многофазной жидкости в трещиноватых пористых средах [12]. [c.210]

Вдоль главной диагонали матрицы тензора кинетических напряжений, определенного в переменных Эйлера, как видно из формулы (2.78), располагаются слагаемые, входящие в кинетическую энергию системы, а также плотность р и соответствующие реакции внутренних связей, введенные в состав как консервативные силы. Как известно из лагранжевой механики, кинетическая энергия системы является основной величиной, определяющей движение системы. По-видимому, этим и объясняется возможность составления уравнений движения без привлечения остальных компонент тензора Н1к к построению системы уравнений (4.13), определяющих обобщенные импульсы. [c.97]

Построение системы уравнений для собственных функций операторов Казимира как динамических величин, находящихся между собой в инволюции, требует реализации их в виде дифференциальных операторов по групповым параметрам с последующим переходом к переменным фазового пространства и отыскания спектра собственных значений этих операторов. Для квадратичного оператора Казимира произвольной полупростой группы Ли G собственные значения даются замечательной по простоте и изящности формулой Рака [c.84]

Исходным моментом для построения системы уравнений для функций, Р, является дифференциальное уравнение для гоя(г1,..., г г). Так как все частицы в рассматриваемом нами случае одинаковы, то, дифференцируя экспоненциальную функцию, например, по г" (а = х, у, г), получим [c.305]

Далее излагается процедура построения системы уравнений двухфазной фильтрации и вычисления фазовых проницаемостей для некоторых моделей течения двух несмешивающихся жидкостей, основанных на представлении о движении взаимопроникающих жидких однородных фаз и некоторых гипотезах о их структуре, [c.180]

Точка принадлежит прямой, если ее координаты удовлетворяют системе уравнений (2.8). Для построения точки, принадлежащей прямой, задаются любой одной ее координатой и, подставив ее в систему (2.8), вычисляют значения двух других неизвестных координат. [c.35]

Как видно из приведенного примера, аналитический метод позволяет избежать ошибок при проведении плавных кривых через построенные точки линии переходов. Характерным примером могут служить проекции линии пересечения двух торов (рис. 4.45), когда вид проекций линии их пересечения определяется только аналитически, решением системы уравнений обоих торов (софокусные гипербола и эллипс). [c.107]

Основная проблема математического моделирования многофазных смесей заключается в построении замкнутой системы уравнений движения смеси при заданных физико-химических [c.5]

Для доказательства правомерности такой замены покажем, ЧТО точечное отображение Т, построенное для системы дифференциальных уравнений (4.23), близко к точечному отображению сдвига Тт, построенному для уравнений (4.24), с точностью до малых величин порядка х . В самом деле, точечное отображение Т, порождаемое фазовыми траекториями уравнений (4.23), легко находится, если известно общее решение этих уравнений. В нашем случае общее решение уравнений (4.23) с точностью до малых величин порядка ]u, записывается в виде [c.90]

Обычно при построении математической модели динамической системы пренебрегают теми или иными параметрами, считая их малыми, несущественными, и тем самым получают математическую модель более простую, чем при учете всех параметров, описываемую системой дифференциальных уравнений более низкого порядка, так называемую вырожденную систему. Но при этом возможно возникновение ситуации, когда в некоторые моменты времени полученная система уравнений не дает однозначного ответа [c.213]

Первый том содержит кинематику, статику абсолютно твердого тела и динамику точки. Динамика системы и аналитическая механика будут включены в т. II. Рассмотрено построение инвариантных уравнений движения посредством тензорного исчисления. Элементы тензорного анализа излагаются по мере появления объектов их непосредственного приложения. Применение методов тензорного исчисления составляет одну из особенностей книги. [c.2]

Состав ее обеспечивает инвариантность относительно преобразований координат х>. Возможный способ ее построения посредством первых интегралов системы уравнений (11.379) был рассмотрен выше. [c.389]

Известно, что ЭВМ на аппаратном уровне умеют выполнять только ограниченное число арифметических действий, оперируя при этом с числами, ограниченными по значению и точности представления. Поэтому реализация на ЭВМ исходной математической модели, включающей совокупности расчетных зависимостей, системы уравнений, логические операции, предполагает ее преобразование к виду цифровой модели, учитывающей особенности обработки информации, присущие ЭВМ. Разработка цифровой модели представляет собой второй шаг в создании алгоритма. Началом разработки цифровой модели является построение ее логической схемы. Здесь необходимо предусмотреть практическую выполнимость основных свойств разрабатываемого алгоритма, к которым относятся определенность, результативность, массовость. [c.54]

При применении для расчетов ЭВМ построенная сетка используется как топологическое отображение объекта и служит для составления на основе известных законов Кирхгофа для электрической цепи описывающей его системы уравнений — математической модели объекта. Достигаемая при этом однотипность алгоритмов расчета различных процессов значительно упрощает разработку программного обеспечения САПР ЭМУ и облегчает его практическое использование. Наряду с адекватностью, модели отличаются сравнительной простотой и удобством формализации расчета, что позволяет создать надежный и универсальный инструмент исследования. [c.124]

На рис, 2.3 показаны проекции осевой линии стержня на плоскости x 0xi (рис. 2.3,а) и х[0хз (рис. 2.3,6). При построении графиков использовались полученные из решения системы уравнений (2.59) — (2.62) перемещения u,(e), по которым определялись перемещения в декартовых осях [c.75]

Метод молекулярной динамики по сравнению с методом Монте-Карло построен на более простом принципе и состоит в решении системы -уравнений Ньютона для системы N тел (проведение аналогичных расчетов в квантовой области для N порядка десятков частиц при современном уровне развития вычислительной техники нереально). [c.189]

Но чаще всего приближенные решения строятся таким образом, что исходят не из полной системы уравнений теории упругости. При этом остаются неиспользованными, а следовательно, и строго не выполненными условия неразрывности деформаций, которые подменяются другими, построенными на энергетических принципах, условиями. В таком случае следует иметь в виду некоторое смягчение условий неразрывности. [c.58]

Для построения температурного поля многослойной стенки необходимо оценить температуру на поверхности каждого слоя в отдельности. Система уравнений (3.9) позволяет получить расчетные формулы для определения температуры на поверхности любого 1 > > [c.276]

При известных значениях корней характеристического уравнения (собственных значениях) построение системы решений производится обычным способом [33]. Рассмотрим случаи, когда корни характеристического уравнения могут быть получены в аналитическом виде. Известно, что в виде радикалов в общем случае могут быть представлены решения алгебраических уравнений лишь до четвертой степени включительно. В настоящем случае имеются обстоятельства, которые позволяют получить корни алгебраического уравнения (8.38) и для более высоких степеней. [c.276]

При построении системы уравнений, разрешенных относительно первых производных искомых функций, порядок располЬ-жения этих уравнений может быть любым. Но при составлении уравнений относительно компонентов вектора состояния у целесообразно нумеровать компоненты этого вектора в определенном порядке. [c.450]

Попытка построения системы уравнений, описывающей фильтрацию газа в трещиновато-пористых коллекторах, была предпринята Гуднайтом, Фаттом и Клыковым . Однако вместо формулы (22.25) ими задавался физически неоправданный линейный относительно перепада самих давлений закон д В статье [12] соотношение [c.210]

Решая построенные системы уравнений (29.20), (29.21), находим неязвестные коэффициенты [c.132]

OM и энергией на межфазной границе, капиллярные эффекты, хаотическое движение, вращение и столкновения частиц, дробление, коагуляция и т. д.) и, в результате, число возможных процессов, которые должны быть отражены в уравнениях, многокрахно расширяется. Поэтому очень важным является описать в едином виде возможные способы учета ряда основных эффектов, привлекая, где это можно, данные теоретического анализа, а где необходимо-эмпирические соотношения и параметры. Именно такой способ изложения дан в гл. 4, где представлены наиболее обш ие замкнутые системы уравнений некоторых движений гетерогенных смесей, построенные с учетом анализа осреднения уравнений движения в гл. 2 и 3. Анализ осреднения позволил более обоснованно и однозначно привлечь замыкающие гипотезы для дисперсных смесей вязких сжимаемых фаз, концентрированных дисперсных смесей с хаотическим движением и столкновениями твердых частиц и обладающих прочностью насыщенных жидкостью пористых сред. [c.7]

Вариационные принципы, порождающие системы уравнений пщро-динамики, используются как при исследовании задач математической физики, так и для построения численных методов решения таких задач. Этапы создания принципов отражены в публикациях [1-20] и в цитированных в них работах. Усилия в этой области направлены, с одной стороны, на построение интегральных функционалов, аккумулирующих в себе уравнения конкретных задач, а с другой стороны, — на достижение общности вариационных принципов. [c.7]

Таким образом, метод 5 иттекера дает возможность использовать обобш,енный интеграл анергии для исключения времени t из системы уравнений Лагранжа и приведения ее к новой системе s — I уравнений Уиттекера (4.43), имеющих вид уравнений Лагранжа, в которцх роль аргумента играет переменная q (вместо времени t) и в которые вместо производных qp по аргументу t входят производные q p по аргументу q[. Для построения уравнений Уиттекера (4,43) следует Ьредварительно построить функцию Уиттекера L. Для этого составляется выражение (4.44), в которое вместо q подставляется его выражение, полученное из обобщенного интеграла энергии (4.35). - [c.106]

При построении общего интеграла системы уравнений (II. 176а) была принята во внимание лишь половина корней уравнения частот (II. 181). Действительно, каждому положительному корню этого уравнения соответствует отрицательный корень, равный положительному по абсолютной величине. Но легко убедиться, что несущественным изменением постоянной е а функцию sin (— XJ -f ea) можно привести к функции sin (Яа -р Ец). Действительно, положим ea — n — Ец. Тогда [c.236]

При построении системы фи-и. ческих величии подбирается такая последоватсльиость определяющих уравнений, в которой каждое последующее уравнение содержит только одну новую производную величину, что позволяет выразить эту величину через совокупность ранее определенных величин, а в конечном счете через основные велич пны системы величин. [c.21]

В настоящем параграфе и в 3.7 изложение проводится применительно к декартовой системе координат и ограничивается случаем статического равновесия и отсутствием температурного эффекта. Построение вариационного уравнения Лагранжа применительно к четырехмерной задаче (при наличии термоэффекта) и в ортогональной криволинейной системе координат дано в оригинальной работе А. Е. Крушевского [48], к которой и отсылаем читателя, особенно интересующегося расчетом сложных корпусных деталей машин. [c.71]

Классический путь теоретического исследования физического явления состоит в том, что с помощью наблюдений и построенных на основе их гипотез устанавливаются основные законы, управляющие явлением. При этом привлекаются и известные к настоящему времени законы (например, закон сохранения энергии). Строится физическая модель явления, и на ее основе составляется система уравнений, описывающая изучаемое явление. Устанавливаются важные для изучаемого явления краевые условия (физические свойетва тел, форма системы, в которой протекает явление, особенности протекания процессов на границах, начальное состояние системы). Система дифференциальных уравнений вместе с краевыми условиями представляет собой математическую формулировку задачи или математическую модель, которая подвергается теоретическому исследованию. [c.6]

Параметры ДЛтпрь Отпрг находим в результате решения системы уравнений (1.3.79), учитывая физико-механические свойства материала фиктивного тела при разгрузке. Итак, тензор А (Т) построен, следовательно, определен и тензор кинетических напряжений (Т )рдзгр-Все вышеизложенное позволяет исследовать напряженное состояние тела при нагрузке и разгрузке в условиях динамического нагружения, которому соответствует распространение волн напряжений в теле. [c.70]

Пример. Построение модели злект-ронной схемы методом узловых потенциалов. Схема (рис. 40) имеет пвя внутренних узла / и следовательно, система уравнений, описывающая данную схему, будет второго порядка. [c.160]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...