Собственные значения и собственные векторы

В 4.1—4.3 были изложены методы определения собственных значений и собственных векторов для системы однородных уравнений (5.3) — (5.6). Систему (5.3) — (5.6) можно представить в виде одного уравнения (4.127) [c.120]

Собственные значения и собственные векторы. Проблема нахождения собственных значений и собственных векторов в бесконечномерном век- [c.147]

Как отмечалось в 4.6, уравнение, определяющее собственные значения матрицы, можно решить путем приведения этой матрицы к диагональному виду элементы полученной матрицы и будут тогда искомыми собственными значениями. Следовательно, задача отыскания системы, в которой I имеет диагональный вид, является задачей о собственных значениях матрицы тензора I, причем числа /ь /2, /3 суть собственные значения этой матрицы. Кроме того, ясно, что в координатной системе, где тензор I является диагональным, направление координатных осей совпадает с направлением собственных векторов. Пусть, например, вектор w будет направлен вдоль одной из осей координат, скажем вдоль оси х. Тогда кинетический момент L = /-(o будет направлен вдоль этой же оси. Следовательно, действие оператора I на вектор, параллельный одной из координатных осей, состоит в образовании другого вектора, идущего в том же направлении. Но согласно определению такой вектор должен быть одним из собственных векторов преобразования /. [c.173]

На основании приближенных зависимосте для собственных значений и собственных векторов параметрически возмущенной модели (16.28), (16.29) получим выражения для к и h]s в виде [c.293]

В соответствии с основной теоремой алгебры характеристическое уравнение имеет хотя бы один корень (вообще говоря, комплексный), т. е. всякая матрица в области комплексных чисел имеет хотя бы одно собственное значение и собственный вектор. [c.96]

Метод вращений или метод Якоби. Вещественная симметричная матрица G всегда имеет линейные элементарные делители. Отыскание собственных значений и собственных векторов такой матрицы равносильно построению такой ортогональной матрицы и, для которой [c.80]

СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ И СОБСТВЕННЫЕ ВЕКТОРЫ ДВИЖЕНИЯ НЕСУЩЕГО ВИНТА [c.337]

Сначала с целью создания основы для анализа периодической системы будет выполнен анализ линейной стационарной системы. Хотя основным объектом исследования в настоящ,ей главе являются периодическая система и особенности ее поведения, решение стационарных систем проще, и они более широко используются. Рассмотрим систему, описываемую обыкновенными дифференциальными уравнениями вида х = Лх + Вх, где А я В — постоянные матрицы. Вектор состояния х имеет размерность п. Динамические характеристики этой системы определяются собственными значениями и собственными векторами матрицы А. Система порядка п имеет п собственных значений Я/ (/= ,..., ) и соответствующих им собственных векторов U/, являющихся решениями системы алгебраических уравнений А — kjl)Uj = 0. Эти однородные уравнения имеют ненулевые решения только в том случае, когда det(y4 — kl) = [c.341]

При анализе линейной стационарной системы требуется в основном оценка собственных значений и собственных векторов матрицы А. Приведенное выше разложение показывает, что решение неустойчиво, если Re(X,/)>0 хотя бы для одного /. Собственные значения определяют устойчивость системы часто она представляется графически в виде траекторий корней на комплексной плоскости при изменении какого-либо параметра. Система устойчива, если все корни находятся в левой полуплоскости. Собственные векторы и/ описывают форму изменения параметра состояния х, соответствующую каждому собственному значению. Собственные значения действительной матрицы А могут быть действительными или комплексными. Комплексные корни обычно характеризуются частотой o=Im(X,) и от- [c.342]

Таким образом, анализ динамики системы, описываемой линейными дифференциальными уравнениями с периодическими коэффициентами, требует определения фундаментальной матрицы ф за время одного периода (от / = О до Т) путем интегрирования уравнения ф = Лф с начальными условиями ф(0) = = /. Затем определяются собственные значения и собственные векторы матрицы а = ф(Г) и корни системы у = (1/Г)1п0. Формы составляющих движения определяются зависимостями PS = ф5е или U, = е- / фУ/ (где v, — собственные векторы а). Система неустойчива, если 9/ >1 или Re(X,/)>0 для какой-либо из мод. Часто анализ сводится лишь к нахождению собственных значений, поскольку переменные во времени собственные векторы периодической системы содержат много информации о ней. Для системы второго порядка с одной степенью свободы можно получить характеристическое уравнение непо- [c.346]

Влияние этого преобразования на собственные значения и собственные векторы динамики несущего винта обсуждено в разд. 8.5. Дальнейшее решение будет рассмотрено в гл. 12, при введении аэродинамических сил. [c.363]

Отметим, что практически для матриц большого размера коэффициенты t в (10.8) не вычисляются. Существуют другие, более удобные для ЭВМ методы отыскания собственных значений и собственных векторов [1, 29]. [c.360]

Задача определения комплексных амплитуд компонент различных мод сводится к нахождению собственных значений и собственных векторов матрицы (П.153) и (11.154). [c.215]

И к р а м о в X. Д. Стандартная программа вычисления собственных значений и собственных векторов комплексной матрицы методом типа Якоби (СП-3224). Тр. /ВЦ МГУ, 1971, вып. 44.-47 с. [c.157]

Определение собственных значений и собственных векторов [c.351]

Разложим собственное значение и собственный вектор к на действительную и мнимую части [c.70]

В любом оператор Lo с i)(Lo)= i>s+i является самосопряженным оператором с дискретным спектром. Его собственные значения и собственные векторы не зависят от S. [c.330]

Решение. Найдем вначале собственные значения и собственные векторы уравнения [c.180]

Применяя стандартную программу по определению собственных значений и собственных векторов к матрице со, можно вычислить значения г и а,- (г = 3, 4, 5, 6) при любом п (см. пример 1). Если указанная выше программа отсутствует, то значения 2 и аг удобно находить следующим образом. Параметр г является корнем уравнения [c.124]

Пример 2. Определим собственные значения и собственные векторы матрицы (О в (8.3) для цилиндрической оболочки, рассмотренной в примере 1 при п = 4. [c.127]

Используя стандартную программу по определению собственных значений и собственных векторов па машине серии ЕС, получим для матрицы м в (8.16) нашей оболочки (I — мнимая единица) собственные значения [c.127]

Следовательно, число электронов и полный импульс являются интегралами движения и их значения можно использовать для характеристики собственных значений и собственных векторов гамильтониана (38.1). Число фононов не сохраняется. Ниже мы рассмотрим только состояния с одним электроном в зоне проводимости. [c.273]

Таким образом, анализ результатов расчета собственных значений и собственных векторов матриц Ц5г< показал, что пространственно-временная устойчивость первых трех наиболее инфор- [c.131]

Общая методика, использующая собственные значения и собственные векторы, изложена в разд. 11.4. [c.214]

М. Величины Хп и р называются соответственно собственными значениями и собственными векторами матрицы 8. Вследствие соотношения симметрии (11.25) Рш удовлетворяют условиям. [c.233]

Здесь собственные значения и собственные векторы являются функциями 1,М2, причем векторы и линейно независимы. Возьмем на плоскости i, 2 линии, ортогональные собственным векторам и и введем функции h u, u2) и /2( 1, 2), принимающие постоянные значения на этих линиях. Градиенты функций /j и /2 направлены по векторам и [c.25]

Только в случае двух степеней свободы, когда для Я получается квадратное уравнение, собственные значения и собственные векторы можно легко найти в явном виде. Однако именно этот случай соответствует двумерным отображениям, которые занимают центральное место в нашем анализе нелинейных колебаний. Что касается большего числа степеней свободы, то аналитические решения здесь удается получить лишь в некоторых специальных случаях. [c.212]

Для неподвижной точки Ах = М1 и движение в ее окрестности определяется матрицей Ма. В случае же периодической точки с периодом, большим 1, собственные значения и собственные векторы находятся из уравнения [c.215]

Следует заметить, что и [г) ] соответственно суть собственное значение и собственный вектор тензора В силу свойств тензора кТ ы можно утверждать, что тензор Лд симметричен и положительно определен. [c.52]

Программа JA OBI написана на языке BASI . Она находит все собственные значения и собственные векторы симметричной матрицы А = итерационного метода Якоби [1,2] [c.117]

Теперь исследуем характеристики движения несущего винта, в частности собственные значения и собственные векторы системы уравнений движения в невращающейся системе координат. Рассмотрим динамическую систему, состоящую из массы, пружины и демпфера, которая во вращающейся системе координат имеет следующее уравнение махового движения на режиме висения [c.337]

На основе изложенного метода теоретического исследования была составлена программа для вычислительной машины системы FA OM 230-75, на которой вначале была исследована сходимость решений, а собственные значения и собственные векторы задачи определялись энергетическим методом. Для сплошной цилиндрической оболочки частоты колебаний удовлетворительно сходились при использовании трех членов (р = О, 1, 2) в ряде для перемещений (7). Однако для оболочки с большими вырезами Для получения сходимости. результатов требовалось большее число членов, и представленные здесь результаты были получены при использовании 9 членов ряда. Как показано на рис. 4, 5 и 12, между теоретическими и экспериментальными данными для сплошных цилиндрических оболочек было достигнуто хорошее совпадение. На этих же трех рисунках нанесены результаты, полученные с помощью метода конечных элементов и расчетов на вычис. лительной машине по программе, основанной на книге Зенкевича [10]. В конечно-элементном представлении оболочка разбивалась на десять осесимметричных оболочечных элементов, включающих четыре узловых параметра. Полное описание этой конечно-элементной схемы дано в работе [II]. [c.284]

Пусть Л —вполне непрерывный (другое название компактный) оператор. Известно (см., например, [2], гл. V), что тогда 2 (Л) состоит из О и не более чем счетного множества собственных значений, которые могут скапливаться только к 0. Каждому собственному значению Я =/= О отвечает конечномерное корневое подпространство 2 (Я) = %), состоящее из всех таких векторов f, что (Л — /) f = 0 при каком-нибудь натуральном т. Если f =7 = О, то наименьшее m = m(f) называется порядком вектора f. Корневые векторы порядка 1 — это собственные векторы, порядка больше 1 — присоединенные векторы. Если О — собственное значение, то мы будем предполагать, что отвечающие ему корневые векторы образуют конечномерное подпространство ). Размерность d (Я) = dim й (Я) называется алгебраической кратностью собственного значения Я. Если она больше 1, то либо 2 (Я) состоит из О и собственных векторов, либо там имеются также и присоединенные векторы. Положим еще m( ) = maxm(f) по всем f =7 О из Й(Я) это наибольший из размеров жордановых клеток матрицы оператора Л в (Я). [c.302]

Итера- ция (итера- ция) То же Собственные значения и собственные векторы Обеспечивает наилучшую точность для наибольшего и наименьшего собственных значений [c.68]

Обобщение понятий собственных значений и собственных векторов на непериодические траектории было дано Оселедецем [323]. Возможность такого обобщения связана с тем, что непериодические траектории можно приближать периодическими с достаточно большим периодом. [c.297]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...