Методы теории потенциалов

Более широкое применение в математической физике имеет такое направление, когда решение опять ищется в форме интеграла, но выбор ядра осуществляется таким образом, чтобы определение произвольной функции сводилось к решению классических интегральных уравнений. Соответствующие такому подходу представления называются потенциалами. Начнем изучение методов теории потенциалов с исследования уравнения Лапласа Пусть р и р — некоторые точки в пространстве, тогда можно показать, что функция [c.88]

Если все упомянутые методы в одинаковой степени применимы для решения как нелинейных, так и линейных задач, то этого нельзя сказать о следующих методах, которые могут быть использованы только для решения линейных задач. К ним относятся метод разделения переменных, метод конформных отображений, метод интегральных преобразований, методы теории потенциалов и др. [c.66]

МЕТОДЫ ТЕОРИИ ПОТЕНЦИАЛОВ [c.295]

По теоремам существования для гранично-контактных задач теории упругости в кусочно-однородных телах имеется немного работ. Одним из первых, методом теории потенциалов и интегральных уравнений, исследовал эти вопросы В. Д. Купрадзе (см. Купрадзе [131), который еще раньше теми же методами изучал аналогичные вопросы для электромагнитных волн. [c.498]

Исследование плоских задач теории упругости методом теории потенциалов. Труды Тбилисского гос. ун-та 50 (1953), 23—59. [c.643]

Исследование плоских задач теории упругости методом теории потенциалов для многосвязных областей. Труды Тбилисского ун-та 56 (1955), 173—183. [c.643]

Большое значение для термодинамики имели появившиеся в конце XIX в. работы Гиббса, в которых был. создан новый метод термодинамических исследований метод термодинамических потенциалов), установлены общие условия термодинамического равновесия, развита теория фаз и капиллярности. [c.11]

В качестве примера приложения метода комплексных потенциалов к решению задач теории упругости анизотропного тела рассмотрим неограниченную пластину с эллиптическим отверстием [c.54]

Предыдущее описание техники граничных элементов было намеренно упрощено и дано скорее в физических, нежели в математических терминах. Исторически методы граничных элементов развивались в двух различных и параллельных направлениях. Одно из них представляет интуитивный физический подход, подобный описанному выше, а другое направление включает большую математическую проработку на основе классической теории потенциалов. [c.14]

В учебнике рассмотрены обычные разделы термодинамики. Первая и вторая главы посвящены изложению первого и второго законов трр ЛЮ динамики, где авторы, отступая от сложившихся традиций, о самого начала формулируют законы таким образом, что они пригодны и для открытых систем (с обменом вещества). Это облегчает авторам изложение метода термодинамических потенциалов и условий равновесия, которые рассмотрены в гл. 3. Гл. 4 посвящена приложению термодинамики к теории равновесия фаз и химическому равновесию. Как и в курсе Статистической механики , теоретические разделы в каждой главе изложены предельно кратко, но достаточно ясно и иллюстрируются подробно разобранными примерами. Далее предлагаются задачи в порядке возрастающей трудности с подробными решениями. Изложение оживляют весьма интересные Отступления , обычно содержащие любопытные научные или исторические сведения. [c.5]

В последующие годы развитие методов, основанных на использовании общих уравнений теории упругости и, в частности, функций Папковича — Нейбера, позволило свести многие общие смешанные задачи упругого равновесия полупространства к некоторым классам смешанных задач теории потенциала. При этом в качестве основной из таких задач целесообразно выделить тот случай, когда на всей границе полупространства заданы касательные напряжения, в некоторой конечной области 6" граничной плоскости 2 = 0 известно нормальное перемещение щ = f (х, у), а вне 6 (в области 3 ) задано нормальное напряжение сг = о (х, у). Так, для контактной задачи без трения и пригрузок имеем о = О, а функция / определяется формой основания штампа. Существенно, что смешанные задачи указанного класса в конечном счете могут быть сведены к нахождению одной гармонической функции, заданной в /5", причем в области 8 известна ее нормальная производная. Советскими учеными были разработаны эффективные методы подхода к подобным задачам теории потенциала, позволившие, в частности, дать точные решения некоторых контактных и сходных смешанных задач. Основными из этих методов являются следующие применение сфероидальных и эллипсоидальных координат (А. И. Лурье) построение и использование функции Грина (Л. А. Галин М. Я. Леонов, 1953) метод интегральных уравнений (И. Я. Штаерман В. И. Моссаковский, 1953) использование тороидальных координат и интегральных преобразований (Я. С. Уфлянд, 1956, 1967) метод комплексных потенциалов (Н. А. Ростовцев, 1953, 1957). Мы здесь специально не выделяем метод парных интегральных уравнений, успешно развитый Я. Н. Снеддоном ), поскольку его эффективность существенно проявляется при решении более сложных смешанных задач, о которых речь пойдет ниже. [c.34]

Исследованию поддается частный случай, когда потенциалы рассеивателей являются потенциалами твердых шаров (не обязательно постоянного радиуса). Этому случаю соответствует движение частицы с постоянной скоростью и упругим отражением от границ шаров. В этом случае газ Лоренца изучается методами теории рассеивающих биллиардов (см. [56], [57], гл. 8). Случай периодической конфигурации рассеивателей не- [c.263]

Таким образом, мы показали, что расчет термодинамического потенциала (т. е. такой величины, которая содержит, как мы уже отмечали, всю в рамках термодинамического подхода информацию о системе) в макроскопической теории основывается на задании (произведенном извне) макроскопических же уравнений состояния, т. е. соотнощений, по идее тоже определяемых с помощью термодинамического потенциала, что сводит эффективность метода термодинамических потенциалов до уровня, не превышающего возможностей переформулированной теории. В следующем разделе курса мы увидим, что основные методы определения термодинамических потенциалов (так сказать, нетривиальные , т. е. не вращающиеся в кругу однородных макроскопических понятий уравнение состояния->потенциал уравнение состояния) — это методы статистической механики, в которой система задается не с помощью уравнений состояния, а уже на микроскопическом уровне (т. е. как в механике). [c.92]

Метод молекулярной динамики можно использовать двумя способами или определить вид межмолекулярного потенциала на основе экспериментальных данных, или использовать достаточно простые потенциалы для построения и усовершенствования теорий. Так как расчеты по ММД можно проводить прй произволь- [c.191]

Например, при решении задач теории упругости вариационными методами осуществляется переход к задаче об определении в некотором классе функций минимума соответствующего функционала. Доказывается, что решение этой задачи всегда существует и соответствующее ему поле смещений удовлетворяет дифференциальным уравнениям, однако краевые условия выполняются уже в некотором обобщенном смысле. Аналогичная ситуация возникает и при решении задач теории упругости методом потенциалов. При определенных ограничениях на форму поверхности и краевые условия доказывается, что получаемое посредством соответствующих интегральных уравнений решение краевой задачи может и не удовлетворять условиям, требуемым классической постановкой. Лишь при более строгих ограничениях (в чем, по сути дела, нет необходимости) решение оказывается регулярным. [c.243]

В 3 ГЛ. V были построены и исследованы интегральные уравнения плоской задачи теории упругости на основе аппарата функций комплексного переменного. Здесь же строится теория [18], аналогичная изложенной выше (в 1, 2) теории, опирающейся на метод потенциалов. Получаемые результаты будут в значительной степени аналогичны соответствующим ре-зз льтатам пространственной задачи. [c.588]

Хутор я некий Н, М. О методе обобщенных запаздывающих потенциалов и интегральных уравнений в нестационарных динамических задачах теории упругости. — В кн. Прикладные проблемы прочности и пластичности. Вып. 9. — Горький ГГУ, 1978. [c.682]

Основные дополнения отразили развитие отдельных разделов, интерес к которым повысился со времени появления в 1951 г. второго издания. В главах 3 и 4 введен анализ влияния концов и теория собственных решений, связанных с принципом Сен-Ве-нана. Ввиду быстрого роста приложений дислокационных упругих решений в науке о поведении материалов, эти разрывные в смещениях решения излагаются более подробно (теория краевых и винтовых дислокаций в главах 4, 8, 9 и 12). К главе 5 добавлены вводные сведения о методе муара с иллюстрацией его применения на практике. Изложение понятия об энергии деформации и вариационных принципов проведено в трехмерном случае и включено в главу 9, что дало основу для новых разделов по термоупругости в главе 13. Обсуждение использования комплексных потенциалов для двумерных задач пополнено группой новых параграфов, основанных на хорошо известных теперь методах Н. И. Мусхелишвили. Этот подход несколько отличается [c.12]

В самом общем случае уравнения с постоянными коэффициентами для двух независимых переменных и связанные с ними граничные задачи исследовал методами теории потенциалов и интегральных уравнений Т. В. Бурчуладзе [2а, б, в, г]. В работах [2д, е] он получил также асимптотические оценки для собственных функций некоторых граничных задач. [c.280]

Границы применимости зонной теории. 3. т. исходит из предположений а) потенциал кристаллич. решётки строго периодичен б) взаимодействие между свободными электронами может быть сведено к одноэлектрон-ноиу самосогласованному потенциалу, а оставшаяся часть рассмотрена методом теории возмущений в) взаимодействие с фононами слабое и Может быть рассмотрено по теории возмущений (см. Электронно-фона иное вааимодейетвие). [c.92]

Один из осн. приближённых методов теории рассеяния — возмущений теория. Если падающая плоская волна, описывающая нач. частицы, слабо возмущается потенциалом взаимодействия, то применимо т. н. борновекое приближение (первый член ряда теории возмущений). Амплитуда упругого рассеяния в борнов-ском приближении равна [c.273]

Полученная краевая задача может быть решена методами теории функций комплексного переменного. Опре-деляюп] ие комплексные потенциалы представляются в виде [c.187]

Пространственная задача о движении несжимаемой жидкости с потенциалом скоростей исследовалась параллельно с плоской. Отсутствие возможности пользоваться в пространстве методами теории функций комплексного переменного привело к необходимости непосредственного решения уравнения Лапласа при заданных граничных, а в случае нестационарного движения — и начальных условиях. Пространственная задача гидродинамики развивалась в тесном контакте с близкими ей электростатическими и гравитационными задачами теории потенциала. Первая задача о пространственном безвихревом обтекании тела была разрешена Пуассоном в 1828 г, и затем обобщена и уточнена Стоксом в 1843 г. и Лежен-Дирихле в 1852 г. Безвихревое течение несжимаемой жидкости в эллипсоидальном сосуде и обтекание эллипсоида при посту- [c.24]

Рассмотрена прямая формулировка метода граничных интегральных уравнений динамических задач теории упругости для тел с трещинами в пространстве преобразований Лапласа. Исследованы граничные свойства этих потенциалов на границе тела и на трещине. Приведены выражения для фундаментальных решений (функций Грина) уравнений динамической теории упругости в пространстве преобразований Лапласа для трех- и двумерного случаев. Изучен характер особенностей ядер этих потенциалов. Рассмотрены методы регуляризации потенциалов, ядра которых имеют сильную особенность,, основанные на сведении к псевдодифференциальным уравнениям и уравнениям, в которых интегралы рассматриваются в смысле конечной части по Адамару. Разработан алгоритм решения односторонних контактных задач динамики тел с трещинами, основанный на отыскании седловой точки субдифференцируемого граничного функционала. Показано, что при определенном выборе параметров, входящих в алгоритм, его можно рассматривать как сжимающий оператор, действующий в соответствующем функциональном пространстве, что является обоснованием сходимости этого алгоритма. [c.102]

Недостатки всех промежуточных потенциалов заключаютс.ч в следующем. Все они зависят не только от характеристик гравитационного поля Земли, но и от элементов орбиты (большая полуось, эксцентриситет, наклон) спутника. Поэтому точность аппроксимации для разных орбит будет разной. Во всех случаях возмущающая функция содержит коротко-периодические члены первого, порядка относительно /2. Следовательно, промежуточные орбиты не учитывают этих возмущений, и их нужно определять методами теории возмущений. [c.581]

В этой главе будут обсуждаться приближенные методы теории рассеяния, применимые в том случае, когда дебройлевская длина волны рассеиваемой частицы (или относительного движения двух частиц) мала. В 2 и 3 имеется в виду, что она мала по сравнению с характерным расстоянием, на котором велико относительное изменение сил взаимодействия. В 4, где рассматривается рассеяние частицы связанным состоянием, масштаб энергии задается энергией связи Еп- Если величину (2тЕрУ / назвать размером связанного состояния (в том же смысле, в котором говорят о размерах дейтрона), то можно сказать, что во всех случаях ( 2—4) длина волны падающей частицы мала по сравнению с размерами рассеивателя. Следовательно, при заданных межчастичных потенциалах мы будем находиться в области высоких частот, или высоких энергий. [c.521]

Задачи о напряженном состоянии насыпей, о давлении на подпорные стенки и т. п. решены В. В. Соколовским на основе теории плоского предельного равновесия сыпучей среды. Задача оценки напряженного состояния массивов в бортах глубоких речных долин параболического профиля решена Э. В. Калининым с помощью метода комплексных потенциалов по Колосову — Мусхелишвили. Задачи о напряженном состоянии массивов со сложным рельефом также могут быть решены методом комплексных потенциалов, от метод эффективен в тех случаях, когда удается осуществить конформное отображение рассматриваемой области на нижнюю полуплоскость рациональными функциями. Их находят путем комбинации из простейших функций. Н. А. Цытовичем, 3. Г. Тер-Марти-росяном и др. [43] разработана обобщенная рациональная функция, позволяющая осуществить конформное отображение некоторых симметричных и несимметричных полубесконечиых областей с криволинейными границами. [c.50]

Эта книга написана инженером и главным образом для использования ее инженерами-профессионалами. Математический аппарат излагается по возможности на инженерном уровне. Распределения напряжений строятся с помощью подхода, основанного на простой суперпозиции решений для точечных сил (метод функций Грина). Методы комплексных потенциалов и интегральных преобразований, играющие важную роль в современном развитии теории контактного взаимодействия упругих тел, упоминаются лишь попутно. В этом отношении в книге Гла-Дуэлла искушенный в математическом отношении читатель най- [c.9]

Исходя пз заданной точности, методами теории ошибок можно определить пределы стабилизации каждой из величины, влияющей на зазор. Поскольку возмущения по напряжению U, электропроводности Орь электрохимическому эквиваленту е, электродным потенциалам фан и фкат, ПОДаче ЭИ Пин в первом приближении являются случайными величинами и распределены по закону равной вероятности, то для относительной погрешности Да = Да/а справедливо равенство [c.246]

Метод термодинамических потенциалов был разработан Гиббсом (1873—1876), для них он получил основные соотношения, использовал их при рассмотрении ряда конкретных задач, в теории фазового равновесия (см. 6), химического равновесия (см. задачу 47) и т. д. Его работы оставались неизвестными в Европе вплоть до 1891 г., когда Оствальд нашел их и перевел на немецкий язык (в 1899 г. работы, касающиеся химической термодинамики, были переведены Анри Ле Шателье на французский язык). Свободная энергия была введена Гельмгольцем (1882), а название потенциала Н было придумано известным нидерландским физиком, основателем криогенной техники Гейке Камерлинг-Он-несом (Н. Kamerling-Onnes, 1909) по использованному ранее [c.83]

Зонная теория [13, 14]. Трудно ожидать, что представление о свободных электронах будет одинаково хорошим приближением для всех металлов. Соотношение (8.6), определяющее уровни энергии, справедливо лишь для частицы в поле с постоянным потенциалом, тогда как на самом деле потенциальная энергия электрона в металле не постоянна, а зависит как от строения иоиной решетки, так и от состояний других электронов. Определение ее точного вида приводх1т к задаче самосогласованного поля, подобной рассмотренной Хартри. Решение Зоммерфельда, исходившего из предположения о постоянстве потенциала, является, по сути дела, первым приближением к решению такой задачи. Второе приближение можно построить, предполагая, что потенциал, обусловленный самими электронами, постоянеп, и учитывая в уравнении Шредингера лишь иоле положительных ионов решетки. Для приближенного решения соответствующего уравнения Шредингера были предложены различные методы, позволяющие провести хотя бы качественное обсуждение поведения электронов в реальных металлах. [c.324]

Таким образом, теория критических показателей, основанная на методе термодинамической устойчивости, выявила общую природу критического перехода жидкость — газ и переходов в ферромагнетиках, с гнетоэлектриках и других системах как переходов через минимум устойчивости, сопровождающихся поэтому максимально развитыми флуктуациями ряда термодинамических величин. Это отмечал В. К. Семенченко в 1947 г. Потребовалось более 30 лет, чтобы произошло изменение точки зрения на ферромагнитный и сегнетоэлектрический переходы как превращения, при которых испытывают скачки вторые производные термодинамических потенциалов. [c.180]

Мы выяснили, что существование энергетических зон — важнейшая особенность энергетического спектра электронов в кристалле. Построение энергетических зон — сложная задача теории твердого тела и, например, изложение методов построения зон выходит за рамки данного курса. Полезно дать предсгавление о виде энергетических зон и связанных с ними ферми-поверхностей в простом приближении. В качестве такого мы выбрали модель пустой решетки, т. е. решетки, характеризующейся исчезающе малым по величине периодическим потенциалом. Ввиду предельной слабости потенциала энергетические зоны пустой решетки строятся на основе приближения свободных электронов. [c.83]

Следует отметить, что, систематизируя курс теории упругости по математическим методам, авторы не ставили перед собой цель добиться единообразия в изложении материала различных глав. В тех случаях, когда имеется полноценная теория, она излагалась с небольшим количеством иллюстрирующих примеров (таковы, например, главы, связанные с теорией аналитических функций и потенциалов). В других же случаях, наоборот, в основном приводились решения конкретных задач. Пр ичиной этого (например, в главе Метод разделения переменных ) явилось то обстоятельство, что достаточно полная ясность этого сранительно простого метода достигается раньше (уже в гл. I), а интерес представляют отдельные специфические задачи теории упругости, в которых удается получить важные и конструктивные результаты. В главе VI Интегральные представления и интегральные преобразования создается такая же ситуация,но в силу совершенно других причин. Ввиду отсутствия универсальных методов решения задач такого класса изложение математического аппарата возможно лишь на отдельных примерах. При их подборе авторы руководствовались не только указанными выше общими критериями, но и обращали внимание на новизну и оригинальность математических результатов, степень важности предлагаемых задач для тех или иных, родственных теории упругости наук (в частности, механики разрушения), воз- [c.8]

Сделаем еще одно замечание, касающееся содержания книги. При выборе материала авторы ограничились лишь задачами линейной теории упругости в условиях изотропии и симметричности тензора напряжений. Такой подход диктуется как невозможностью существенного увеличения объема курса, так и тем обстоятельством, что учет таких факторов, как анизотропия, несимметричность тензора напряжений и некоторых других не привел к появлению на сегодняший день каких-либо принципиально новых математических методов и зачастую связан лишь со значительно более громоздкими выкладками (например, учет анизотропии при решении задач методом потенциалов сказывается лишь на структуре фундаментального решения, построение которого приведено в дополнении I). Следует заметить, что методы линейной теории упругости весьма часто в той или иной форме (как промежуточный этап) используются также и при решении задач для меупругих сред, в связи с чем авторы сочли целесообразным привести в дополнениях соответствующие примеры. [c.9]

Метод потенциалов может быть использован для решения пространственных задач теории упругости в случае анизотропии общего вида. Для построения соответствующих интегральных уравнений необходимо (как и в случае изотропной среды) располагать рещением Кельвина — Сомильяны. [c.662]

ОТ Прежнего, так как в нем используются преимущества решений, развитых ранее только для аналитических фуикний. Дано подробное изложение новых решений для эллиптического отверстия, которые важны в современной механике разрушения (теории трещин). Исследование осесимметричных напряжений в главе 12 упрощено, и добавлены новые разделы, в которых более приближенный анализ случая разрезанного кольца как одного витка спиральной пружины заменен более точной теорией. В силу значительного роста приложений, например в ядерной энергетике, глава 13 Температурные напрям ения расширена за счет включения термоупругой теоремы взаимности и полученных из нее нескольких полезных результатов. Кроме того, исследование двумерных задач дополнено двумя заключительными параграфами, последний из которых устанавливает взаимосвязь двумерных задач термоупругости с комплексными потенциалами и методами Н. И. Мусхелишвили из главы 6, В главе 14, посвященной распространению волн, перестройка изложения придала больше значения основам трехмерной теории. Добавлено также решение для действия взрывного давления в сферической полости. Приложение, посвященное численно.му методу конечных разностей, включает пример использования ЭВМ для решения задачи с большим числом неизвестных. [c.13]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...