Единственность решения уравнений

В силу теоремы существования и единственности решения уравнений (6.1) интегральные кривые не мог ут пересекаться и, следовательно, все другие решения находятся внутри полос, образуемых решениями х х , л = [c.215]

Фазовая плоскость для уравнения (6.1) вырождается в фазовую прямую. Рассмотрим представление движения на этой фазовой прямой. Согласно теореме о единственности решения уравнения (6.1), начальное условие при i = to X = х однозначно определяет дальнейшее движение изображающей точки. Характер движения изображающей точки не будет зависеть от момента времени to, так как уравнение (6.1) явно от времени не зависит. Это значит, что каждая отдельная фазовая траектория на фазовой прямой соответствует не одному движению, а бесконечному множеству движений, соответствующим различным t . [c.215]

Доказательство. Если при удалении какой-либо связи множество виртуальных перемещений содержит только нулевой вектор, то оно и подавно будет содержать только нулевой вектор, когда эта связь восстановлена. Принцип виртуальных перемещений тождественно удовлетворяется из-за того, что г,- = О есть единственное решение уравнений для виртуальных перемещений. Но тогда система уравнений для ускорений [c.357]

Поэтому представляет инте)рес определить условия для й, А, Ь, В, при выполнении которых невозмущенное движение а = О, а = О будет асимптотически устойчиво при любых законах изменения функций а и Р в заданных границах. (Считая, что функции аир изменяются произвольным образом, мы предполагаем, конечно, что для всех t, X, X из области (7.24) они удовлетворяют условиям существования и единственности решения уравнения [c.225]

Суммируя изложенное, можно констатировать, что одинаковые безразмерные дифференциальные уравнения, описывающие группу гидродинамических процессов, вместе с безразмерными условиями однозначности (начальными и граничными условиями), а также одинаковые значения критериев подобия являются необходимыми условиями механического подобия. Доказать их достаточность удается не во всех случаях, так как это связано с вопросом о существовании и единственности решений уравнений Навье — Стокса. Рассмотрим этот вопрос подробнее. [c.123]

Допустим, что для изучаемого класса течений теорема существования и единственности решений уравнений Навье — Стокса доказана. Зафиксируем конкретные значения критериев (5.89) и сформулируем в безразмерных величинах условия однозначности для безразмерных уравнений Навье — Стокса. Тогда решив их, получим единственное решение, в которое в качестве параметров войдут зафиксированные значения чисел Fr, Ей, Re, Sh. Это решение определит целый класс физически реальных процессов, размерные параметры которых в сходственных точках будут отличаться только численными множителями, а безразмерные будут одинаковыми. Иначе говоря, получим класс механически подобных потоков. [c.123]

Допустим, что для изучаемого класса течений теорема существования и единственности решений уравнений Навье — Стокса доказана. [c.132]

На основании теоремы существования и единственности интеграла дифференциального уравнения второго порядка решение s=s будет единственным решением уравнения (2 ), для которого начальными условиями будут 5 = So и s = 0. Отсюда следует, что при сделанных предположениях материальная точка остается в равновесии в начальном положении. [c.30]

Условие 1.3 обеспечивает единственность решений уравнения (1. 26) движения машинного агрегата и монотонное убывание приведенного момента М (ср, Т) всех действующих сил по кинетической анергии Т. Следовательно, приток кинетической энергии Г, с одной стороны, характеризуется возрастанием угловой скорости главного вала, а с другой стороны, одновременным уменьшением приведенного к главному валу момента М (ср, Т) всех действующих сил, что рано или поздно приведет к тому, что угловая скорость <в начнет убывать. Наоборот, убыль кине- [c.24]

Отсюда, если учесть условие 1.3 и свойство единственности решений уравнения движения d7 /t машинного агрегата, непосредственно вытекает следующая теорема. [c.183]

Исследования существования и единственности решения уравнения (2-7) с различными значениями параметров а, р и у, удовлетворяющего граничным условиям (2-10), показывают, что при выполнении условий (2-11) — [c.39]

I. Существование и единственность решения уравнения движения [c.85]

I. t -ц) не относится к = 1 в точке, принадлежащей определенному интервалу оси так как t -ц) 1 — единственное решение уравнения [c.89]

Выделение на заданном отрезке fa, Ь единственного решения уравнения (4.17) воз-мол но не только заданием начальных условии [c.104]

Откуда следует выпуклость функционала I(u) и единственность решения уравнения (3.1). [c.66]

В более общих задачах об обтекании тел сквозь поверхность тела может происходить отсасывание или, наоборот, выдавливание жидкости. При некоторых условиях и в этих случаях толщина пристеночного слоя, где существенно влияние вязкости, имеет порядок так что для описания течения в этом слое можно пользоваться уравнениями Прандтля. Использованию уравнений Прандтля для решения задач о ламинарных течениях жидкости в пограничном слое на твердом теле посвящена обширная литература (см., например, монографии [1-3]). Имеются и строгие доказательства существования и единственности решения уравнений Прандтля для таких течений [4]. Эти доказательства теряют, однако, силу в тех случаях, когда внутри пограничного слоя имеется зона обратных токов. Уравнения пограничного слоя широко используются также для решения задач о ламинарном смешении потоков, имеющих разные скорости, и о течениях в ламинарных струях. В этих задачах решения получены только для течений, в которых продольная составляющая скорости не меняет знак. [c.91]

Установление необходимых и достаточных условий, требуемых для единственности решения уравнений Стокса, представляет собой сложную математическую проблему, которая решена еш,е не полностью ). Значительное внимание уделялось наиболее часто встречаемой задаче, а именно установлению существования и единственности решения в случае замкнутой границы, на которой компоненты скорости принимают заданные значения. [c.79]

Повторяя ход доказательства теоремы Кирхгоффа о единственности решения уравнений линейной теории упругости (п. 4.1 гл. IV), рассмотрим интеграл [c.729]

Здесь SJ— символ Кронекера. Единственное решение уравнений (1.2) имеет вид [c.5]

Было показано [6], что выражения (1.4), (1.11) и (1.12) служат (если не считать тривиальных их модификаций, например при замене х на л + а) единственными решениями уравнения (1.1), имеющими вид / [<р (J ) ф (0]- [c.59]

Уравнения (38) представляют безразмерные уравнения Стокса динамики вязкой несжимаемой жидкости. К этим уравнениям присоединяются соответствующие данной конкретной задаче безразмерные начальные и граничные условия, а в ряде случаев и другие условия единственности решений уравнений Стокса. [c.369]

Перечисленные условия подобия, включая последнюю систему равенств, являются необходимыми условиями подобия. Трудности стоят на пути выяснения достаточных условий подобия. Эти трудности связаны с тем обстоятельством, что существующие доказательства теоремы единственности решений уравнений Стокса относятся к отдельным классам движений вязких несжимаемых жидкостей. Для этих классов движения теорема об условиях подобия (необходимых и достаточных) двух входящих в них движений, конечно, может считаться полностью доказанной. Большое разнообразие встающих перед практикой задач (наряду с обычными задачами обтекания тел и протекания жидкости сквозь трубы и каналы существуют еще задачи свободной конвекции, распространения струй, образования следов за телами, развития пограничных слоев и мн. др.) не позволяет считать вопрос об установлении достаточных условий подобия движений вязкой несжимаемой жидкости решенным. [c.369]

Как показано в [37], для степенной функции метод последовательных приближений сходится к единственному решению уравнения (1.61), если параметры задачи удовлетворяют неравенству [c.66]

Третья теорема исходит из предположения, -что явления протекают в геометрпчески подобных системах (поэтому геометрическое подобие систем есть первое необходимое условие для существования подобия), что для рассматриваемого явления можно составить дифференциальные уравнения, что установлено существование и единственность решения уравнения при заданных граничных условиях, что известны численные значения коэффициентов и физических параметров, входящих в дифференциальное уравнение. [c.417]

Если выполняются обычные условия единственности решений уравнений Лагранжа, то в стационарном случае более удобн(э1е условия равновесия определяет следующая [c.209]

Экспериментальным обоснованием этого постулата служит неизменность знака производной dUldT)b, которая представляет собой теплоемкость системы при внешних параметрах Ь. Постулат гарантирует единственность решения уравнения состояния U=U T, Ь) относительно температуры T=T U, Ь). В термодинамике принято соглашение считать производную (dUjdT) ь положительной, т. е. энергия тела считается возра-стаюш,ей функцией его температуры (см. 6). [c.27]

В результате вычисления это уравнение получается умноженным с обоих сторон на оператор (1 -f l rdldr). Но нескольку единственное решение уравнения / + / rdfldr = О, конечное при г = О, есть / = О, то этот опера-fop можно опустить. [c.199]

Равенство (14.5) определяет нормальную производную ср на поверхности, что с точностью до постоянной определяет единственное решение уравнения Лапласа (14.4). Поэтому из условий divA = 0 н j =0 вытекает единственный выбор калибровки. При такой калибровке А внутри массивного образца стремится к нулю. Если сделан какой-либо другой выбор, то (14.1) должно быть написано в иной форме. [c.702]

Следовательно, сформулированные выше условия в данном случае оказываются не только необходимыми, но и достаточными для существования механического подобия. Однако такое заключение нельзя распространить на произвольное движение вязкой жидкости, поскольку теорема существования и единственности решения уравнений Навье — Стокса доказана хотя и для многих, но все же частных классов движения. В общем случае необходимые и достаточные условия подобия не определены. Правда, это не исключает возможности практического использования теории подобия. В практике при постановке эксперимента существование и единственность группы потоков, подобных натурному, предполагают apriori, модель выполняют, исходя из необходимых условий подобия, и ее принадлежность к указанному классу проверяют на основе сопоставления частично известных натурных данных с результатами измерений на модели. [c.123]

Вычисление Кх но (13.14) носит название метода виртуального роста трещины [351]. Такая форма записи выражения для вычисления К не содержит производных перемещений и, следовательно, позволяет обойтись единственным решением уравнений равновесия. Производная матрицы жесткости элемента [dkldl] находится при помощи изменения положения вершины трещины, при котором меняется геометрия элементов, окружающих вершину (рис. 13.10) [c.92]

Рассмотрим плоские изгибиые волны. Можно показать, что единственным решением уравнений (12), определяющим плоские волны, является гармоническая функция вида [c.276]

Действительно, при е < h в области (16) функция V xi t) X2 t) ..., Xm t)) остзется отрицательной, не обращаясь в нуль ни при каких значениях t. Это следует из того, что, в силу единственности решения уравнений возмущенного движения при заданных начальных условиях, функции Xi t) (г = 1, 2,..., т) не могут все одновременно обратиться в нуль при каком-либо значении t = в противном случае было бы два разных решения с нулевыми значениями при t = t рассматриваемое и тривиальное xi. .. = Хт = 0. Так как У < О, то функция V xi t) X2 t) ..., Xm t)) монотонно убывает, оставаясь положительной. Но так как функция V ограниченная, то существует предел [c.523]

Таким образом, характер течения различается по геометрическим признакам. В силу того, что существует единственное решение уравнений (6.31), (6.32), соответствующее знаку плюс и обозначаемое и, будем различать режим в соответствии с корнями U+. Удобной мерой при классификации рещений служит величина /3 / /г - /lod v 2A j . Подчеркнем, что величина /3 / /г - Лоо /2j4 считается неизменной для всех режимов, поскольку, как уже отмечалось, предполагается, что отступающий мениск описывается монотонной функцией. [c.126]

Выделение на заданном отрезке [а, Ь] единственного решения уравнения (4.19) возможно заданием не только начальных условий (4.20), но и различных граничных условий в точках avtb. Типичным примером такой задачи является краевая задача [c.102]

Скуратовсквй М.Н. Существование и единственность решения уравнений пологой вантовой сети и шаговые-вычислительные методы//Применение ЭВМ в строит, механике Сб. статей. - Киев, 1968. - С. 153-156. [c.216]

Отсюда следует прямая теорема подобия если два стационарных движения однородного (не диссоциированного и неионизованного) вязкого газа при отсутствии объемных сил и лучеиспускания подобны между собой, то соответствующие этим движениям числа Reoo, Моо, f , ст и Т , Too одинаковы для обоих рассматриваемых движений. Естественно, возникает вопрос об установлении достаточных условий, т. е. условий, обеспечивающих подобие двух гидроаэродинамических явлений. Однако решение этого вопроса упирается в необходимость строгого доказательства теоремы о существовании и единственности решений уравнений, что в настоящее время сделанО лишь для простейших случаев. Кроме того, разнообразие постановок задач о движении газа также вызывает некоторые трудности. Обо всем этом и о применениях соображений теории размерностей к разысканию типов решений уравнений Навье — Стокса, в частности, автомодельных решений, уже подробно говорилось в гл. VIII и IX. Не будем вновь возвращаться к этим вопросам, так как они полностью совпадают с соответствующими местами теории подобия несжимаемой вязкой жидкости. [c.642]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...