Диференциальное уравнение

Для расчета нестационарной генерации рубинового ОКГ надо составить диференциальные уравнения, которые определяют изменение во времени инверсной населенности АЫ и плотности излучения в резонаторе и. Решение этих уравнений, полученное на электронно-вычислительной машине, представлено на рис. 114. Генерация возникает, когда под действием излучения накачки достигается пороговое значение инверсной населенности АМ ор, при котором коэффициент усиления К равен коэффициенту потерь Кп- Однако плотность излучения и вначале невелика и скорость вынужденных переходов 1С верхнего уровня еще меньше, чем скорость его заселения под действием накачки. Поэтому в течение некоторого времени (-- 1 мкс) АЫ продолжает возрастать, несколько превышая ЛЛ/дор. Если пренебречь незначительным вкладом спонтанного излучения, то [c.297]

Диференциальные уравнения. Формулы (3) и (4) из 2 дают возможность найти сразу выражения для ускорения, когда дано расстояние X в функции от времени или скорость в функции от расстояния к. Но в динамике чаще имеют дело с обратной задачей, когда ускорение задается в функции от времени или расстояния (положения), или от их обоих или, наконец, от скорости, и требуется найти скорость и положение в заданный момент времени. Мы рассмотрим здесь два наиболее важных типа диференциального уравнения движения и соответствующие методы решения. [c.13]

Другие типы диференциальных уравнений, аналогичные данным, удобнее рассмотреть в дальнейшем, когда мы с ними встретимся. [c.15]

Если К обозначает силу, действующую на расстоянии, равном единице, то сила, действующая на расстоянии х, будет — Кх, так как знак силы всегда противоположен знаку х. Следовательно, диференциальное уравнение будет [c.27]

Если р увеличивается, начиная с нулевого значения, то амплитуда вынужденных колебаний будет увеличиваться до тех пор, пока р не будет почти равно п, т. е. когда период вынужденных колебаний почти будет равен периоду свободных (собственных) колебаний, то х получается очень большим. Если диференциальное уравнение представляет только приближение к действительным условиям, как в случае маятника, решение (6) перестанет быть применимым еще до наступления этого момента как несовместимое с основным предположением относительно малости х, на котором был основан вывод приближенного решения. Можно доба- [c.34]

Если, с другой стороны, тот или другой из коэфициентов а или о отрицателен, то решение соответствующего диференциального уравнения будет заключать в себе действительные показатели, как в 15, и как бы мало отклонение ни было, оно вообще будет стремиться увеличиваться до тех пор, пока разложение в ряд и соответствующее приближение не перестанет быть действительным. Такое положение равновесия называется, неустойчивым". [c.80]

Так как диференциальные уравнения линейные, то их решения можно складывать таким путем мы получим полное решение, так как оно будет заключать в себе четыре произвольных постоянных А , А , E , е . [c.84]

Это и будет диференциальное уравнение первого порядка для определения траектории. Уравнение такого типа, связывающее per, называется касательно-полярным" уравнением оно полностью определяет форму кривой за исключением ее расположения относительно начала координат. [c.197]

Это и будет искомое диференциальное уравнение. Если мы представим его в виде [c.237]

Чтобы определить общий тип орбит, положим в диференциальном уравнении (6) 90 [c.240]

Найти решение полярного диференциального уравнения центральной орбиты [ 90, (6)] в случае = [c.244]

Так как диференциальные уравнения линейны, то эти результаты можно сложить. [c.259]

Это равенство представляет диференциальное уравнение первого порядка, служащее для определения траектории. [c.271]

Мы видели, что когда корни квадратного уравнения (относительно л -) между собой совпадают, то величины k имеют неопределенные значения, а следовательно, и характер нормальных колебаний становится неопределенным. В этом случае решение системы диференциальных уравнений (5) 109 имеет вид [c.298]

Таким образом для определения п координат и п количеств движения, как функций от t, мы имеем полную систему 2и диференциальных уравнений п е р в о г о порядка. Их называют канонической формой" уравнений движения консервативной системы i). [c.204]

Эго диференциальное уравнение в частных производных заменяет п линейных уравнений типа (6) 90, которые получаются в случае системы с конечным числом степеней свободы. [c.226]

Диференциальное уравнение, служащее для определения А дано й ПО. [c.274]

Относительно диференциального уравнения, которому удовлетворяет 5, см. 110. [c.276]

ДИФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ГАМИЛЬТОНА 283 [c.283]

ПО. Диференциальные уравнения Гамильтона. Функции Л и 5, [c.283]

Заметим, что система диференциальных уравнений (15) эквивалентна, одному векторному уравнению [c.105]

Полезно напомнить, что для системы обыкновенных совокупных диференциальных уравнений, число которых равно числу неизвестных функций и которые разрешаются относительно производных высших порядков, вообще,, существует система интегралов, зависящих от произвольных постоянных, число которых равно сумме порядков высших производных. Так, например,, общий интеграл системы диференциальных уравнений [c.105]

Интегрируя диференциальное уравнение (23), мы получим путевое уравнение движения [c.112]

Эта функция времени удовлетворяет диференциальному уравнению (49) а так как это уравнение 2-го порядка, то выражение (401) представляет собою его общий интеграл с произволь- [c.136]

Как этого и следовало ожидать, при 71 — 0 уравнение (49) обращается в диференциальное уравнение (410 гармонического движения (рубр. 36). [c.137]

Начнем с того, что возобновим в памяти некоторые основные теоремы анализа, относящиеся к этого рода уравнениям. Диференциальное уравнение 2-го порядка, линейное и однородное относительно неизвестной функции х от независимой переменной 7, всегда допускает два решения (7) и (7), линейно не- [c.137]

Мы уже знаем (рубр. 43), что это диференциальное уравнение характеризует при /г- > О затухающие колебательные движения [c.140]

Так как центральные движения принадлежат к плоским, то целесообразно их формально характеризовать, оставаясь в плоскости движения и принимая ее за плоскость Оху. Тогда г, обращается в нуль, а вектор [ОРа] имеет две компоненты (по осям X и у), равные нулю, каково бы ни было движение в плоскости X, у, третья же компонента (по оси з) имеет значение ху — ух. Отсюда следует, что для нашего центрального движения, в силу соотношения (54), имеет место диференциальное уравнение [c.145]

Диференциальное уравнение (22) встречается в загачах динамики очень часто, и поэтому полезно запомнить, что его общее решение имеет вид (29) или (31). [c.17]

Диференциальное уравнение центральных орбит. Диференциаль-ное уравнение центральных орбит принимает наиболее простой вид, если сделать зависимым переменным количество, обратное радиусу-вектору. [c.236]

Теория затухающих колебаний. Задача о прямолинейном ДБИже , НИИ материальной точки под действием центральной силы, пропорциональной расстоянию, и сопротивления, пропорционального скорости, важна не только сама по себе, но и вследствие существования большого числа аналогичных случаев движения. Диференциальное уравнение, от которого такое движение зависит, представлягт уравнение совершенно такого же типа, как и в случае малых колебаний маятника, или крутильных колебаний подвешенного стержня, при сопротивлении воздуха, или колебаний стрелки гальванометра, при действии токов, индуктированных в прилегающих металлических массах, и т. д. [c.249]

Следует добавить, что уравнения (9) на основании принципа наименьшего времени". (принцип Ферма) представляют диференциальные уравнения траектории све-ювого луча в гетерогенной (неоднородной) среде с показателем преломления (л. [c.289]

Но из анализа нам хорошо известно, что диференциальное уравнение 2-го порядка допускает оо2 решений или частных интегралов, т. е., что общий, интеграл такого диференциального уравнения зависит от двух произвольных постоянных. Отсюда мы заключаем, что выражение (39 ) представляет собою обш кн интеграл уравнения (41 ), причем г и % суть произвольные постоянные еще иначе, это означает, что диференциальное уравнение (41 ) определяет все гармонические двиокения с пе- [c.129]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...