Градиент перемещения

Предположим, что градиенты перемещений < ,7(Зх/<С 1, dui/dxj< l. Тогда из (3.16) получаем тензор малых деформаций Коши [c.72]

Если предположить, что кроме градиентов перемещений малы сами перемещения (ц 0), то разница между лагранжевым и эйлеровым координатами весьма мала и на основании (1.120) можно считать Xi = Xi. В этом случае тензоры е,/, определяемые по формулам (3.67), (3.68), можно считать совпадающими, что характерно для массивных тел. [c.73]

Разложим лагранжев градиент перемещений dui/dxj на симметричную н асимметричную части [c.75]

Один из способов достижения этой цели состоит в том, чтобы свести задачу к двумерной. Для композитов, армированных длинными волокнами, разумно предположить, что градиенты напряжений и деформаций в осевом направлении (направлении оси 3 на рис. 5, а) пренебрежимо малы по сравнению с градиентами этих величин в плоскости поперечного сечения. Это предположение приводит нас к классической задаче о плоском напряженном состоянии или о плоской деформации. В первом случае предполагается, что напряжение в направлении, перпендикулярном интересующей нас плоскости (компонента Озз, нормальная плоскости осей / и 2 на рис. 5, а), равно нулю данная гипотеза обычно принимается при исследовании поведения тонких пластин (тонких в направлении оси, 9), на которые действуют силы, лежащие в плоскости этих пластин. Однако в слуг чае армированного непрерывными волокнами слоя, изображенного на рис. 5, а, размер изделий в направлении армирования, (направлении оси 3) обычно очень велик, что лучше соответствует условиям плоской деформации, когда перемещения в направлении оси 3 принимаются равными нулю. Поскольку это предположение влечет за собой отсутствие градиентов перемещений в направлении оси 3, деформации и соответствующие им скорости 8,3 равны нулю, т. е. [c.221]

Здесь под перемещениями срединной поверхности слоя заполнителя и нормальными составляющими градиентов перемещений понимаются их представления в виде (5.60). При использовании в расчетах осредненных значений деформаций поперечного сдвига компонентами вектора и(3) можно пренебречь. [c.220]

В перечисленных классификациях вектор Ф и градиенты перемещений не описывают полностью конечные повороты материальных элементов оболочки при нелинейном деформировании. Классификация нелинейных за- [c.137]

Относительные удлинения 6а и сдвиги в большом числе задач теории упругости оказываются достаточно малыми, что дает основание к замене формул (3.6.8) приближенными равенствами (3.6.10). Однако малость самих относительных удлинений и сдвигов еще не может служить основанием для замены тензора S на е—требуется, как говорилось, малость всех компонент тензора-градиента перемещения Уи. Так, в п. 3.8 будет приведен пример, когда S" = О (поворот среды как твердого тела), тогда как ё= 0 и компоненты этого тензора могут быть сколь угодно большими. Очевидно, что здесь возможность отождествления тензоров и ё отпадает. Эти же вопросы рассматриваются в п. 3.9. [c.77]

Статическая устойчивость. Статическая устойчивость может быть определена как тенденция системы возвращаться в положение равновесия после воздействия возмущений, что предполагает наличие сил или моментов, препятствующих статическому отклонению от положения равновесия. Граница статической устойчивости соответствует нахождению одного полюса системы в начале координат таким образом, апериодическая неустойчивость имеет место, если последний член характеристического уравнения системы положителен. Динамическая же устойчивость означает, что все отклонения от установившегося состояния стремятся к нулю, чему соответствует расположение всех полюсов системы в левой полуплоскости. Статическую устойчивость можно также связать с установившейся реакцией системы на управляющее воздействие. Наличие силы или момента, препятствующего отклонению от равновесия (т. е. статическая устойчивость), предполагает, что для отклонения вертолета от равновесного положения к нему необходимо приложить силы или момент путем отклонения управления. Величина требуемого отклонения управления (градиент управления) связана с возмущающими силой или моментом и, следовательно, является мерой статической устойчивости. Знак отклонения управления определяет статическую устойчивость или неустойчивость системы. Для систем низшего порядка определение статической устойчивости имеет элементарную интерпретацию. Для систем высокого порядка определение и интерпретация статической устойчивости более сложны. Для вертолета, являющегося сложной системой, даже статическую устойчивость определяют несколько производных устойчивости, и поэтому связать между собой градиент перемещения ручки, статическую и динамическую устойчивость затруднительно. [c.762]

Введя в рассмотрение вектор перемещения частицы u=R — i получим на основании (1.29), (1.30) представления тензоров де формации через градиент перемещения [c.30]

Введем тензоры градиентов перемещения [c.24]

В 1.2.4 определен тензор градиента деформации F. С помощью полярного разложения (1.33) этого тензора процесс деформирования можно наглядно представить или в виде искажения окрестности материальной точки действием тензора U с последующим поворотом ее действием тензора R, или в виде поворота этой окрестности при действии тензора R с последующим искажением ее действием тензора V. Как отмечено в 1.2.4, тензор градиента деформации F, а следовательно, и тензор градиента перемещения Н полностью характеризуют деформирование материальной частицы. [c.34]

Для произвольной малой деформации материальной частицы в выражениях тензоров деформаций Е и через тензоры градиентов перемещений Н и "Н в (см. (1.47)) и в определениях их компонент (1.50) нельзя опускать нелинейные члены. Это можно делать только в том случае, когда рассматривается бесконечно малая деформация материальной частицы, характеризуемая выполнением равенств [c.39]

Из (1.47) получим выражения для материальной производной тензора деформаций Грина — Лагранжа в виде однородных функций материальных производных тензоров градиента деформации Р и градиента перемещения Н (= Р) [c.42]

Еще одну форму представления системы (1.118) получим, выражая тензор в (1.119) через тензор градиента перемещений "К с помощью (1.14) [c.62]

Здесь предполагается, что материальные производные компонент тензора деформаций Грина — Лагранжа выражены через материальные производные компонент тензора градиента перемещения формулой (1.62). [c.119]

В настоящем разделе приводятся общие определения и формулировки единственности и устойчивости решений нелинейных задач по деформированию тел из упругих и упругопластических материалов. Используются первый тензор напряжений Пиола — Кирхгофа и тензор градиента перемещения. Исследование поведения решения уравнений с использованием других тензоров напряжений и деформаций проводится аналогично. Точно так же исследуется поведение решений для уравнений, сформулированных в текущей конфигурации. [c.131]

Для MNO-формулировки матрицы и векторы системы уравнений можно получить из матриц и векторов TL-формулировки, удаляя нелинейную касательную матрицу жесткости и заменяя матрицу qBl матрицей В (выражения элементов последней матрицы получаются из элементов первой при отбрасывании членов с компонентами тензора градиента перемещений Uj j). Получаем систему уравнений для приращений перемещений вида (5.78) со [c.181]

Выражения компонент тензора деформаций Грина — Лагранжа через компоненты тензора градиента перемещений приведены в (1.50). В обозначениях (5.5) имеем [c.194]

Компоненты матрицы дХ можно определить с помощью компонент тензора градиента перемещений [c.194]

Здесь матрица qBJ, не зависит от времени (текущего напряженно-деформированного состояния), а элементы матрицы зависят линейно от градиентов перемещений Подставляя (7.20) в [c.220]

Так как элементы матрицы дВ зависят линейно от градиентов перемещений, с помощью первой формулы (7.25) получаем [c.221]

Отметим, что линеаризованные уравнения (2.5.48) нри малых по сравнению с единицей компонентах градиента перемещений совпадают с уравнениями Ламе для классической теории упругости. Система уравнений (2.5.48) представляет собой систему эллиптического типа, если [c.82]

В дальнейшем мы не будем записывать аргумент функций Ni которые будем называть локальными функционалами -го уровня, предполагая, что аргументом являются быстрые координаты I и градиенты перемещений (по медленным координатам) порядка I, 2.д. Тогда разложение (2.6) запишется в виде [c.226]

Таким образом, основные геометрические соотношения для кристаллов, испытывающих произвольные повороты и смещения, легко записать па языке теории дефектов. Для этого кроме обычных для механики сплошной среды уравнений необходимо ввести определения дисклинаций и дислокаций в форме (14). В предельном варианте, т. е. при стесненных поворотах, связанных лишь с градиентами перемещений (со = Q), все полученные уравнения приводятся к ранее известному виду. [c.117]

Рассмотрим условие сплошности тела, состоящего из структур- ных элементов линейного размера I. Уже доказано, что уравнения совместности можно рассматривать в локальной системе координат (т. е. для структурного элемента), а также для тела в целом. Принимая, что градиенты перемещений и поворотов внутри структурного элемента постоянны, перемещения и повороты можно представить следующим образом [c.151]

Во многих задачах механнки, когда градиенты перемещений точек деформируемого тела малы (смысл этого иредиоложения определяется точностью, которую необходимо получить в расчетах), нелинейными слагаемыми в определении тензоров деформации г9. и tf. пренебрегают в этом случае имеем [c.9]

Сложность в использовании традиционной формы метода Ритца заключается и в выборе функций так как решение представляет собой линейную комбинацию этих функций. Для достижения требуемой точности при больших градиентах перемещений и напряжений требуется большое число функций. Однако эти функции не нужны на тех участках конструкции, где перемещения и напряжения изменяются незначительно. [c.35]

Основные соотношения классической теории упругости Линейиая классическая теория базируется на ряде гипотез, основными из которых являются предположения о сведении системы сил, действующих на элементарную площадку, только к рав недействующей (отсутствие моментов), о малости градиентов перемещений (линей пая связь между деформациями и перемещениями), об идеальной упругости материала (линейная связь между напряжениями и деформациями) [c.137]

Для получения уравнений, описывающих температурные поля и напряжения в деформируемом теле, в дальнейшем рассматриваются малые перемещения и градиенты перемещений. В этом случае вектор перемещения и с компонентами Н рассматривается как некоторое векторное поле, тензор деформаций с компонентами Еу - как тензорное поле, определенные в действительном векторном пространстве [75]. Компоненты тензора деформаций выражаются через компоненты вектора перемещений соотношениями Коши .у=(ди1/дХу+диудх,)/1 (здесь и далее /, / = 1, 2, 3, а также везде в формулах подразумевается суммирование по повторяющимся латинским индексам). Тогда из уравнения неразрывности (закона сохранения массы) [19] [c.182]

В.Т. Койтер нелинейные задачи классифицирует по степени ограничения градиентов перемещений и компонентов вектора Ф. На этой основе рассмотрены четыре приближенных варианта уравнений теории оболочек с бесконечно матши, ограниченно малыми, средними и большими перемещениями. [c.137]

Мы говорим здесь о больших деформациях, т. е. о компонентах градиента перемещений dufdx, dujdy н т. д. Прн этом не имеется в виду величина перемещений или деформаций сама по себе, перемещения не могут быть ни большими, ни малыми, деформации могут быть большими (по сравнению с единицей), вращения предполагаются большими (опять-таки по отношению к единице). В теории малых деформаций последние всегда <1. В то же время в литературе можно встретить ссылки на теорию больших деформации, что может иметь или не иметь смысла, и на теорию больших перемещений, что смысла не имеет. [c.332]

Полное решение краевой задачи теории упругости включает построение трех взаимосвязанных поле1. Поле деформаций е предсгавляс собой симметричную часть тензорного поля градиентов перемещений и [c.50]

Первый подход предложил Л. М. Зубов [71. В этом подходе принцип стационарности потенциальной энергии был обобщен с использованием тензоров напряжений Пиолы ) и тензоров градиентов перемещений. Второй подход предложил Фрайш де Вебеке 181. Его формулировка основана на теореме о полярном разложении матрицы Якоби. В подходе использованы технические тензоры деформаций и сопряженные с ними тензоры напряжений, которые рассматриваются как функции тензоров напряжений Пиолы и материальных вращений. Таким образом, функционал [c.368]

При бесконечно малой деформации материальной частицы все тензоры деформаций превращаются в тензор деформаций Коши е, который связан линейными соотношениями (1.56) с тензором градиента перемещений Н, а все тензоры напряжений превращаются в тензор напряжений Коши сг. Предположим, что условие бесконечно малой деформации выполнено для всех материальных частиц тела В. Деформацию тела при выполнении этого условия назовем геометрически линейной или бесконечно малой . Подход к формулировке уравнений с использованием тензоров деформаций е и напряжений сг назовем геометрически линейным или MNO (material nonlinear only) подходом. При этом наряду с геометрически линейным деформированием тела допускается физическая нелинейность деформирования, которая может присутствовать в определяющих соотношениях, связывающих тензоры напряжений и деформаций и/или их скорости. [c.65]

Путем наложения некоторых связей в уравнениях обобщенного вариационного принципа можно получить сформулированные относительно скоростей уравнения вариационного принципа Хилла для упругих и упругопластических тел при произвольной величине деформаций [47, 73, 78, 79, 81]. Рассмотрим уравнения (3.6). Предположим, что варьируемые поля скоростей перемещений й принимают заданные значения на границе qSu, т.е. выполнены кинематические граничные условия в (3.6). В этом случае исчезает последний член в правой части (3.8). Далее предполагаем, что материальная производная тензора градиента деформации не является произвольной варьируемой величиной, а выражается через материальную производную тензора градиента перемещения с помощью четвертого равенства (3.6). Тогда исчезает второй член в правой части (3.8). Предположим также, что материальная производная первого тензора напряжений Пиола — Кирхгофа не является независимой варьируемой величиной, а выражается через материальную производную тензора градиента деформации с помощью последней формулы (3.6), т.е. определяющие соотношения предполагаются заданными. В этом случае вариационное уравнение (3.7) преобразуется в следующее [c.117]

Компоненты тензора деформаций Коши eij и их приращения вьфажаются через компоненты тензора градиента перемещения и их приращения [c.170]

При формулировке уравнений в текущей конфигурации (в момент времени t) в качестве меры деформации удобно использовать тензор деформаций Альманси. Выражения компонент этого тензора деформаций через компоненты тензора градиента перемещений приведены в (1.50). Запишем эти выражения в обозначениях настоящей части [c.195]

В варианте Лейбензона — Ишлинского привлекательна простота уравнений равновесия. Однако вследствие того, что краевые условия (2.6) включают градиенты перемещений Ди,-, орять-приходится искать решение в перемещениях. Здесь, правда, несколько упрощаются уравнения равновесия в перемещениях, она имеют на основе (3.5), (3.1) вид [c.196]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...