Теория линейных уравнений в целом

Теория линейных уравнений в целом [c.129]

Соотношение (ПО) является следствием равенств (104) и (105). В соединении с одним из этих равенств оно может служить для определения скоростей тел и х, vqx после удара. Для этого придется решать систему, состояш,ую из одного линейного уравнения и одного квадратного, а по исключении одного из неизвестных — квадратное уравнение. Из двух решений этого уравнения одно соответствует обраш,ению в нуль величин (106), на которые производилось умножение в ходе вывода. Это решение следует отбросить. Конечно, определить скорости после удара можно непосредственно из двух линейных уравнений (104), (105), и для этой цели соотношение, выражаюш,ее теорему Карно при прямом центральном ударе двух тел, не дает ничего нового. Оно имеет, однако, существенное значение, так как выражает в отчетливой форме энергетическое соотношение при ударе тел. [c.239]

Основное предположение линейной механики разрушения состоит в том, что трещина распространяется тогда, когда величина коэффициента интенсивности достигает критического значения, характерного для данного материала. Совершенно эквивалентная формулировка этого предположения состоит н том, что сила G, движущая трещину, превосходит критическое значение — сопротивление распространению трещины. Формула (19.4.4) утверждает эквивалентность двух этих формулировок. Что касается механического содержания принятой гипотезы и всей теории в целом, на этот вопрос можно ответить по-разному, а в рамках формальной теории вообще его можно не ставить. Тем не менее некоторые соображения могут быть высказаны. В оригинальной работе Гриффитса предполагалось, что освобождающаяся при росте трещины упругая энергия расходуется на увеличение поверхностной энергии если есть поверхностная энергия на единицу площади, то сила сопротивления движению трещины G = Анализ Гриффитса в течение долгих лет считался безупречным, хотя в нем содержится некоторый органический дефект. Энергия поверхностного натяжения вводится в уравнения теории как нечто данное и постороннее по отношению к упругому телу. На самом деле, поверхностная энергия есть энергия поверхностного слоя, свойства которого в той или иной мере отличаются от свойств остального материала и при решении задачи теории упругости этот поверхностный слой нужно как-то моделировать. Простейшая схема будет состоять в том, чтобы рассматривать поверхностный слой как бесконечно тонкую пленку с постоянным натяжением 7. Если контур свободного отверстия имеет кривизну, то поверхностное натяжение дает нормальную составляющую силы на контуре. При переходе к разрезу, в вершине которого кривизна становится бесконечно большой, поверхностное натяжение создаст сосредоточенные силы. В результате особенность у кончика трещины оказывается более высокого порядка, а именно, вида 1/г, а не 1/У г. На это обстоятельство было обращено внимание Гудьером, однако полное решение задачи было опубликовано много позже. В связи с этим можно выразить сомнение, связанное с тем, в какой мере пригодно представление о поверхностном натяжении в твердом теле как о натянутой бесконечно тонкой пленке, а особенно в какой мере эта идеализация сохраняет смысл при переходе к пределу, когда отверстие превращается в бесконечно топкий разрез. [c.664]

В послевоенный период теория автоматического регулирования формируется как самостоятельная научная дисциплина. Существенное влияние на ее развитие оказали результаты, полученные в смежных областях, особенно радиотехнике. Критерий Найквиста — Михайлова и критерий Михайлова были распространены на системы, описываемые дифференциальными уравнениями высокого порядка. Возможность использования экспериментально снятой амплитудно-фазовой характеристики устойчивой разомкнутой системы для определения устойчивости замкнутой системы делает частотные методы весьма распространенными на практике. В 1946 г. эти критерии были распространены на случаи нейтральных и неустойчивых разомкнутых систем. Теория устойчивости линеаризованных систем с сосредоточенными параметрами получила свое завершение в разработке теории Д-разбиения. В 1946 г. были исследованы закономерности расположения корней целых функций на комплексной плоскости, характеризующие устойчивость систем с распределенными параметрами (трубопроводы, длинные линии электропередач и т. д.) и с элементами с транспортным запаздыванием. На системы с запаздыванием был распространен метод частотных характеристик систем с сосредоточенными параметрами. В 1947 г. этот метод был распространен на один класс систем с распределенными параметрами. В связи с задачами стабилизации линейных систем в 1951 г. было [c.248]

Нестационарный процесс передачи тепла через однослойную стенку описывается системой размерных уравнений (4-1) — (4-4). Используя теорию обобщенных переменных, преобразуем указанную систему уравнений в обобщенные безразмерные уравнения. С этой целью заменим переменные Т, х, г относительными переменными Q, I и i по линейным соотношениям [c.154]

Расчет поставлен как трехмерная задача теории упругости. Использован, конечный элемент одного типа — параллелепипед (см. табл. 2.15). Расчетная схема (рис. 5.6, б) включает 924 элемента и 1290 узлов. Порядок системы линейных уравнений — 3350, ширина ленты — 150. Цель расчета — определение скалывающих напряжений в местах примыкания перемычек к стойкам пилона. Изолинии скалывающих напряжений для верхней перемычки показаны на рис. 5.6, в. [c.129]

Главная цель исследований состояла в выяснении природы экспериментально наблюдаемых нелинейных эффектов при относительно малых деформациях и получении двумерных уравнений слоя, описывающих эти эффекты. При малых деформациях уравнения переходят в соотношения линейной теории слоя, рассмотренные в главах 1, 2. [c.275]

Целью данного изложения не было описание точных теорий, содержащих хорошо известные и выверенные уравнения. В этих классических теориях требуется лишь проинтегрировать уравнения, и механическая задача сводится к задаче чисто математической, где можно пользоваться наиболее изящными методами, привлекать в полной мере функциональный анализ, теорию распределений и т. п. Что касается основ, т. е. законов баланса и уравнений состояния, то они предполагаются раз навсегда принятыми. В классических теориях уравнения состояния берутся насколько можно более простыми несжимаемость и закон Паскаля для идеальной жидкости, закон Гука для линейной упругой среды. (Например, в нелинейной упругости разве много есть задач, решенных в элементарном, замкнутом виде ) На этой относительно примитивной основе можно построить огромные здания гидродинамики и теории упругости. [c.68]

Вообще если коэффициенты любой системы линейных уравнений образуют матрицу, в которой число столбцов п больше числа рядов т, то ранг г этой матрицы является максимальным порядком неисчезающих определителей, которые мог т быть образованы из т рядов и п столбцов. Алгебраическая теория утверждает, что (это будет показано ниже) существует единственное решение уравнений из любых г членов при условии, что детерминант, составленный из коэффициентов, не является нулем любой подбор делается для оставшихся членов, неравных нулю. Далее теория утверждает, что здесь имеется только п—г линейных независимых решений это значит, что любой другой подбор оставшихся членов будет просто давать полученные ранее комбинации. Поэтому в общем случае число линейно независимых решений линейных уравнений для степеней размерных величин дает также определенное число безразмерных произведений в целой системе. [c.12]

Ясно также, что данный произвол, установленный выше, исходя из уравнений линейной теории упругости, будет иметь место и в наиболее общем нелинейном случае, если только считать, что при перемещениях тела в целом действующая на него внешняя нагрузка получает соответствующий поворот, не изменяя своей величины. [c.218]

Линейные уравнения равновесия (2.1.2) можно сохранить как точные соотношения, если полагать переменные лагранжевыми и в качестве компонентов напряжений включая заданные в граничных условиях, принять компоненты тензора Пиолы-Кирхгофа (см. 3.1). Кроме уравнений равновесия, в линейную теорию входит закон Гука (2.1.1), (1.13), который теперь устанавливает линейную связь между указанными компонентами и градиентом перемещений (в лагранжевых переменных). При этом напряжения возникают не только вследствие деформации, но и при повороте тела в целом, однако в остальном соответствующая механическая система внутренне непротиворечива и обладает потенциальной энергией, выражающейся при произвольных значениях компонент градиента перемещений формулой (1.12). [c.79]

В этом разделе мы займемся повторением некоторых общих теорем алгебры и теории линейных дифференциальных уравнений. Излагая их, мы преследуем следующую цель. В дальнейшем нам придется заниматься рассмотрением систем обыкновенных дифференциальных уравнений общего вида [c.106]

В предыдущих разделах настоящей главы были представлены решения некоторых задач плоского течения, имеющих практическое значение. При этом были использованы некоторые из наиболее мощных аналитических методов теории потенциала. Так как мы в первую очередь заинтересованы в физической интерпретации и значении этих задач, то нами были показаны только те методы, которые имеют непосредственное приложение к проблемам некоторого практического значения . Однако существует ряд общих выводов, имеющих практический интерес, которые можно будет достаточно хорощо обрисовать здесь и которые не зависят от таких подробных данных, которыми характеризовались уже рассмотренные задачи. В качестве первого вывода следует упомянуть, что в целом каковы бы ни были отдельные формы граничных контуров, течение в любой системе замкнутых поверхностей всегда пропорционально разности давлений между поверхностями, через которые движется жидкость и от которых она движется при условии, что оба ряда поверхностей имеют постоянное давление каждый. Это положение можно рассматривать как само собой очевидное следствие линейности уравнения Лапласа. Его можно вывести также, пользуясь методом функции Грина. Однако представляет собой интерес показать следу- [c.190]

Очевидно, указанные функции не могут выбираться произвольно и, если они не удовлетворяют всем уравнениям теории упругости, то по крайней мере должны удовлетворять граничным условиям задачи. Так как для последней цели можно выбрать бесконечное множество функций, то за разрешающую функцию принимается линейная комбинация элементарных функций (но каждая в отдельности удовлетворяющая граничным условиям) с неопределенным коэффициентом при каждой из них. [c.133]

Итак, построен формальный алгоритм получения решения уравнений Буссинеска для случая валов в задаче Ре лея в виде рядов (1.3) при произвольных параметрах Решение дифференциального уравнения (1.13) получено явно. Возникает вопрос о ра-циональном выборе управляющих параметров с целью обеспечения достаточно хорошей сходимости рядов (1.3). Теоретические результаты исследования сходимости этих рядов как в случае рассматриваемой задачи, так и в более простых ситуациях 7] отсутствуют. Трудность доказательства теорем сходимости усугубляется тем, что системы базисных функций в рядах (1.3) линейно зависимые. Поэтому в дальнейшем сходимость рядов исследуется экспериментально. [c.386]

Кратко рассматриваются Теоретические основы линейной механики разрушения для введения понятий коэффициентов интенсивности напряжений и скорости освобождения упругой энергии. В работе установлено, что метод граничных интегральных уравнений (ГИУ), применяющийся для решения задач теории упругости, является эффективным и точным средством, позволяющим вычислять значения коэффициентов интенсивности напряжений и скорости освобождения упругой энергии в двух- и трехмерных задачах механики разрушения. Рассматриваются основные представления метода ГИУ и описывается распространение метода на задачи механики разрушения, В двумерном случае представлены численные результаты, полученные при помощи построения специальной функции Грина для задач о трещинах. В трехмерном случае приводятся результаты для поверхностной трещины, найденные путем стандартного решения по методу ГИУ. Указываются некоторые задачи и цели дальнейших исследований. [c.46]

Благодаря гибкости средств программного обеспечения при построении управляющих алгоритмов возможности проектировщика не ограничиваются только выбором между стандартными звеньями П-, И- или Д-типов, как в случае аналоговых систем. Он может применять и более сложные алгоритмы, основанные на современных методах теории дискретных систем, использующих различные математические модели объектов управления. К настоящему времени опубликован целый ряд работ, посвященных теоретическому анализу и синтезу линейных дискретных систем, описываемых скалярными и векторными разностными уравнения- [c.8]

В настоящем параграфе модель Друде — Лоренца будет распространена на нелинейные процессы. Как мы уже убедились (см. разд. 1.11), возможен вывод фундаментального уравнения, содержащего классическое описание НЛО, при использовании нелинейной силы вследствие появления при этом поляризационных членов высшего порядка по в принципе достигается полное теоретическое объяснение важнейших экспериментально обнаруживаемых эффектов НЛО. Как и в линейном случае, кроме того, может быть дана количественная интерпретация функций восприимчивости высших порядков. Для этой цели следует воспользоваться определенными общими свойствами нелинейной теории, в частности свойствами симметрии, рассмотренными в разд. 1.22. В дальнейшем оказывается возможным ограничиться простейшим случаем нелинейной силы порядки величин отклонения X от положения равновесия и силовые постоянные кв, к в,. .. таковы, что в разложении силы (1.11-3) можно пренебречь членами третьего и высших порядков по сравнению с членами первого и второго порядков. В данном параграфе мы примем, что соблюдаются допущения разд. 1.11 для постоянной объемной поляризации молекула или кристалл будут считаться построенными из носителей заряда таким образом, что в отсутствие внешнего поля поляризация равна нулю. [c.110]

Уравнения (24) позволяют найти перемещения каната при заданной нагрузке Т и Л1, а предыдущие зависимости дают возможность по перемещениям вычислить внутренние силы и моменты в отдельных проволоках. Напряжения в проволоках, включая и контактные напряжения от сил /о, могут быть вычислены по известным зависимостям теории упругости. Эти решения получены для многослойных спиральных канатов с линейным касанием проволок и для наружного слоя — при нормальном точечном контакте. Для внутренних проволок при двухстороннем нормальном точечном контакте пролеты с обеих сторон в общем случае различны и их отношение не равно целому числу, поэтому здесь нельзя получить решения в форме периодических функций. Многослойные спиральные канаты с точечным контактом в настоящее время, как устаревшие конструкции, применяются редко. Наиболее широкое распространение имеют пряди типа 1 +6+12, в которых первый слой проволок контактирует с центральной проволокой по линии, а наружные проволоки имеют линейный или нормальный точечный контакт. Таким образом, полученные формулы пригодны для наиболее широко применяемых конструкций спиральных канатов и прядей. [c.132]

Функциональные уравнения, которые в предыдущих главах использовались для доказательства теорем существования, могут быть также применены для построения приближенных (численных) решений [15]. Для этой цели мы воспользуемся приемом, основанным на замене интегральных (функциональных) уравнений системами линейных алгебраических уравнений, эквивалентными, в некотором смысле, исходным уравнениям, ( 1 — 19) и методом разложения в обобщенные ряды Фурье по некоторым полным системам функций ( 20 — 37). [c.319]

Однако подобное расширение области исследований с целью охвата дополнительных сложностей нелинейных явлений должно с самого начала сопровождаться жесткими ограничениями в других отношениях. В разделах 2.8—2.11 мы сосредоточим внимание на плоских звуковых волнах, хотя укажем в нескольких местах, что соответствуюш ие результаты применимы также к продольным волнам обш его вида в однородных трубах или каналах (если пренебречь трением), и в разд. 2.12 непосредственно возвратимся к случаю длинных волн в однородном открытом канале. Отбрасывая во всех этих пяти разделах любые усложнения, вызванные неоднородностью физических характеристик жидкости или поперечного сечения, ослаблением волны или влиянием эффектов трехмерности, мы сможем сфокусировать внимание непосредственно на характерных особенностях, привносимых нелинейными членами уравнений движения даже в те очень простые свойства плоских звуковых волн, которые уже полностью изучены с помош ью линейной теории в разд. 1.1. [c.173]

На первый взгляд может показаться, что проведенное исследование малопригодно для практических целей, так как для составления матрицы F требуется знать решение (30.7.2) уравнений движения. Но это, однако, не совсем так. Фактически нам требуется знать лишь значения при р = а, = О, t = а, для чего достаточно знать решение уравнений линейного приближения (уравнений в вариациях) для случая = 0. Последнее же решение всегда может быть построено (гл. XXIII). Таким образом, теория Пуанкаре дает нам практически удобный метод доказательства существования периодических решений. [c.616]

В 1890 г. Хевисайд разработал ставший знаменитым операционный метод для решения систем обыкновенных линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, встречающихся в теории электрических цепей. Для этого случая Хевисайд дал элементарное обоснование своего метода. Затем он обобщил ) его на дифференциальные уравнения в частных производных электромагнитного поля и теплопроводности и получил целый ряд новых решений, причем этим методом не только удалось найти решения еще нерешенных задач, но и получить решения новых типов, например решения, специально соответствующие большим или малым промежуткам времени. Математическая строгость этих решений оставалась довольно сомнительной, и поэтому появилась настоятельная потребность математически строго обосновать всю теорию. Первый шаг в этом направлении был сделан Бромвичем ) [2], который в своей классической статье получил контурный интеграл с операционным выражением Хевисайда в качестве подынтегральной функции. Далее он доказал, что этот интеграл удовлетворяет дифференциальному уравнению и начальным условиям, а позже оценил интеграл обычными методами контурного интегрирования. Его идеи были в дальнейшем развиты в книге [4] и нашли широкое использование в теории теплопроводности. Подобный метод, в котором также применяется контурный интеграл, был разработан Карслоу [5] (см. также приложение 1), но в его методе подын- [c.292]

Для понимания нелинейных явлений в волоконных световодах необходимо рассмотреть теорию распространения электромагнитных волн в нелинейной среде с дисперсией. Цель этой главы-получить основное уравнение распространения оптических импульсов в одномодовых световодах, В разд. 2,1 вводятся уравнения Максвелла и основные понятия, такие, как линейная и нелинейная индуцированная поляризация и диэлектрическая проницаемость, зависящая от частоты. Понятие мод волоконного световода вводится в разд, 2,2, в котором обсуждается также, при каком условии световод будет одномодовым, В разд. 2,3 рассматривается теория распространения импульсов в нелинейной среде с дисперсией в приближении медленно меняющихся амплитуд в предположении, что ширина спектра импульса много меньше частоты электромагнитного поля, В разд. 2,4 обсуждаются численные методы, используемые для решения уравнения распространения. Особое внимание уделено методу расщепления по физическим факторам с использованием быстрого преобразования Фурье на дисперсионном шаге (SSFM) он отличается большей скоростью счета по сравнению с большинством разностных схем. [c.33]

Предположение о несжимаемости материалов при ползучести с большой степенью точности выполняется для большинства металлов и сплавов. Однако при этом допущении не удается описать такое часто встречающееся у легких металлов и их сплавов явление, как неодинаковость поведения при растяжении и сжатии. Это связано с тем, что в рамках тензорно-линейных уравнений состояния, записанных выше, не учтено влияние на ползучесть нечетного инварианта тензора напряжений. Для учета разносопротивляемости при ползучести большинство авторов используют первый инвариант тензора напряжений [71, 137]. Имеются работы, где для этих целей привлекается третий инвариант девиатора напряжений [58, 177]. Различные реологические модели сред и их практическое применение при расчетах элементов машиностроительных конструкций рассмотрены в монографии [166]. Следует отметить исследования, проведенные в работе [137], предоставляющие широкие возможности для построения соотношений теории ползучести, учитывающих разнообразные эффекты, свойственные современным конструкционным материалам. [c.108]

Во втором издании Теории звука рассматривается обобщение линейных колебаний и в другом направлении,— когда параметры системы периодически изменяются. В обоих случаях Рэйли имел предшественников уравнение колебаний с третьей степенью скорости встречалось и раньше в небесной механике, и Остроградский посвятил ему небольшую, но во многих отношениях замечательную работу в 1836 г. А при анализе влияния периодически изменяющихся параметров Рэйли рассматривает частный случай уравнения, полученного Матье в 1868 г. при исследовании колебаний эллиптической мембраны к тому же общие результаты по теории линейных дифференциальных уравнений с периодическими (общего порядка) коэффициентами были получены еще в 1883 г. в работе, которая, по-видимому, осталась неизвестной Рэйли Но в обоих случаях Рэйли исходил из общей постановки вопроса — и с целью показать границы линейной теории, и с целью выявить (притом самыми скромными средствами) некоторые новые свойства колебаний, обусловленные нелинейностью. Так на исходе XIX в. подготавливалась почва для оформления в самостоятельную дисциплину теории (как линейных, так и нелинейных) колебаний. [c.279]

В деформационной теории пластичности для анализа напряжений широко используется метод упругих решений, разработанный А. А. Ильюшиным [103]. Названный метод в каждом приближении состоит в решении задачи неоднородной теории упругости. С этой целью уравнения поля для процесса нагружения выражаются в перемещениях . В нулевом приближении принимается решение линейной термоупругой задачи для неоднородного тела с заданными граничными условиями при данной интенсивности поверхностной нагрузки. Если известны деформации, согласно (4.12) можно вычислить эквивалентные деформации. Далее, когда в какой-либо точке возникает текучесть, секущий модуль в Х4.9) ф 2[х при (О == (о(ёу, 0) О, Соотношение напряжений — деформации для рассматриваемого материала дается, например, выражением (4.16), следовательно, можно определить секущий модуль. Это позволяет найти из закона Гука соответствующее напряжение, скажем Wij, Если дулевое приближение является точным, будет справедливо равенство ац = ц. Если же это приближение не является точным, то ищется следующее приближение, при котором значение рассматривается как ис-трчник фиктивных массовых сил /П/ и поверхностных нагрузок д ], определяемых как рт,- = Wi/, /, qi s где / — внеш- [c.135]

В книге сделана попытка дать новое, более наглядное изложение предложенного Мором графического метода представления напряжений и бесконечно малых деформаций. С этой целью автором широко использовано понятие об октаэдрических составляющих напряжений и бесконечно малых деформаций, с помощью которых многие важные факты в теории пластичности нашли простое выражение. Автор надеется, что инженеры и физики будут шире пользоваться этим методом, весьма удобным для наглядного представления тензоров напряжения и деформации и для анализа критериев прочности и пластичности в твердых телах. Одна из глав посвящена векторному аппарату исследования геометрии напряжений и конечных однородных деформаций. Ее можно рассматривать как попытку познакомить читателя, имеющего математические склонности, с основами теории линейных вектор-функций в ее применении к теории деформаций непрерывной среды и с использованием диадного исчисления Гиббса. Удивительно, что простота, совершенство формы и ясность изложения, которые достигаются при пользовании этим методом, не встретили до сих пор широкого признания в литературе по прикладной механике. В гл. XIV автор следовал изложению книги Вилсона Векторный анализ . Хотя присущие диадному исчислению эвристические достоинства и не требуют рекомендаций для механиков, все же нужно добавить, что этот прием не заключает в себе каких-либо преимуществ перед другими методами в качестве средства для нахождения конкретных решений дифференциальных уравнений в частных производных. [c.6]

Основное внимание в монографии уделяется явлению рассеяния оптического излучения и решению соответствующих обратных задач применительно к дистанционному оптическому зондированию атмосферы. В ней обобщаются результаты исследований, по--лученные авторами и их сотрудниками в последние годы по методам интерпретации оптических измерений. Именно явление светорассеяния в первую очередь определяет то, что принято понимать под оптикой атмосферы [27]. С другой стороны, оно лежит в основе дистанционных методов исследования полей физических и оптических параметров атмосферы. В монографии значительное место отводится построению эффективных алгоритмов оперативной обработки и интерпретации оптической информации, которая может быть получена с использованием таких измерительных систем, как спектральные радиометры, многочастотные лидары, по-.ляризационные нефелометры, спектральные фoтoмeтpJ5I, установленные на космических платформах и т. п., а также измерительных комплексов, которые могут быть составлены из указанных оптических систем. Это, по мнению авторов, должно способствовать олее широкому использованию методов решения обратных задач светорассеяния в практике атмосферно-оптических исследований. Что же касается математических аспектов теории интерпретации косвенных измерений, которые необходимо сопутствуют любому исследованию по обратным задачам, то их изложение в основном дается в краткой форме и по возможности элементарно. Во многих случаях, где это оказывалось возможным, изложение основного материала сопровождалось численными примерами. В тех разделах, где речь идет о некорректных задачах, широко используется известная аналогия между линейным интегральным уравнением и линейной алгебраической системой. Поэтому для большей ясности в понимании и прочтении формульного материала интегральные операторы во многих местах можно заменять соответствующими матричными аналогами. В целом содержание монографии достаточно замкнуто и не требует, по мнению авторов, излишне частого обращения к дополнительной литературе. Вместе с тем авторы не гарантируют легкого чтения всех без исключения разделов монографии. В ряде мест естественно требуется определенная проработка и осмысление материала, особенно для той категории читателей, которая впервые знакомится с обратными задачами оптики атмосферы или собирается практически исполь- зовать ту или иную вычислительную схему интерпретации в своей работе. [c.7]

Должна лежать в соприкасающейся плоскости той кривой, по которой располагается изогнутая ось, и когДа Бине (В1пе1) ввел уравнение моментов относительно касательной, то Пуассон на основании этого уравнения пришел к заключению,-что крутящий момент постоянен. Лишь постепенно возникло представление о двух изгибающих пара в двух главных плоскостях, и был найден способ определения меры закручивания. Когда эти элементы теории были получены, стало ясно, что, зная соотношения, связывающие, изгибающие и крутящие моменты с кривизной и степенью кручения и пользуясь обычными условиями равновесия, можно определить форму изогнутой оси, степень кручения стержня вокруг этой оси, а также растягивающую и Перерезы вающую силу в любом данном сечении. Изгибающие и крутящие. пары, а также растягивающая и перерезывающая силы, происходят от усилий, приложенных к, элементам поперечных сечений, и правильные выражения для этих пар и сил следует искать при помощи общей теории. Но здесь возникает затруднение, состоящее в том, Что общие уравнения применимы лишь тогда, когда смещения малы между тем для таких тел, как спиральные пружины, смещения ни в коем случае нельзя считать малыми. КирхГоф (КтеЬЬоК) первый преодолел Это затруднение. Он показал, что общие уравнения применимы со всей строгостью к малой части тонкого стержня, все линейные размеры которой того же порядка малости, что и диаметры, поперечного сечения. Он считал, что уравнения равновесия или движения такой части можно в первом приближении упростить, пренебрегая силами -инерции и массовыми силами. Исследования, содержащиеся в теории Кирхгофа, носят в значительной своей части кинематический, характер. Когда тонкий стержень подвергается изгибу и скручиванию, то каждый его элемент испытывает деформацию, аналогичную тем деформациям,. которые имеют место в призмах Сен-Венана но соседние элементы должны непрерывным образом переходить один в Другой. Для того чтобы выразить непрерывность этого рода, необходимы некоторые условия. Эти условия принимают форму диференциальных уравнений, которые связывают относительные смещения точек малой части стержня с относительными координатами этих точек и с величинами, которые определяют положение данной части относительно всего стержня в целом. Из этих диференциальных уравнений Кирхгоф получил картину деформации в элементе стерл я и нашел выражение для потенциальной энергии, отнесенной к единице -длины, через относительное удлинение, компоненты кривизны и степень кручения. Он получил уравнения равновесия и колебаний, варьируя функцию, Выражающую энергию. В случае, когда тонкий стержень подвергается действию внешних сил, приложенных лишь иа его концах, уравнения, которыми определяется форма изогнутой оси, идентичны, как показал Кирхгоф, с уравнениями движения тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки. Эта теорема носит название кинетической аналогии Кирхгофа . [c.36]

Лунная теория Брауна. Важная характерная особенность метода Хилла, предопределяющая возможность дальнейшего совершенствования и уточнения решеппя основной задачи, заключается в том, что, как только получены главные части движения перигея и узла, можно определить из системы линейных уравнений коэффициенты членов любого порядка относительно е, е, у и а/а в любой комбинации, если найдены члены более низкого порядка. На каждом этапе все степени параметра m включаются в численные значения этих коэффициентов, тогда как е, е, y /et остаются в алгебраическом виде. Для этой цели можно использовать уравненпя (49) или эквивалентные им уравнения (48). Для получения членов более нпзких порядков выгодны уравнения (50). Это требует разложения хм/г и xs/r по степеням Su и fis, если и = Uq + ou, s = So + fis- [c.322]

Напомним, что нелинейные члены уравнений Навье — Стокса (включая градиент давления, квадратично выражающийся через поле скорости) описывают силы инерционного взаимодействия между пространственными неоднородностями поля скорости. Если перейти в этих уравнениях к безразмерным переменным у = х/Ь, V = иЦ и т = vинерционного взаимодействия. Если Не мало, то силы инерционного взаимодействия будут создавать лишь малые возмущения основного потока , описываемого линейными уравнениями (получающимися из уравнений Навье — Стокса отбрасыванием нелинейных членов). В этом случае решение полных уравнений Навн е — Стокса с помощью рядов по степеням Не будет представлять собой применение обычного метода теории возмущений, и мы сможем использовать все ее общие результаты, включая и разработанные в квантовой теории поля (см., например, Швебер, Бете и Гофман (1955)) способы графического изображения слагаемых ряда по степеням константы взаимодействия в виде некоторых диаграмм . Если же Не велико, так что инерционные взаимодействия очень сильны, то непосредственное использование рядов по степеням константы взаимодействия будет, как н всегда в теории систем с сильными взанмодейетвиями, неэффективным, но формальные ряды по степеням Не все же будут полезными для целей, указанных выше. [c.270]

В старой теории вследствие применения метода размерностей и предпочтения, отдаваемого степенному закону, очевиден выбор логарифмических координат для обобщения, описания и осмысл ивания данных по теплообмену. Как сообщалось в гл. 6, новая теория отказывается от этих приемов, в связи с чем очевиден выбор линейных координат для соответствующих цел . Кроме того, мы считаем, что логарифмические координаты часто вводят в заблуждение, поскольку имеют тенденцию искажать любые процессы, которые не описываются точно стшенным законом. Например, линейное уравнение [c.157]

Анализ интенсивностей напряжений (по Ирвину Ki = = EGIn) показывает, что разрушение наступит в момент достижения критического распределения напряжений, которое устанавливается уравнениями линейной теории упругости. Введенное Ирвином понятие критического коэффициента интенсивности напряжений (Kid Кпс Km ) является в настоящее время одним из критериев сопротивления металлических материалов хрупкому разрушению. В зависимости от формы и размеров тела и трещины, а также от способа нагружения тела этот коэффициент имеет различные значения. При этом рещение целого ряда краевых задач, которые представляют собой самостоятельную область теории упругости, сводится к определению коэффициента интенсивности напряжений. [c.25]

Таким образом, для получения линейного приближения можно составить уравнения Лагранжа по выражениям Т taV, каждое из которых представляет квадратичную форму с постоянными коэффициентами. Коэффициенты в выражении для Т можно взять равными их значениям в положении равновесия иными словами, для наших целей достаточно найти выражение для Т в момент, когда система проходит положение равновесия. Функцию V можно представить членами второго порядка в разложении Тейлора в окрестности точки О, т. е. квадратичной формой вида (9.1.3). Таким образом, теория колебаний будет основываться на уравнениях Лагратка, когда Г и У задаются определенно-положительными квадратичными формами с постоянными коэффициентами. Мы будем пользоваться теми же обозначениями, что и ранее, а именно [c.141]

Приведенные выше зависимости относятся к линейной теории изгиба пластин. Как показано в следующем параграфе, используя эти зависимости, можно получить линеаризованное уравнение, дающее возможность найти точки бифуркации начального неискривленно-го состояния равновесия пластины и определить изгибные формы равновесия пластины в окрестностях точек бифуркации. Но этих зависимостей недостаточно для того, чтобы исследовать поведение пластины в закритической области при конечных поперечных прогибах. Недостаточно их и для исследования устойчивости пластин энергетическим методом. Для этих целей кроме приведенных линейных зависимостей необходимо использовать геометрически нелинейные соотношения теории гибких пластин. Выведем эти соотношения. [c.140]

Н. Е. Жуковский, задача ученого составлять такие уравнения, которые можно интегрировать . И, действительно, существует целый арсенал методов (аналитических, полуаналитических, численных) для решения краевых задач линейной теории оболочек. Задавшись целью написать книгу по механике оболочек, авторы сочли, что в ее рамках даже рецептурное описание этих методов невозможно, а их обзор неуместен. Вместе с тем, большое число конкретных задач, рассмотренных в книге, дает представление [c.10]

Анализ нелинейной безмоментной теории и краевого эффекта проведен в гл. 5. Установлено, что при линейном и нелинейном подходе системы уравнений, описьшающие безмоментное осесимметричное напряженное состояние и краевой эффект, имеют ргйный порядок. При линейном подходе безмоментное состояние описывается системой второго порядка, а краевой эффект — системой четвертого порядка. При нелинейном подходе, наоборот, безмоментное состояние описывается уравнением четвертого порядка, а краевой эффект — уравнением второго порядка. Цель данного параграфа проследить промежуточные этапы перехода от линейной постановки задачи к нелинейной при росте уровня нагружения (см. также [93]). В качестве примера рассмотрим растяжение полусферического купола под действием внутреннего давления. [c.365]

К схеме последовательной оценки можно подойти не только со стороны калмановой теории оптимальной фильтрации, но и через метод взвешенных наименьших квадратов. Предположим, что совокупность измерений поступает к нам в виде последовательности отдельных измерений и что сначала обрабатываются первые п таких измерений с целью получения оценки параметров методом наименьших квадратов. Пусть затем добавляется п + 1)-е измерение для модификации полученной ранее оценки. В этих обстоятельствах, по-видимому, нецелесообразно начинать все сначала и обрабатывать заново всю совокупность п + 1 измерений. Вместо этого можно ввести решение для п предыдущих измерений в виде априорной информации в оценку методом взвешенных наименьших квадратов, а информационная часть оценки z будет при этом содержать только одно дополнительное измерение. Таким образом, к оценке параметров х на основе предыдущих п измерений добавится только линейная поправка, а все величины в правой части уравнения (5) будут вычисляться для х так, чтобы [c.116]

Для рассмотрения связанных колебаний пространственно-много-мерных механических цепей наиболее удобны общие методы исследования линейных систем с конечным числом степеней свободы [64, 79]. Однако при исследовании довольно распространенных пространственноодномерных механических цепей для инженерных целей более удобными оказываются методы, в которых уравнения движения системы находят непосредственно из топологии рассматриваемой механической цепи на основе законов Кирхгофа. Ниже при рассмотрении простран-ственно-одномерных цепей двухполюсников введены воспринимаемые силы, параметры двухполюсников и их ассоциированные направления, выбираемые одинаковыми для всех элементов относительно принятой системы отсчета. Это позволяет применить для описания и анализа указанных цепей аппарат теории графов и дать систематический и формализованный подход к исследованию механических цепей. [c.31]

Задача о сверхзвуковом обтекании затупленного конуса рассматривается на основе линейной теории тел конечной толщины с учетом обратного влияния пограничного слоя на внешнее течение в рамках модели слабого вязкого взаимодействия. С этой целью численно решаются трехмерные нестационарные уравнения пограничного слоя и оценивается роль переносного ускорения и кориолисовых сил в формировании течения в нестационарном пограничном слое. Высокая точность определения характеристик, найденных по данной методике, подтверждается экспериментальными дан-ными, полученными путем проведения динамических испытаний крупномасштабной модели L 1 мм) в аэродинамической трубе при = 4 и 6. Расчетные исследования подтверждают наличие режимов антидемпфирования колебаний затупленных конусов при гиперзвуковых скоростях полета, которые могут как усиливаться, так и ослабляться при наличии вдува в пограничный слой с поверхности ЛА. [c.6]

Использование кусочно линейных условий пластичности позволило получить целый ряд глубоких и впечатляющих аналитических решений плоских и пространственных задач теории пластического деформирования [1, 2]. Можно надеяться, что использование кусочно линейных потенциалов будет полезно также и при решении обратных задач теории пластичности. Одной из важнейших в теории пластичности является задача оптимального проектирования конструкций, общая постановка которой была сформулирована свыше пятидесяти лет назад [3-5]. Системы уравнений, описывающие оптимальные проекты при условиях пластичности Мизеса и Треска, были исследованы в работах [4-8]. Было установлено, что системы разрешающих уравнений задачи оптимального проектирования для гладкого условия пластичности (тина Мизеса-Хилла) являются нелинейными системами смешанно-составного типа. [c.574]

После статистического анализа математической модели, интерпретации и проверки адекватности принимают решения по дальнейшему проведению работы. Принятие решений зависит от числа факторов, дробности плана, цели исследования, адекватности модели и др. Например, если линейная модель адекватная, а оптимум у не достигнут, то проводят движение по градиенту в оптимальную область. Движение осуществляют до тех пор, пока не улучшатся значения параметра оптимизации. Если в крутом восхождении не достигнуто оптимальное значение параметра оптимизации, то ставят новую серию опытов и т. д. Так продолжают до тех пор, пока не достигается почти стационарная область , где линейное приближение оказывается неадекватным и необходимо реализовать эксперимент по плану 2-го порядка для получения уравнения 2-го порядка. Координаты опытов в крутом восхождении рассчитывают путем прибавления к основному уровню шага > /4, где Ьг — коэффициент регрессии уравнения /< — интервал изменения фактора Х(. Крутое восхождение считается эффективным, если хотя бы один из реализованных опытов даст лучший результат по сравнению с наилучшим результатом опыта в серии. После крутого восхождения принимают решение о дальнейшей оптимизации процесса. Теория метода Бокса — Уильсона, а также техника расчета подробно изложены в работах [18.1—18.6 18.9]. Там же имеется описание других [c.595]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...