Форма квадратичная положительно-определенна

Если связи стационарны, векторы г,- не зависят явно от времени. Тогда То и Т[ будут равны нулю, и кинетическая энергия определяется квадратичной формой обобщенных скоростей. Конечно, эта форма будет положительно определенной. [c.130]

Если все связи системы стационарны, т. е. система является склерономной, то н О и Го = 0. В этом случае в соответствии с (2.2) кинетическая энергия представляется в виде однородной функции второй степени квадратичной формы) от обобщенных скоростей. Эта квадратичная форма является положительно определенной, т. е. положительна при обобщенных скоростях, отличных от нуля, и равна нулю при нулевых значениях обобщенных скоростей. [c.56]

Теорема об асимптотической устойчивости линейных систем. Пусть для какой-нибудь положительно определенной квадратичной формы и (х, t) с коэффициентами — непрерывными ограниченными функциями времени — нашлась квадратичная положительно определенная форма w (х, t), удовлетворяющая условию [c.302]

Предыдущие рассуждения относятся к свободному движению жесткого спутника. В тех случаях, когда вращающийся спутник имеет баки с жидким топливом [72, 84] или присоединенные упругие элементы конструкции в виде солнечных батарей, антенн и т.п., условие устойчивости вращающегося КА становится более жестким /х//> 1 + С, где/ — осевой, а I = 1у — Jz — поперечный моменты инерции спутника С — квадратичная положительно-определенная форма параметров системы КА — жидкость. [c.37]

Как известно, квадратичная форма будет положительно определенной, если положительны ее угловые миноры (они очерчены на схеме (29.34)). Первый из них, равный 1/4тг, положителен. Вычисление двух других дает [c.163]

Если связи стационарны, то Т = Т , т.е., кинетическая энергия Т является квадратичной формой, причём положительно - определенная квадратичная форма. [c.147]

При ц > О, ЗЯ + 2ц > О, р > О мы имеем дело с квадратичной положительно определенной формой. Поэтому должно быть [c.577]

Если данная квадратичная форма является положительно определенной функцией, то известно (см. п. 60), что ее дискриминант положителен. Отсюда непосредственно следует, что любой дискриминант, получаемый после приравнивания нулю каких-либо из переменных х, у. ....также должен быть положительным. [c.97]

В этом соотношении для Э подынтегральное выражение есть полином второй степени относительно Т - Его квадратичная форма является положительно определенной формой Гм. Поэтому подынтегральное выражение имеет минимум в трехмерном пространстве Гм, Гм, Гм. Его можно найти обычными средствами. В сущности, такие рассмотрения нами были проведены в 29. Поэтому, не повторяя выкладок, приведем окончательный результат [c.305]

Если квадратичная форма является положительно определенной, то исследуемая точка является точкой минимума, если же квадратичная форма будет отрицательно определенной, то в точке имеет место максимум. [c.17]

Выражение (2.17) представляет собой квадратичную форму от компонентов вектора я , основанную на матрице квадратичной формы К , являющейся матрицей жесткости элемента. В соответствии с физическим смыслом потенциальной энергии деформации эта квадратичная форма неотрицательна и при q =g она обращается в нуль. Для несвободного элемента =0, и квадратичная форма становится положительно определенной [4,]. Непосредственной проверкой можно убедиться в том, что [c.24]

Действительно, так как Г/ изоморфно проектируется на то —того же типа, что и /г Г/. Но в начале А. II. 3 мы видели, что Г/ содержит Гк, так что все сводится к доказательству того, что ограничение особенности типа 55 на многообразие, содержащее критическое многообразие, также является особенностью типа 5,+, что совершенно очевидно. Чтобы в этом убедиться, достаточно рассмотреть, что происходит в сечении, транс-версальном к критическому многообразию, и использовать тот факт, что положительно определенная квадратичная форма остается положительно определенной, если ее ограничить на подпространство. [c.121]

Квадратичная форма называется положительно-определенной, если она принимает только положительные значения, обращаясь в нуль, когда все переменные Дi , Х2, —, равны нулю, Для того чтобы форма была положительно-определенной, необхо димо и достаточно, чтобы все коэффициенты формы после приведения ее к каноническому виду были положительны. Этому условию можно дать следующее выражение. Как мы знаем, квадратичная форма может быть приведена к виду [c.50]

Выражение (129.2) показывает, что кинетическая энергия механической системы со стационарными связями является квадратичной формой обобщенных скоростей. Так как кинетическая энергия механической системы всегда положительна, то эта форма положительно определенная. [c.365]

Обычно вместо (7.25) удобнее пользоваться положительно определенной квадратичной формой функционала [c.211]

Это выражение является квадратичной формой от обобщенных скоростей с постоянными коэффициентами. Из физического смысла понятия кинетической энергии следует, что функция Т равна нулю лишь тогда, когда все qj одновременно равны нулю, и положительна, если хотя бы одна из tjy отлична от нуля. Квадратичная форма, удовлетворяющая этим условиям, называется положительно определенной, а матрица, составленная из ее коэффициентов, [c.213]

Если дополнительно предположить, что не только А, но и С является матрицей положительно определенной квадратичной формы, то (как мы покажем далее) все корни характеристического уравнения (18) будут чисто мнимыми. [c.215]

Таким образом, для диссипативной системы функция Релея является положительно определенной квадратичной формой, и в уравнениях движения [c.216]

А и В будут матрицами положительно определенных квадратичных форм. [c.216]

В общем случае тот факт, что уравнения (15) получались линеаризацией уравнений Лагранжа, не придает этим уравнениям каких-либо особенностей, которые позволили бы выписать их решение и изучить возникающие движения проще, чем это могло бы быть сделано при исследовании системы линейных уравнений самого общего вида. Иначе обстоит дело в том случае, когда система консервативна и матрица С = с /, является матрицей положительно определенной квадратичной формы ). Тогда в уравнениях линейного приближения [c.236]

В линейной алгебре доказывается теорема о том, что две квадратичные формы, одна из которых является положительно определенной, могут быть одновременно приведены к сумме квадратов с помощью неособенного линейного преобразования [c.237]

Положительная определенность квадратичных форм (12.32), (12.47) и соответствующих матриц означает, в частности, что все их элементы, расположенные на главной диагонали, должны быть положительными. Действительно, при i=/ частные производные в суммах (12.32), (12.47) умножаются на неотрицательные числа — квадраты вариаций переменных. Благодаря произвольности вариаций эти числа всегда можно считать положительными, а вариации других переменных с i j — равными нулю, так что знак неравенства должен выполняться для каждого из слагаемых суммы в отдельности. Поэтому из [c.125]

Сложнее гарантировать единственность решения, хотя это так же важно, как и доказательство его существования. Наиболее надежные выводы получаются при известной форме поверхности минимизируемой функции в многомерном пространстве. Проблема эта тесно связана с анализом устойчивости равновесия и частично уже обсуждалась в 12, 13. Выше встречались различные формулировки условий устойчивости говорилось о существовании взаимно однозначного соответствия между термодинамическими силами и координатами, о постоянстве знака якобиана их преобразования (9.23), о положительной определенности квадратичных форм (12.32), (12.47), о знаке определителей матриц вторых производных характеристических функций (9.24), (12.20). Еще одно эквивалентное выражение условий устойчивости связано непосредственно с характеристикой формы поверхности рассматриваемой функции — это ее выпуклость. [c.185]

В линейной алгебре доказывается, что всякую положительно определенную квадратичную форму можно привести к диагональному виду. Простейший способ задать скалярное произведение — это [c.16]

Для склерономной системы кинетическая энергия представляет собой невырожденную положительно определенную квадратичную форму всех скоростей. Следовательно, полная энергия [c.570]

Рассмотрим влияние гироскопических сил. Такие силы могут возникать, например, вследствие действия кориолисовых сил в неинерциальной системе отсчета. Они также могут быть следствием процедуры Рауса игнорирования циклических координат. Рассмотрим случай // = 2 + 0- Если лагранжевы координаты системы ортогональны в том смысле, что форма Ьо есть сумма членов, содержащих только квадраты обобщенных скоростей, то (см. 8.5) функция Рауса также будет представлять собой сумму положительно опреде,пен-ной квадратичной формы по позиционным скоростям и свободного от скоростей члена. Однако если 2 — произвольная положительно определенная квадратичная форма, то отсутствие линейного по скоростям члена в функции Рауса гарантировать нельзя, так что функцию Рауса следует принять в виде [c.593]

Для того чтобы квадратичная форма Р была определенно положительной, необходимо и достаточно, чтобы ее коэффициенты удовлетворяли условиям [c.432]

Если связи, наложенные на точки системы, стационарны, кинетическая энергия является положительно определенной квадратичной формой обобщенных скоростей. Следовательно, [c.159]

Кинетическая энергия системы при этом вновь будет выражаться положительно определенной квадратичной формой [c.170]

Коэффициенты этой положительно определенной квадратичной формы являются функциями координат точек системы qj и не зависят явно от времени. Они называются иногда коэффициентами инерции . Происхождение этого названия объясняется физическим смыслом этих коэффициентов в частных случаях, как было показано выше. [c.228]

Следовательно, кинетическая энергия будет положительно определенной квадратичной формой обобщенных скоростей с по-стоянными коэффициентами. Далее коэффициенты (й,л)о сокращенно обозначаются ат. [c.229]

Если выполняется достаточное условие устойчивости равновесия, то функция П, определенная равенством (11.173), будет положительно определенной квадратичной формой обобщенных координат. [c.230]

Следовательно, движение материальной системы в консервативном силовом поле в малой окрестности положения устойчивого равновесия определяется свойствами двух положительно определенных квадратичных форм кинетической и потенциальной энергий. [c.230]

Возвратимся к теории малых колебаний системы около положения ее устойчивого равновесия. Сначала рассмотрим свободные колебания системы в консервативном силовом поле. В этом случае движение системы полностью определяется выражениями ее кинетической и потенциальной энергий. Как было показано в 88, кинетическая и потенциальная энергии представляются в виде положительно определенных квадратичных форм [c.231]

Метод выделения квадратов связан с линейным преобразованием координат. Поэтому потенциальная энергия остается положительно определенной квадратичной формой ). Мы не изменяем обозначения коэффициентов этой формы, обозначая их, как и раньше, с и, хотя они и отличаются от коэффициентов, входящих в выражение потенциальной энергии в формулах (II. 175). [c.232]

Рассмотрим особую систему обобщенных координат, в которой кинетическая и потенциальная энергии системы аналитически выражаются положительно определенными квадратичными формами, приведенными к каноническому виду. Такие координаты называются нормальными, или главными. Напомним, что в аналитическом выражении, которым определяется квадратичная форма, приведенная к каноническому виду, нет членов с произведениями переменных. В этом случае положительно определенная квадратичная форма является суммой квадратов. [c.242]

В этой системе координат потенциальная энергия выражается, как и раньше, положительно определенной квадратичной формой [c.246]

Можно представить кинетическую энергию даже при наличии нестационарных связей как квадратичную форму т + 1 обобщенной скорости. Дополнительная (т- -1)-я координата равна времени. Эта форма всегда положительно определенная. Из теории квадратичных форм известно, что необходимыми и достаточными условиями положительной определенности квадратичной формы является сохранение положительного знака дискриминанта формы и положительных знаков всех его главных миноров. Одним из этих -миноров является определитель ц1л1. Таким, образом, приходим к предыдущему заключению. [c.144]

Если в этой формуле определитель матрицы отличен от нуля — начальная скорость неколлинеарна начальному радиусу-вектору,, то, применив обратную матрицу (это не обязательно делать в явном виде), увидим, что os o и sinto суть линейные функции х нус коэффициентами, зависящими от начальных условий. Следовательно, тождество os o/.+sin a)t= 1 даст нам уравнение траектории, которая получится эллипсом (сумма квадратов линейных форм есть положительно определенная квадратичная форма). Легко понять, что центр этого эллипса находится в начале координат. [c.17]

Здесь ей/ — симметричные тензоры второго порядка с ком-лонентами гц и %ц в декартовой системе координат. Термодинамическое рассмотрение показывает, что соответствующая % квадратичная форма является положительно определенной. Вследствие этого все компоненты тензора е вещественны, а его собственные значения положительны. Для многих кристаллов нужно учитывать тот факт, что диэлектрическая постоянная зависит от направления электрического поля, а также то, что результирующая электрическая индукция D может быть не. параллельной Е, так что далее будет использоваться обычно общее соотношение между этими двумя векторами в виде второго уравнения (1.10.8). В более сильных полях Е, (какие встречаются в лазерах, в выражении для индукции D м гут понадобиться дополнительные слагаемые более высокого пЬ-рядка по Е. Здесь мы вступаем в область нелинейной оптики, которая находится за рамками этой книги. [c.61]

Программа 81ТУЕ8, написанная на языке НА81С, позволяет при помощи критерия Сильвестра (2.61) и условий (2.62) теоремы 2.10 решить вопрос, является ли заданная квадратичная форма (2.58) определенно-положительной или определенно-отрицательной. [c.109]

Примечание. Отсутстпие секулярных членов вида (а) в общем решении дифференциальных уравнении малых колебаний в случае кратных корней характеристического уравнения объясняется тем, что эти уравнения порождаются двумя положительно определенными квадратичными формами — кинетической и потенциальной энергиями. В других случаях эти члены действительно появляются в общем решении системы дифференциальных уравнений. Рассмотрим как пример систему с двумя степенями свободы, уравнениями движения которой являются [c.254]

Эту функцию, в соответствии с 206 первого тома, назовем функцией рассеяния, или диссипативной функцией. Как видно из формулы (II. 198а), функция рассеяния построена аналогично кинетической энергии. Выражая скорости точек системы через обобщенные скорости, найдем, что функция рассеяния — положительно определенная квадратичная форма обобщенных скоростей [c.255]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...