Собственные числа (значения)

Квадраты наибольшего и наименьшего значений матрицы совпадают с наибольшим и наименьшим собственными числами эрмитовой матрицы А А. Естественно, что в случае, когда сама матрица А является эрмитовой, из (15.24) получаем формулу [c.189]

Обозначив через of собственные числа в порядке возрастания, ж — собственные векторы из обобщенной задачи о собственных значениях, запишем [c.471]

Собственные значения задачи (57.12) находим по следующему алгоритму. Упорядочим собственные числа в порядке убывания [c.473]

Основным недостатком итерационных методов является трудность получения оценок их скорости сходимости. Довольно часто получается слишком медленная сходимость и выгоднее решать систему прямыми методами. Для определения оценок скорости сходимости и оптимального значения параметра релаксации а из (1.22) приходится предпринимать специальные исследования, в частности вычислять минимальное и максимальное собственные числа матрицы. Обычно это имеет смысл делать только в случае, когда линейную систему с данной матрицей предполагается решать многократно. [c.15]

Теорема. Класс всех ростков векторных полей в негиперболической (имеющей лежащее на мнимой оси собственное число) особой точке представляется в виде объединения двух открытых множеств и остатка коразмерности выше единицы в пространстве всех ростков в особой точке. Первое множество соответствует нулевому собственному значению особой точки, второе — паре чисто мнимых. Типичные ростки в том и другом случае приводятся на центральном многообразии к указанному в таблице 1 виду (строки 1 и 2). Деформации таких ростков в типичных однопараметрических семействах стабильно (с точностью до надстройки седел) эквивалентны выписанным в таблице 1 главным деформациям и нереальны. [c.20]

Рассмотрим точки, в окрестности которых медленная поверхность проектируется диффеоморфно. Таковы точки, в которых отличны от нуля все собственные числа линеаризации уравнения быстрых движений на фиксированном слое (т. е. при фиксированных значениях медленных переменных) — по теореме о неявной функции. Такие точки назовем регулярными. [c.168]

При большем единицы числе k быстрых переменных нормальная форма медленной поверхности системы общего положения остается такой же, как выше (добавляются лишь уравнения Х2=. .. =Xk = 0), если размерность ядра проектирования медленной поверхности на пространство медленных переменных в рассматриваемой точке равна 1, т. е. если нулевое собственное число линеаризации уравнения быстрого движения в рассматриваемом положении равновесия при фиксированных значениях медленных переменных однократно. [c.173]

Фактическое отыскание минимума функционала (18.119) будет обсуждаться в следующем разделе. Здесь же, не останавливаясь на доказательстве, заметим только, что для упругого стержня под действием сил постоянного направления задачи о критической нагрузке на основе энергетического и статического критериев эквивалентны. А именно, согласно статическому критерию (см. 18.2, разделы 3, 6), критическое значение нагрузки получается как первое собственное число р уравнения [c.390]

С Граничными условиями, вытекающими из способа закрепления стержня от поперечных перемещений и его нагружения по торцам. Если v — соответствующая собственная функция, т. е. форма выпучивания стержня, то подстановка v в функционал (18.119) доставляет ему минимум, равный р. Наоборот, если функция V минимизирует функционал (18.119), сообщая ему значение р, то р и v представляют собой наименьшее собственное число и соответствующую собственную функцию для уравнения (18.120) с необходимыми граничными условиями ). [c.391]

Собственные значения V/ неограниченно возрастают с возрастанием номера I. Так как о(г)>0. То vj > 0. Все собственные функции, соответствующие одному и тому же собственному числу, отличаются лишь постоянным мно- [c.110]

Собственные числа могут быть явно выражены через параметры системы только в простейших случаях. В рассматриваемом случае целевая функция может быть получена в результате вполне определенного вычислительного процесса. Значения параметров, при которых запас устойчивости будет наибольшим, можно получить в результате решения следующей задачи нелинейного программирования [c.405]

Число X называется собственным числом или собственным значением матрицы А, соответствующим собственному вектору х. [c.93]

Если теперь г o близко к единице, то уравнение (2.2) пригодно во всем интервале значений г , и решение задач А т В представляется соответствующими функциями параболического цилиндра. Можно показать [6], что собственные числа в этом случае суть [c.112]

Отметим, что N = —1 — собственное число задачи А при всех значениях г o Соответствующей собственной функцией будет при этом функция и (и). [c.112]

В дальнейшем проводились обширные теоретические исследования стационарной структуры волн химической детонации для различных моделей газов и конденсированных взрывчатых веществ с превращением последних в газ. В газах изучалась кинетическая модель детонации, в которой волна детонации представляет собой ударную волну, сопровождаемую зоной химических реакций, идущих с конечной скоростью, в которой процессами переноса можно пренебречь. Оказалось, что в теоретически мыслимых случаях, в которых имеется решение для слабой детонации, это решение существует лишь при определенном значении скорости волны детонации, которое может рассматриваться как собственное число соответствующей краевой задачи для системы обыкновенных дифференциальных уравнений. По этой причине решение для структуры слабых волн детонации получило название собственного решения. Нейманом, изучавшим кинетическую модель волны детонации еще в 1942 г., эти случаи детонации были названы патологическими. Соответствующая связь между скоростью волны и параметрами среды является в этих случаях дополнительным граничным условием на экзотермическом скачке типа слабой детонации. [c.121]

Величина к находится как наименьшее собственное число уравнения (2.3) при соответствующих граничных условиях. Число окружных волн подбирается таким, чтобы q приняло наименьшее значение. [c.141]

Задача отыскания критического значения амплитуды сдвигающего усилия So заключается в определении наибольшего собственного числа Я бесконечной матрицы А. Собственный вектор С матрицы А позволяет определить прогиб. Вычисление Л удобно производить методом итераций. При этом бесконечную матрицу А необходимо заменять последовательностью усеченных матриц. [c.200]

Для данной оболочки при известном выражении функции [2 величина Я зависит от параметра р, характеризующего количество волн по окружности. При заданном значении р Л находится как наибольшее собственное число матрицы А. Самое большое число Я из всех наибольших собственных чисел Я, соответствующих частным значениям р, определяет наименьшую величину критического усилия [c.224]

Краевая задача (2.8) —(2.10) представляет задачу на собственные числа, где роль собственного числа играет полная энергия элементарной ячейки w. Поэтому решение задачи су- ществует только для вполне определенного множества значений W. Если это множество дискретно, то говорят о дискретном спектре если множество непрерывно, то говорят, что спектр — сплошной. Оператор W — самосопряженный, поэтому для конечной области V собственные числа да образуют действительное счетное множество. Для механики разрушения наибольший интерес представляет состояние с наинизшей энергией Шо в этом состоянии система может находиться сколь угодно долго. Другие стационарные состояния системы, соответствующие большим W, обычно квазистационарны, так как под действием внешних электромагнитных волн система через определенное конечное время с вероятностью, близкой к единице, переходит в более устойчивое состояние с меньшей энергией. Вблизи точки w = Wo на основании соотношения (2.13) нет других возможных стационарных состояний системы. [c.30]

При а/ь = 0,0005 и а/Ь = 0,5 произведены расчёты, реализующие изложенный выше алгоритм. В каждом случае найдено 21 характеристическое число (табл. 7.2) и соответствующие им собственные функции. Значения величин А = п / т Е Ку,) быстро возрастают с увеличением п. Ввиду этого с достаточной степенью точности при больших временах в формуле (7.45) можно ограничиться рассмотрением лишь нескольких первых членов ряда. [c.381]

Нетрудно заметить, что при фиксированных значениях параметров pi, ко с увеличением приведенной частоты т] выражение — 1 будет бесконечное число раз менять знак, а собственные числа при этом будут переходить из комплексной области на действительную прямую и наоборот. [c.225]

Таким образом, построен искомый оператор переноса значений напряжений и перемещений с одной границы периода на другую. Свойства рассматриваемого волновода будут определяться свойствами построенного оператора Ф , в том числе и его собственными числами. [c.239]

Выще было отмечено, что если собственные числа Л , (г = О, 1) матрицы действительны и не равны единице, то соответствующие им однородные колебания в волноводе затухают вдоль продольной координаты, а если собственные числа равны единице или комплексны, то соответствующие им однородные колебания будут распространяться не затухая. Заметим, что = 1. Для случая m = 2 в работах [92, 329] также показано, что существуют интервалы изменения частоты UJ, когда все к 0) действительны и не равны единице. Следовательно на этих интервалах в целом колебания будут затухать. Такие интервалы могут чередоваться с интервалами, где хотя бы при одном значении к соответствующие собственные числа комплексны или равны единице и, следовательно, на этих интервалах соответ- [c.239]

Сформулируем теперь основной постулат равновесной статистической механики. Он отражает тот факт, что нам известно весьма немногое о микроскопическом состоянии системы мы лишь предполагаем, что энергия системы лежит в узком интервале Е, Е + АЕ). Однако, как уже говорилось, у больших систем имеется огромное число собственных состояний, значения энергии которых лежат в данном интервале. При этом у нас нет никаких данных, которые позволили бы отдать предпочтение какому-либо одному состоянию и считать, что оно лучше других представляет рассматриваемую систему — все такие состояния одинаково хорошо совместимы с имеющейся информацией о системе. Таким образом, единственное разумное предположение заключается в следующем каждое из этих состояний с равной вероятностью является реализацией макроскопического состояния системы. Именно в этом заключается знаменитый принцип равенства [c.132]

Комплексные константы п, Ь , с , dn в выражении (21) выбираются так, чтобы выполнялись условия (16). Комплексные собственные числа а являются корнями уравнения, получающегося путем приравнивания нулю определителя системы уравнений, следующей из (16). Это уравнение нелинейное и решается методом Мюллера [16]. Начальные значения величин, требуемые для используемого в этом методе итерационного процесса, даны Л. М. Балабановым [15]. Чтобы удовлетворить условиям регулярности (17), берутся корни только из первого квадранта комплексной плоскости. [c.161]

Третий том курса содержит шестой отдел, посвященный динамике (глава XVII) и устойчивости (глава XVIII) деформируемых систем. Такое объединение этих разделов механики стало традиционным. Часто оно основывалось лишь на сходстве математических задач по определению собственных частот и критической силы как собственных чисел матрицы коэффициентов некоторой линеаризованной системы уравнений, относящейся к механической системе с конечным числом степеней свободы, или собственных значений некоторого дифференциального оператора, в случае системы с бесконечным числом степеней свободы (в проблеме, устойчивости интересуются, как правило, минимальным собственным числом (значением)). Еще более органичным сближение указанных выше разделов механики стало в связи с развитием теории динамической устойчивости. Существенным импульсом для дальнейшего такого сближения явились работы В. В. Болотина, способствовавшие осознанию специалистами того факта, что само понятие устойчивости форм равновесия (покоя) следует рассматривать как частный случай понятия устойчивости движения, поскольку само равновесие (покой) является частным случаем движения. Даже обоснование широко используемого статического критерия устойчивости становится строгим лишь при использовании аппарата динамики. В связи со сказанным естественно предпослать обсуждению устойчивости изложение динамики. Именно такая последовательность расположения материала и принята в настоящей книге. [c.4]

Приведем доказательство ортогональности собственных функций, соответствующих разным собственным значениям. Пусть Я.1 и 2—некоторые собственные числа, срДх) и ф2(х) — соответствующие собственные функции [c.43]

Здесь итерационное перемножение на втором этапе теоретически должно приводить к появлению на месте [У] искомых собственных векторов, а на третьем этапе — к появлению на месте [S] диагональной матрицы с элементами, равными собственным числам. Применение матрицы [Г ] на пятом этапе эначительно ускоряет этот процесс. Если для каких-либо i, ] на четвертом этапе отношения (Ьц — bjj)/bjj и Ьц/Ь , вместе не превосходят заданную точность вычислений, то необходимо положить tij — О (этот случай соответствует близким собственным значениям). После нахождения в результате этапа (57.22) диагональных элементов матрицы [Б] они сортируются по величине, ц, соответственно, меняются местами векторы в массивах W] и [У]. Погрешность вычисления г-го вектора оценивается скалярным произведением ( и — Скорость сходимости метода одно- [c.474]

Пусть функция а у) аналитична при Imy <2. Медленное решение 2=0, y=Et=r пересекает границу устойчивости при т=0. Собственное значение Xi=t—i обращается в нуль при т = 1, дуга L, состоит из двух отрезков, соединяющих точки т =—1 и т+=1 с точкой x — i ( Г — от riti al). Пусть асимптотический момент падения то для быстро-медленного решения z t) лежит левее —1. Тогда z(—1/е)=0(е). Чтобы вычислить (1/е), удобно перейти на плоскости т из точки —1 в точку 1 по дуге L.. Для z получается линейное уравнение с чисто мнимым собственным числом, обращающимся в нуль при x=i. Вдали от точки i величина 2 испытывает лишь колебания порядка е. Существенное изменение [z] набирается в окрестности точки i и легко подсчитывается методом стационарной [c.198]

Величина X находится как наибольшее собственное число матриць/ А, которая имеет двухленточное строение. При этом необходимо производить минимизацию по параметру Я. Результаты вычислений по ЭВМ, выполненные методом степенной итерации [14.2], показаны на рис. 12.3 кривой линейная теория . При этом = AqIT — отношение амплитуды усилия к критическому усилию однородного сжатия. Эта величина отличается от единицы только при малых значениях R/h, т. е. в случае относительно толстых оболочек. Таким образом, можно считать, что амплитуда осевого критического усилия при изгибе моментом близка к критическому однородному усилию. Физически это можно объяснить локальностью формы потери устойчивости — изменение усилий в пределах вмятины незначительно. Форма потери устойчивости на половине развертки оболочки показана на рис. 12.2. Изложенная постановка линейной задачи устойчивости при изгибе моментом принадлежит Флюгге [5.4]. [c.194]

Внешняя нагрузка iVj должна быть выражена через Пп и с, а Пп зависит, в свою очередь, от п и т. Искомое значение верхнего критического параметра нагрузки является обратной величиной наибольшего собственного числа Сщах матрицы, соответствующей системе уравнений (8.2), (8.3). [c.124]

Учитывая этот результат, принцип Сен-Венана в рассматриваемой задаче можно сформулировать так значение А, = О представляет собой единственное чисто мнимое собственное число полученной выше краевой задачи. Действительно, согласно (3.38) лкхбое решение при Re Я, О дает главный вектор и главный момент, которые стремятся или к нулю, или к бесконечности при Z— оо по определению, такое решение не может быть решением Сен-Венана ). [c.69]

Далее задачи на собственные значения решаются по следующему алгоритму. Упорядочим собственные числа в порядке убьшания [c.52]

Здесь итерационное перемножение на втором этапе теоретически должно приводить к появлению на месте [V] искомых собственных векторов, а на третьем этапе — к появлению на месте [В] диагональной матрицы с элементами, равными собственным числам. Применение матрицы [Т ] на пятом этапе значительно ускоряет этот процесс. Если для каких-либо г, / на четвертом этапе оба отношения (Ь,-,- - Ьц)1 Ьц и bijibjj не превосходят заданную погрешность вычислений, то необходимо положить tfj = о (этот случай соответствует близким собственным значениям). Можно предложить и другой алгоритм, в котором на четвертом шаге точно решается полная задача на собственные значения для матрицы [В] (это легко можно сделать, так как порядок матрицы [В] равен т [c.52]

Впервые исследовал поведение собственных чисел и функций, а также сходимость разложений по ним для некоторых пучков, порожденных обыкновенными дифференциальными операторами, по-видимому, Я.Д. Тамаркин [279]. Постановка основных задач и первые важные результаты содержатся в работах М.В. Келдыша [160, 161. Здесь были введены понятия присоединенных векторов, кратность собственного числа, кратной полноты собственных и присоединенных векторов. Для некоторого класса пучков, порожденных обыкновенными дифференциальными операторами были доказаны теоремы о полноте, асимптотике собственных значений и сходимости кратных разложений. [c.8]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...