Общие выражения для собственных значений

ОБЩИЕ ВЫРАЖЕНИЯ ДЛЯ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ [c.112]

Теперь рассмотрим случай, когда частота турбулентных пульсаций жидкости соответствует одной из частот собственных колебаний поверхности пузырька (4. 2. 3) для п 2. Так как затухание собственных колебаний поверхности пузырька очень мало, газовые пузырьки в этом случае будут быстро деформироваться и дробиться. Приравнивая характеристическую частоту турбулентных пульсаций каждой такой резонансной частоте, получим выражение, позволяющее определить критические значения критерия Уе, соответствующие условиям резонанса. В общем случае для моды собственных колебаний и-го порядка из (4. 2. 1) и (4. 2. 5) следует выражение для критического значения е в виде [c.133]

Можно показать, что в общем случае полиномы P2j-i(5, v) и a2j(s, v), / = 1, 2, 3,. .., содержат только четные степени, а полиномы P2j( ,v) и a2j-i(s, v)—только нечетные. Поэтому в уравнении (5.23) для собственных значений будут содержаться только четные слагаемые. Решая это уравнение методом итераций, мы получим разложение для собственных значений (Ир, q по целым отрицательным степеням р > 1. Число членов этого разложения определяется числом построенных полиномов ). После того как собственные значения найдены, могут быть построены приближенные выражения и для собственных функций. Невязка в уравнении Гельмгольца, которую будут давать эти приближенные собственные функции, может быть сделана порядка любой отрицательной степени Wp, q. Можно строго доказать, что возникающее таким образом разложение для собственных значений будет асимптотическим. Метод доказательства аналогичен методу, которым в 6 главы 6 была доказана асимптотика собственных значений в случае шепчущей галереи. [c.224]

Подставив эти выражения в уравнения движения, убеждаемся в том, что уравнения удовлетворяются с учетом условия для компонент соответствующего вектора их. То же самое касается и второго собственного значения = ш. Таким образом общее решение уравнений дви- [c.598]

Некоторые сведения из теории краевых задач и задач на собственные значения для дифференциальных уравнений. При обосновании условий устойчивости ниже используются различные общие факты из теории краевых задач для линейных дифференциальных уравнений. Приведем здесь некоторые из них (см., например, [248, 275, 456]), необходимые для дальнейшего. Пусть дано линейное дифференциальное выражение (у) порядка А 0, имеющее вид [c.235]

Однако при приближенном решении задачи значения А/ (Т) и jui неизвестны. Для достоверной оценки Z (Т) достаточно располагать приближенными значениями ДУ (Т) и [I l, причем должны выполняться условия AJ (Т) Д/ (Т) и < III. Значение ц[ обычно нетрудно получить из общих свойств собственных значений [9], а AJ (Т) можно найти на основе дополнительного вариационного принципа для задачи стационарной теплопроводности (1.65)—(1.67). Этот принцип приводит к выражению для встречного функционала по отношению к основному (1.88), имеющего с ним совпадающие экстремальные значения, но достигающего на истинном решении задачи не минимума, как основной функционал (1.88), а максимума. [c.29]

Итак, задача устойчивости цилиндрической оболочки сформулирована как краевая задача на собственные значения для системы дифференциальных уравнений с частными производными (6.4.1) — (6.4.5) при краевых условиях (6.4.6) и условии 2л -периодичности решения по угловой координате. Наименьшее из собственных значений этой задачи определяет критическую интенсивность внешней нагрузки, а соответствующая ему собственная вектор-функция — форму потери устойчивости. Параметрические члены уравнений нейтрального равновесия (6.4.1) в общем случае переменны и определяются путем интегрирования линейной системы уравнений осесимметричного изгиба (6.2.14) при краевых условиях (6.2.9). В выражениях для элементов матриц А, В коэффициентов этой системы (см. параграф 6.2) следует выполнить упрощения, соответствующие принятым допущениям о тонкостенности и пологости оболочки, а вектор-столбец / для рассматриваемого ниже случая нагружения оболочки равномерно распределенным внешним давлением интенсивности Р следует взять в виде [c.185]

Можно высказать следующее предположение. Оно основано на том, что классическая динамическая задача, которая сопоставляется граничной задаче типа (6.1) плп (6.3), в случае общего положения является неинтегрируемой. Поэтому распределение собственных значений в случае общего положения является квазислучайным. Отсюда, в частности, следует, что не может существовать в общем случае выражения для числа состояний N(Ю в виде ряда, например, по степеням 1Ар (р>0). Это утверждение связано с тем, что, начиная с некоторого порядка, соответствующий член ряда должен учитывать расстояние между уровнями, которое является квазислучайной величиной. Такой член ряда не может быть записан регулярным образом. [c.234]

Выражение спектра через нули функции А. Тот факт, что полюсы резольвенты К — ос) совпадают с нулями функции А (у) при у = 1/а, позволяет исследовать спектр оператора К, рассматривая нули функции А. Каков смысл появления кратного нуля функции А при у = Появление кратного нуля может указывать либо на то, что имеет место вырождение либо на то, что полюс оператора [К — t) не является простым. В случае операторов конечной размерности доказательство спектральной теоремы состоит как раз в доказательстве того, что для эрмитовых операторов алгебраическая кратность (кратность нулей функции А) совпадает с геометрической кратностью (с вырождением). То же самое справедливо и для случая операторов бесконечной размерности. Для эрмитовых операторов нуль функции А порядка п указывает на п-кратное вырождение соответствующего собственного значения (или характеристического значения). Числитель резольвенты в той же самой точке имеет нуль порядка п — 1, так что результирующий полюс является простым. В более общем случае алгебраическая кратность может отличаться от геометрической. При этом п-кратный нуль функции А может указывать либо на вырождение, либо на то, что верхний индекс оператора К — et больше единицы [т. е. полюс оператора К — a) i имеет порядок больше единицы), либо на то и на другое. [c.245]

Однако в самом общем случае коэффициенты влияния демпфирования таковы, что матрица демпфирования не может быть приведена к диагональному виду одновременно с матрицами масс и жесткостей. Как было показано в п. 3.7, собственные формы колебаний системы имеют такие соотношения между собой, которые трудно поддаются анализу. Собственные значения для подобного рода систем являются либо действительными и отрицательными, либо комплексными с отрицательными действительными частями чисел. Комплексные собственные значения являются комплексно сопряженными числами [см. выражения (3.42а) и (3.42в) ], а соответствующие им собственные векторы также являются комплексно сопряженными. Для исследования систем со значительным демпфированием, где обусловленные влиянием сил сопротивления мнимые части имеют большую величину, можно воспользоваться подходом, описанным в статье К. Фосса . Этот подход состоит в преобразовании системы п уравнений движения второго порядка в систему 2п несвязанных уравнений первого порядка. [c.305]

Соответственно существует и много выражений для псевдопотенциала. Отметим, в частности, что разность —входящую в определение псевдопотеициала (2.23), можно заменить любой функцией от энергии и от / и /, при этом уравнение (2.22) с результирующим псевдопотенциалом будет иметь те же собственные значения энергии. В этом легче всего убедиться, если записать уравнение (2.22) с таким псевдопотенциалом более общего вида, полагая энергии равными [c.115]

Все эти результаты получены для электрона со спином /г. Соотношения (5.5), (5.12) — (5.14) и те, что стоят в квадратных скобках (5.10), справедливы только для этого случая. Выражения же для скалярного произведения и коммутационные соотношения такие же, как для общего оператора углового момента, и поэтому соотношения (5.6) — (5.9) и (5.15) — (5.18) применимы в случае ионов или атомов с произвольным полным спином 161. Используя соотношения (5.6) — (5.9), можно убедиться в том, что 5 коммутирует с поэтому состояния могут быть собственными состояниями обоих этих операторов одновременно. Можно также сразу показать, что, действуя на собственное состояние оператора 8], оператор 5 увеличивает собственное значение на 1, а оператор 5г уменьшает его на 1, оставляя собственное значение оператора 8/ -З неизменным. [c.523]

Из выражений (13.5.9) и (13.5.6) вытекает, что матрицы А (и), A (v), Х(и + V - ) коммутируют и, следовательно, имеют общие собственные векторы, не зависящие от и и v. Пусть р,, р ,. .. — собственные векторы матрицы /1 (м) для некоторого физического значения и, скажем для и = Х/2, которые пронумерованы так, что соответствующие собственные значения u (m), а2(и),. . . расположены в убывающем порядке. Пусть [c.378]

Кривая для йМ по уравнению (32.17) в общих чертах походит на кривую фиг. 89, но собственные частоты распределены в этом случае не так равномерно, как в случае прямоугольного помещения, в результате чего точные значения величин ТУ не приближаются к сглаженной кривой вплоть до столь низких частот, как в случае прямоугольного помещения. Это вызвано тем обстоятельством, что при более высоких частотах имеется много мод колебания почти с одинаковой частотой, поскольку асимптотическое выражение для а показывает, что т-г.л+х тп-Это слитие допустимых частот вызвано симметрией помещения относительно оси цилиндра, в результате чего может устанавливаться известное число стоячих волн, имеющих различнее направление, но одну и ту же частоту. [c.437]

Комплексные постоянные А , В , С , в выражении (30) подбираются из условия, чтобы удовлетворялись однородные граничные условия (24). Комплексные собственные числа (у которых в приведенных выше уравнениях индекс п опущен) являются корнями уравнения, получающегося путем приравнивания нулю определителя системы уравнений, следующей из (24). Это нелинейное уравнение решается методом Мюллера с использованием начальных значений Левина [18] для итерационного процесса для общего решения (29) берутся корни только из первого квадранта комплексной плоско сти. [c.163]

Оба эти представления для решений справедливы, что видно из уравнения (ж). Как и в общем случае однородных алгебраических уравнений, здесь могут быть получены только такие решения, которые содержат произвольные постоянные. Таким образом, абсолютная величина амплитуд не может быть определена, а можно найти только их отношения или формы колебаний. Второй индекс (1 и 2) в выражениях (3.20а) и (3.206) для амплитуд означает собственные (или главные) формы колебаний, соответствующие корням р и р1-Как и в п. 3.1, решения (3.19) характеристического уравнения записаны так, что выполняется условие рх < р2. Меньшее значение представляет круговую частоту первой или основной формы колебаний, а большее соответствует второй форме колебаний. [c.216]

Факторизуемость выражений (4.11) и (4.12), сводящихся к произведению соответствующих операторов для групп ранга 1, является конкретной реализацией предложения Шиффмана о возможности сведения задачи рассмотрения сплетающих операторов группы произвольного ранга к группам вещественного ранга 1. Однако в отличие от абстрактной формы записи сплетающихся операторов в виде свертки (в общем случае — многократной) соответствующих операторов для простых отражений, здесь приведено явное выражение для произвольного преобразования вейлевской группы. При этом операторы (4.4) представимы в виде произведения известных функций типа (4.9) от генераторов компактных подгрупп, имеющих известный (целочисленный) спектр собственных значений. [c.101]

Здесь ей/ — симметричные тензоры второго порядка с ком-лонентами гц и %ц в декартовой системе координат. Термодинамическое рассмотрение показывает, что соответствующая % квадратичная форма является положительно определенной. Вследствие этого все компоненты тензора е вещественны, а его собственные значения положительны. Для многих кристаллов нужно учитывать тот факт, что диэлектрическая постоянная зависит от направления электрического поля, а также то, что результирующая электрическая индукция D может быть не. параллельной Е, так что далее будет использоваться обычно общее соотношение между этими двумя векторами в виде второго уравнения (1.10.8). В более сильных полях Е, (какие встречаются в лазерах, в выражении для индукции D м гут понадобиться дополнительные слагаемые более высокого пЬ-рядка по Е. Здесь мы вступаем в область нелинейной оптики, которая находится за рамками этой книги. [c.61]

Так как а > 1, то подходящим выбором п можно добиться того, чтобы правая часть выражения (8.95) превысила 2. Тогда матрица произведения [Т"Т ] будет удовлетворять условию (8.40), т. е. собственные значения ее будут вещественными. Следовательно, это произведение можно рассматривать как матрицу переноса, соответствующую такой компоненте цепочки, которая при периодическом повторении создала бы в окрестности данной точки X запрещенную зону. Таким образом, если в разных местах цепочки возникает последовательность ТТ.. . п раз).. . Т, то этого уже достаточно, чтобы вызвать экспоненциальный рост любого возбуждения в соответствии с общей теоремой. Это рассуждение напоминает доказательство существования особых частот ( 8.4) в спектре цепочки неупорядоченного сплава. Действительно, для полного доказательства теоремы Мацуда —Ишии случаи, когда фаза р матрицы Т кратначислуя [как и в формуле (8.64)], требуют отдельного рассмотрения. [c.373]

Сводка результатов. — Мы разбирали ряд деталей, изучая колебание струны может быть больше деталей, чем это казалось необходимым. Это было сделано потому, что струна является наиболее простым случаем системы с бесконечным числом собственных частот и легче изучать некоторые свойства, общие для нескольких систем на самой простой системе, чтобы математические выкладки не затемняли физического смысла. Действие трения, как на самую систему, так и через её опоры, и явление многократного резонанса также справедливы и для систем, более сложных, чем струна. Действие затухания, вызванного реакцией воздуха в системах более протяжённых, чем струна, имеет большее значение, но общий характер явлений будет такой же, как и в разобранном нами ьыше случае струны. Мы также разобрали ряд методов изучения проблемы колебаний, применяя их к задачам, в которых метод не слишком затемнён деталями. Эти методы будут очень полезны в дальнейшей работе. В частности, мы давали ряд примеров полезности изучения нормальных мод колебания системы. Раз вопрос о нормальных частотах и соответствующих фундаментальных функциях был разобран для системы с данным рядом граничных условий, мы можем определить движение системы для какого угодно ряда начальных условий и для любого вида действующей силы. Мы можем также обсуждать методом, подобным тому, который изложен в 12, влияние на форму колебаний небольших изменений параметров системы (например, некоторой неравномерности в распределении массы или натяжения). Выражая приложенную силу через фундаментальные функции, мы можем получить выражение для вынужденных колебаний. Мы можем показать, например, что когда частота силы, приводящей в движение систему, равна одной из допустимых частот, тогда система Принимает форму, определяемую соответствующей фундаментальной функцией, с амплитудой, равной бесконечности, если нет затухания вследствие трения (сравнить это с изложенным в последнем параграфе главы П). [c.169]

Спектральные характеристики случайной вибрации. Свойства вибрации как стационарного центрированного нормального процесса полностью определяются в общем (векторном) случае ковариационной матрицей или ее преобразованием Фурье — матрицей спектральных плотностей. В частном (скалярном) случае процесс характеризуется корреляционной функцией или спектральной плошносшыо. Поскольку испытуемые конструкции являются многорезонансными динамическими системами с ярко выраженными частотно-избирательными свойствами, спектральные характеристики (собственные и взаимные спектры) наиболее наглядны и имеют определяющее значение для инженера-испытателя. Режим испытаний слущйной вибрацией определяется спектральной плотностью виброускорения, контролируемого в одной точке и в одном направлении, или матрицей спектральных плотностей при анализе векторной вибрации. [c.460]

По этим уравнениям из значений мгновенных координат ядер в пространстве можно определить углы 0 и и тем самым про-странствениую ориентацию оси z. Так как ориентация осей х и у несущественна с точки зрения минимизации колебательного углового момента [см. формулу (7.122)], отсутствует и соответствующее условие Эккарта, задающее угол Эйлера %. Обычно угол Эйлера х выбирается постоянным. Заметим, что в гл. 7 при выводе гамильтониана двухатомной молекулы мы выбирали X = 0°. В наиболее общем случае мы можем выбрать угол х как функцию углов 0 и Тогда элементы матрицы направляющих косинусов [см. (7.52)] будут зависеть всего от двух независимых переменных 0 и Из-за отсутствия угла % в качестве вращательной переменной компоненты углового момента в системе осей, фиксированных в линейной молекуле, не удовлетворяют коммутационным соотношениям (7.147). Коммутационные соотношения становятся более сложными [см., например, (7.84) и (7.85)], и матричные элементы компонент углового момента и вращательные собственные функции отличаются от соответствующих величин для нелинейной молекулы, приведенных в табл. 8.1. Из-за наличия лишних угловых множителей [например, множителя sin 0 во втором члене выражения (7.94)] [c.365]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...