Тензор Пиолы — Кирхгофа

Тензоры напряжений Пиола и Кирхгофа, с одной стороны, являются удобными вспомогательными тензорами, непосредственно не определяю-ш,ими реальное напряженное состояние. Определение последнего всегда требует возвращения к истинному тензору напряжений Коши. С другой стороны, тензоры Пиола и Кирхгофа играют важную роль в нелинейной теории упругости при построении определяющих соотношений, в частности, в представлении уравнений состояния для гиперупругих, т. е. имеющих упругий потенциал, сред, поскольку тензор Пиола сопряжен тензору градиента места, а тензор Кирхгофа — тензору деформации Коши-Грина. [c.20]

Представление (1.5.1) потенциальной энергии деформации как функции инвариантов меры деформации Коши-Грина (или Фингера, что одно и то же) и использование связи (1.3.4) между тензорами Пиола и Кирхгофа позволяет задать закон состояния выраженный через тензор Кирхгофа [c.24]

Величины a образуют тензор, называемый вторым тензором Пиолы — Кирхгофа (рис. 3.3). Пренебрегая членами высшего порядка малости, запишем условие равенства нулю суммы моментов внешних сил, действующих на параллелепипед )i [c.84]

Симметричный тензор F JS F , энергетически сопряженный с тензором Грина-Лагранжа, называют тензором Пиолы-Кирхгофа. (Сопряженные пары с использованием тензоров деформации (2.17) приведены в работе [73]. Еще одна, видимо, последняя, сопряженная пара получена в работе [77] из равенства [c.58]

Поскольку J x a) II — тензор, то эта зависимость может иметь место в любой системе координат. Итак, первое слагаемое в (3.25) равно нулю. Умножая уравнение (3.25) на У с учетом правила дифференцирования (1.13) и соотношения (2.14), получаем в итоге уравнение движения, выраженное через тензор Пиолы — Кирхгофа, [c.30]

В отличие от тензора Пиола, тензор напряжений Кирхгофа является симметричным и связан с тензором Коши соотношением [c.20]

В этом случае закон состояния представляется либо в виде (1.4.3) с использованием тензора Пиола, либо в виде (1.4.4) с использованием тензора Кирхгофа. И в том и в другом случае при вычислении производной скалярной функции по тензору деформации используется переход от дифференцирования по тензору деформации к дифференцированию по первым инвариантам степеней тензора деформации [75] [c.22]

При исследовании процессов с конечной деформацией удобно иметь дело с полевыми уравнениями, когда они все записаны в материальной формулировке, т. е. перенести все эти уравнения в отсчетную конфигурацию Жц. Это уже было сделано для полной нестационарной системы уравнений Максвелла в гл. 3. То же самое можно сделать и с системами (7.3.1), (7.3.2) и (7.3.3), (7.3.4) полевых уравнений новая форма уравнений окажется полезной при исследовании распространения волн. Начнем с определения тензоров Пиолы — Кирхгофа [c.442]

Таким образом, тензор Пиолы — Кирхгофа является величиной, сои >я>кенной градиентам деформации, так же как термодинамические напряжения t j являются величинами, сопряженными компонентам деформации [c.119]

Принимается, что закон Гука в форме (2.1.1) представляет собой не линеаризованное, а точное соотношение, причем используемые при его формулировке переменные - напряжения, перемещения и координаты - можно полагать либо лагранжевыми, либо эйлеровыми (см. 3.1). Тем самым вводятся две различные механические системы, отличия между которыми проявляются в области, где существенна геометрическая нелинейность. В том же параграфе показано, что решения задач из гл. 2 для трещин, берега которых свободны от внешних нагрузок, отвечают лагранжевой интерпретации и соответствуют определяемой ею модели упругого тела. Модель эта характеризуется взаимно однозначной связью между напряжениями - тензором Пиолы-Кирхгофа и градиентом перемещения. Последний определяет потенциальную энергию системы. Однако данная модель не отвечает никакому реальному уравнению состояния. Достаточно сказать, что напряжения (ограниченные) возникают здесь и при повороте тела в целом. Для модели, соответствующей эйлеровой интерпретации, кроме того, энергия деформации непотенциальна. [c.68]

Линейные уравнения равновесия можно ввести и в лагранжевых координатах. Возьмем в исходном состоянии объемный элемент тела в виде прямоугольного параллелепипеда, построенного на элементах 1 , и рассмотрим его грань с внешней нормалью В деформированном состоянии на данную грань (которая, вообще говоря, переместилась, повернулась и как-то деформировалась) извне будет действовать сила. Ее проекции, отнесенные к площади грани до деформации, обозначим через 0 . Последние представляют собой компоненты тензора Пиолы-Кирхгофа (в книге [68. С. 81] указанные компоненты обозначены как 0 ,.. . ). [c.72]

Если работа Л не зависит от пути, по которому достигается данное поле перемещении, то она равна удельной потенциальной энергии деформации 1] (потенциальной энергии, отнесенной к единице объема до деформации). На основании (1.9) компоненты тензора Пиолы-Кирхгофа можно выразить через потенциальную энергию деформации [c.72]

В последнем случае компоненты тензора Пиолы-Кирхгофа связаны с градиентом перемещения законом Гука (2.1.1) [c.73]

Линейные уравнения равновесия (2.1.2) можно сохранить как точные соотношения, если полагать переменные лагранжевыми и в качестве компонентов напряжений включая заданные в граничных условиях, принять компоненты тензора Пиолы-Кирхгофа (см. 3.1). Кроме уравнений равновесия, в линейную теорию входит закон Гука (2.1.1), (1.13), который теперь устанавливает линейную связь между указанными компонентами и градиентом перемещений (в лагранжевых переменных). При этом напряжения возникают не только вследствие деформации, но и при повороте тела в целом, однако в остальном соответствующая механическая система внутренне непротиворечива и обладает потенциальной энергией, выражающейся при произвольных значениях компонент градиента перемещений формулой (1.12). [c.79]

Таким образом, если в задачах, рассмотренных в гл. 2 в рамках линейной теории упругости, внешние напряжения полагать компонентами тензора Пиолы-Кирхгофа, то все уравнения и граничные условия сохраняются неизменными. Следовательно, неизменными сохраняются и решения этих задач, отвечающих теперь геометрически точной модели сплошной идеально упругой среды с указанной выше связью между напряжениями и градиентом перемещений. [c.79]

Отсюда компонента тензора Пиолы-Кирхгофа [c.86]

Перепишем граничное условие (5.275) через компоненты второго тензора напряжений Пиолы — Кирхгофа. В силу (1.79) и определения (1.81), имеем [c.277]

В настоящее время достаточно хорошо установлено [1,2], что обращение (2.90) не является однозначным. Однако если определить так называемый второй тензор напряжений Пиолы — Кирхгофа [c.155]

Первый тензор напряжений Пиолы—Кирхгофа [c.474]

В 3.2 были определены векторы напряжений а . Я, = 1,2, 3. Первый тензор напряжений Пиолы—Кирхгофа ), обозначаемый через определяется с помощью разложения по базисным векторам i , х = 1, 2, 3, так что [c.474]

С другой стороны, второй тензор напряжений Пиолы — Кирхгофа ), обозначаемый через a , определяется с помощью разложения по векторам решетки Е , х = 1, 2, 3, так что [c.474]

Подставляя (19) в (3.24), обнаруживаем, что в отличие от тензора напряжений Кирхгофа тензор напряжений Пиолы, вообще говоря, несимметричен. [c.475]

Перемещений метод 46, 290, 297 Пиолы— Кирхгофа тензор напряжений второй 84, 382, 474 ----первый 474 [c.534]

Система (1.118) записана с помощью номинального тензора напряжений р. Если для формулировки такой системы желательно использовать первый тензор напряжений Пиола — Кирхгофа Р, надо в (1.118) провести замену Р на [c.61]

В это неравенство входит величина pQ, зависящая от источника теплоты Q, ее можно исключить, если воспользоваться уравнением пменоса энергии. Обозначим несимметричный тензор Пиола —Кирхгофа через [c.75]

Величины введенные соотношениями (3.23), называются компоиеи-тами тензора напряжений Кирхгофа, но в дальнейшем эти величины будут называться просто напряжениями.Относительно первого и второго тензоров Пиолы—Кирхгофа см. приложение Е, где также введен и тензор Эйлера (или Коши). [c.84]

Сравнивая последнее равенство с выражением для второй вариации полной энергии (1.16), видим, что если материал устойчив (б Р > О, вариация хотя бы одной из компонент градиента перемещения отлична от нуля), то равенство (3.6) не выполняется и, следовательно, деформация в окрестности особой точки неограниченна (точнее, не существует ограниченных пределов для компонент градиента перемещения или тензора Пиолы-Кирхгофа при г -> О, 0 = onst). [c.85]

Приведенные выше рассуждения основаны на предположении, что рассматриваемая точка особая. Обычно справедливость этого предположения вытекает непосредственно из условия задачи. Именно так обстоит дело в задаче о трещине, берега которой (х < /, 2 = 0) свободны от напряжений. Действительно, если при развитии трещина дополнительно раскрывается, то, очевидно, вектор напряжений, действующий на продолжение берега трещины х > /, 2 = + 0), отличен от нуля. В то же время он равен нулю при < /, х = + О (переменные лагранжевы). Таким образом, напряжения, а следовательно, и градиент перемещения у края трещины разрывны, данная точка является особой. Вместе с тем, если трещина раскрывается так, что ее берега образуют гладкий контур, наличие особой точки при эйлеровом описании не очевидно. Так, при эйлеровой интерпретации линейной теории упругости (см. 3.2) предел для напряжений при приближении к краю раскрывшейся трещины конечен и не зависит от полярного угла 0 (в эйлеровых переменных - д/2 0 < л/2 при г= + 0). Но в соответствии со сказанным выше при лагранжевом описании той же самой задачи напряжения (компоненты тензора Пиолы-Кирхгофа) разрывны. Из этого примера следует, что в отношении напряжений данная точка может быть особой при лагранжевом описании и в то же время обычной при эйлеровом. Справедливо и обратное утверждение. Примером является задача о закрытии эллиптической полости, рассматриваемая [c.87]

Перемещения будем считать функциями материальных лагранжевых координат xi,x2,xj и времени /. Потенциальную энергию найдем, используя тензор деформаций Грина и тензор нагфяжений Пиолы-Кирхгофа. [c.24]

Во-пгрвых, введем вторые тензоры напряжений Пиолы — Кирхгофа (далее для краткости называемые тензорами напряжений Кирхгофа), образованные величинами [c.382]

В 3.2 был определен второй тензор напряжений Пиолы— Кирхгофа, образованный величинами о , X, ц = 1, 2, 3, в точке Р деформированного тела. Здесь мы сделаем несколько замечаний о других видах тензоров напряжений, которые возникают в теории конечных перемещений, основанной на лагранжевом или эйлеровом подходах. [c.472]

Тензор т называется тензором напряжений Кирхгофа, г — тензором напряжений Кирхгофа с исключенным поворотом тензором напряжений Нолла), — вторым тензором напряжений Пиола — Кирхгофа, — тензором напряжений Грина — Ривлина. Тензор назовем повернутым вторым тензором на- [c.46]

Для тензоров 7 и Р терминология не усталовилась. В некоторых исследованиях тензор V называется первым тензором напряжений Пиола — Кирхгофа, а в других работах, наоборот, тензор Р — номинальный тензор напряжений. В [67, 110] тензор Р называется тензором напряжений Лагранжа, а S — тензором напряжений Эйлера. [c.46]

T. e. контравариантные компоненты повернутого второго тензора напряжений Пиола — Кирхгофа и ковариантные компоненты повернутого тензора напряжений Грина — Ривлина в повернутом материальном отсчетном базисе численно равны соответственно контравариантным и ковариантным компонентам тензора напряжений Кирхгофа т в материальном текущем базисе. [c.51]

Приведем запись этих систем через компоненты в декартовой системе отсчета. Используя компоненты Ру первого тензора напряжений Пиола — Кирхгофа Р = Pijki kj, систему (1.118) записываем следующим образом [c.62]

В настоящей и последующих главах упрощаем некоторые обозначения. Для второго тензора напряжений Пиола — Кирхгофа вместо вводим обозначение S, а для тензоров деформаций Грина — Лагранжа и Альманси вместо обозначений и используем Е и е соответственно. [c.68]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...