Собственное значение решение

Для каждого невырожденного собственного значения решение системы уравнений (21.55) дает соответствующую собственную функцию. Если все п собственных значений невырожденные, то имеется п различных собственных функций. Важное свойство эрмитовых операторов состоит в том, что их собственные значения вещественны. Для доказательства рассмотрим уравнение (21.53) на собственные значения, которое после умножения слева на <( приводит к равенству [c.137]

Для этого надо рассматривать четыре однородные задачи, в каждой из которых один из коэффициентов а,. .. заменен собственным значением. Решение находится в виде суммы четырех рядов с коэффициентами, одинаковыми для и Я, и т. д. Мы не будем приводить соответствующих формул. [c.145]

Характер работы инженера определяет многократную повторяемость решаемых им математических задач, в числе которых решение алгебраических и трансцендентных уравнений, решение задач на собственные значения, решение обыкновенных дифференциальных уравнений, решение дифференциальных уравнений в частных производных, [c.15]

Подставляя в уравнение (2.28) какой-либо конкретный профиль скорости U z), мы придем к весьма сложной задаче на собственные значения, решение которой требует выполнения громоздких расчетов, В целях упрощения этих расчетов естественно начать с попытки воспользоваться экспериментальными данными, согласно которым критическое число Рейнольдса для большинства плоскопараллельных потоков очень велико. Следовательно, можно ожидать, что при числах Рейнольдса, близких к критическому, слагаемые в правой части уравнения Орра — Зоммерфельда (2.28), описывающие действие сил вязкости на малое возмущение, будут малы по сравнению со слагаемыми в левой части. Поэтому можно попробовать сперва считать жидкость идеальной, т. е. пренебречь правой частью уравнения (2.28), и рассмотреть укороченное уравнение [c.118]

Под Ч понимается комплексно сопряженная функция волновой функции Т. Учитывая условие (2-45), к функции Ч должно быть предъявлено требование не- прерывности и конечности во всем пространстве. Из всех решений уравнения (2-44) с учетом выполнения условий (2-45) существуют толь 0 те, которые соответствуют определенным значениям энергии Е. Эти значения называются собственными значениями энергии. [c.53]

Рассмотрим задачу об отыскании собственных векторов и собственных значений оператора монодромии. Эта задача сводится к решению системы двух линейных алгебраических уравнений [c.239]

Собственные значения р для этой системы называются мультипликаторами. Они суть решения характеристического уравнения монодромии [c.239]

В соответствии с определением 8.8.1, чтобы найти собственные значения позиционной линейной системы, достаточно решить уравнение частот. В общем случае это — алгебраическое уравнение степени п. Как видно из рассмотренных примеров, при малых п, а также в некоторых других исключительных случаях его решение может быть [c.582]

Его степень равна 2т. Корни этого уравнения есть собственные значения задачи. Каждому собственному значению Р соответствует по крайней мере один ненулевой собственный фазовый вектор Г] = (и,/3ц), где и ненулевое решение полученной вырожденной системы линейных уравнений. [c.594]

Подставив эти выражения в уравнения движения, убеждаемся в том, что уравнения удовлетворяются с учетом условия для компонент соответствующего вектора их. То же самое касается и второго собственного значения = ш. Таким образом общее решение уравнений дви- [c.598]

В действительности в (2.401) содержатся две связанные друг с другом задачи. Первая задача состоит в отыскании тех значений параметра со, для которых существуют нетривиальные решения задачи (2.401) в случае, когда р/ =0, g = 0, Р = 0. Эти значения параметра со называются собственными частотами колебаний тела Q соответствующие собственным частотам решения, определяемые с точностью до числового множителя, называются собственными формами колебаний. [c.108]

Решения уравнения (1.93) называются главными (или собственными) значениями тензора i соответствующие главным значениям Xj. главные направления будем обозначать s. . (Длину s будем считать равной единице.) Из алгебры известно, что решения уравнения (1.93) для случая симметрии = действительны, а главные направления, соответствующие различным главным значениям, ортогональны. [c.319]

Это уравнение пр 4 заданных граничных условиях имеет отличные от нуля решения лишь при определенных %п, составляющих набор его собственных значений. Все эти значения вещественны и положительны, а соответствующие функции Тп х, у, г) составляют полную систему взаимно ортогональных функций. Пусть распределение температуры в начальный момент времени дается функцией To x,y,z). Разлагая ее по системе функций J,, [c.291]

Решение уравнений Лагранжа получено в задаче 4.2.1. Собственные значения можно представить в виде [c.137]

Заметим, что, полагая i2=0, мы получим не исходное приближение (1), а суперпозицию решений нулевого приближения. Более того, полученные таким образом собственные векторы нулевого приближения являются взаимно ортогональными [54]. Таким образом, метод усреднения позволяет определять собственные значения и собственные векторы. [c.306]

Решением уравнения Шредингера (5.43) являются возможные собственные) значения энергии [c.151]

Зная, что решение невозмущенного уравнения Шредингера имеет вид функций Блоха, и пользуясь методами теории возмущений, можно найти собственное значение энергии и собственные волновые функции уравнения (7.104). [c.236]

Статический метод, который определяет собственные значения Я, т. е. те значения нагрузки, для которых система дифференциальных уравнений имеет нетривиальное решение и для которых идеальное тонкостенное тело принимает нетривиальные равновесные конфигурации с неопределенными амплитудами. [c.257]

При исследовании устойчивости стержня нагрузки неизвестны и требуется найти такие нагрузки, которые удовлетворяют нелинейным уравнениям равновесия (3.10) —(3.14) и линейным уравнениям (3.24) — (3.27) при однородных краевых условиях. Численное решение уравнений (3.10) — (3.14) для каждого шага нагружения изложено в 2.3. Возможны различные варианты нагружения стержня а) пропорциональное увеличение нагрузок б) последовательное нагружение, например вначале стержень нагружается силами, при которых нет потери устойчивости, а затем дополнительно нагружается или распределенной нагрузкой, или сосредоточенной силой или моментом. Возможны, конечно, и более сложные варианты нагружения, когда стержень дополнительно нагружается несколькими силами или моментами (распределенными или сосредоточенными). Во всех перечисленных случаях можно выделить одиу нагрузку и, увеличивая ее, довести стержень до критического состояния. Это существенно при численном счете, когда надо определять собственные значения (критические силы) краевой задачи. [c.123]

Определив критическое значение нагрузки, следует проверить выполнение использованного предположения о малости перемещений и/ точек осевой линии стержня и малости угла поворота вз связанных осей при нагружении стержня, решив для найденного значения критической нагрузки систему линейных уравнений (1). Если из решения следует, что , и з малы, то найденное собственное значение краевой задачи является критической нагрузкой, а критическое состояние стержня практически совпадает с его естественным состоянием. Если предположение о малости обобщенных перемещений не выполняется, то надо решать нелинейную систему уравнений равновесия (1), где Хз. и Оза=<5 з. являются неизвестными, с последующим определением критических нагрузок. [c.277]

Одно из следствий научно-технической революции заключается в резком повышении требований к точности расчетов, что, в свою очередь, требует более полного учета всех физических особенностей рассматриваемых задач. Как правило, прикладные задачи, связанные с исследованием колебаний стержней, требуют знания статического напряженно-деформированного состояния. Это существенно осложняет решение уравнений движения, так как требует решения уравнений равновесия — определения вектора состояния в статике, компоненты которого входят в качестве коэффициентов в уравнения малых колебаний. В консервативных задачах статическое напряженно-деформированное состояние влияет в основном только на спектр частот, изменяя их числовые значения. В неконсервативных задачах, например в задачах взаимодействия стержней с потоком воздуха или жидкости, статическое напряженно-деформированное состояние влияет не только на спектр частот (на мнимые части комплексных собственных значений), но и на критические состояния стержня (на действительные значения комплексных собственных значений), что, конечно, необходимо учитывать при расчетах. Во второй части книги, так же как и в первой, основные теоретические положения и методы решения иллюстрируются конкретными примерами, способствующими более глубокому пониманию излагаемого материала. [c.3]

Выражения, устанавливающие связь между а,( ) и а,( >( ) и Я, при которых имеют место периодические решения, называются собственными значениями функций Матье первого рода. Наибольшую ценность в полученных приближенных решениях представляют собственные значения которые разбивают плоскость пара- [c.222]

Воспользуемся алгоритмом определения собственных значений, изложенным в 4.1. Решение системы уравнений (8.66) — (8.69) ищем в виде [c.255]

Уравнения, которые используются для определения собственных значений и собственных функций при колебаниях кругового стержня в плоскости чертежа, приведены в решении задачи 5.1. Определив собственные функции (векторы), ищем решение уравнения (1) в виде [c.283]

Решения системы (2-44 ) образуют ортогональную систему функций. Это означает, что любые две функции Фг и Фк, представляющие различные собственные значения, удовлетворяют условцю ортогональности [c.53]

Книга состоит из десяти глав. По охватываемому материалу I Vi главы соответствуют в целом традиционным курсам механики. Задачи остальных четырех глав связаны с тематикой спецкурса Методы интегрирования канонических систем . В отличие от лагранжева формализма гамильтонов подход позволяет в принципе найти решение как каноническое преобразование начальных данных, не обращаясь непосредственно к уравнениям. В этом аспекте канонический формализм является мощным рабочим методом, позволяющим получить приближенное решение широкого круга физических и математических задач [1]. Рассмотрены проблемы, относящиеся к интегр ированию нелинейных уравнений, преобразованиям Дарбу и Фрелиха, ВКБ-приближению, определению собственных векторов и собственных значений, гамильтоновой теории специальных функций. Дополнительные преимущества дает метод удвоения переменных, позволяющий использовать канонический формализм для решения нового класса задач алгебраических и трансцендентных уравнений, сингулярио-возму-щенных уравнений, построению Паде-аппроксимантов, обращению интегралов и т. д. Широта диапазона рассматриваемых проблем обусловлена возможностью приведения к гамильтоновой форме нелинейных систем общего вида и универсальностью используемых методов интегрирования. [c.3]

Решение. Произведем вначале преобразование обобщенных координат к декартовым, т. е. определим матрицу S, которая приводит к диагоиалыюму виду S gS = a. С этой целью найдем собственные векторы v и собственные значения а,п уравнения. (gap-сгбар) Vf, = 0 [c.137]

Решение. Если собственные значения энергии не вырождены, то, переходя к медленным лереме1 ным Сп->а, получим из (9.1.3), [c.304]

Волновым функциям и соответствуют разные энергии. Решению ijji отвечает меньшая энергия, которая соответствует верхней границе первой зоны (точка А на рис. 7.9), а решению г1з2 — энергия, соответствуюш,ая нижней границе второй зоны (точка А ). При knla — энергиями, большими, чем Еа. В интервале от Еа до Еа нет ни одного собственного значения энергии электрона, т. е. эта область представляет собой запрещенную зону. [c.229]

По аналогии с решением уравнения Шредингера для атома водорода можно получить собственное значение энергии этого элек- трона [c.237]

Отличие уравнения (7.81) от (4.14) заключается только в том, что матрица В, входящая в (7.81), меньшего размера (8X8) в уравнении (4.14) размер матрицы В—12X12. При численном счете это отличие, конечно, не. существенно, поэтому алгоритм определения собственных значений, изложенный в 4.1, может быть использован и для решения уравнения (7.81). [c.183]

Из приближенных решений (7.232), (7.233) следует, что при дробном значении V решения ограничены во времени (но не периодические), т. е. могут рассматриваться как устойчивые, а собственные значения в зависимости от д дают кривые, целиком находящиеся в незаштрихованных областях на рис. 7.25. Функции с дробным значением V позволили установить, какие области на плоскости (а, д) являются неустойчивыми, а какие — устойчивыми. Неустойчивые области на рис. 7.25 заштрихованы. Показанные на рис. 7.25 устойчивые и неустойчивые области называются диаграммой Айнса — Стретта. [c.223]

Во втором методе, предложенном Бриллюэнолг, потенциальная энергия ионов решетки рассматривается как малое возмущение, а в качестве набора волновых функций нулевого приближения берутся плоские волны де-Бройля, являющиеся решением волнового уравнения для свободных электронов (ириближение слабо связанных электронов). Энергия электрона зависит теперь не только от величины волнового вектора, как в соотношении (8.6), но и от его направления. При таком рассмотрении также получаются интервалы энергий, не содержащие собственных значений ( запрещенные зоны ). Возникновение запрещенных зон является следствием наличия разрывов функции, описывающей зависимость энергии от имиульса. Эти разрывы объясняются тем, что через кристалл не могут распространяться электронные волны, волновой вектор которых удовлетворяет условию Брэгга. [c.324]

Уравнение (81) называется дифференциальным уравнением возмущающего движения. Исследование устойчивости решения этого уравнения представляет собой задачу о собственных значениях дифференциального уравнения (81) при граничных условиях (78). Предположим, что основное течение задано, то есть известно распределение скоростей в ламинарном пограничном слое и (у). Тогда уравнение (81) будет содержать четьхре параметра R, а, Сг, Си Для каждой выбранной пары R и а можно найти собственную функцию ф и комплексное собственное значение с = Сг + i i, причем здесь Сг — безразмерная скорость распространения возмущений, а i — безразмерный коэффициент [c.310]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...