Метод контурного интегрирования

Интересным является предложенный в 1900 г. Германом [Л. 379] метод контурного интегрирования для вычисления угловых коэффициентов, обобщенный и развитый в дальнейшем [Л. 153, 154]. Согласно этому методу четырехкратный интеграл по поверхностям заменяется двукратным интегрированием по контурам этих поверхностей. В ряде случаев [Л. 154] метод контурного [c.237]

Еще один подход к вычислению интеграла в (1.7) основывается на использовании метода контурного интегрирования в комплекс- [c.82]

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДИФФУЗНЫХ УГЛОВЫХ КОЭФФИЦИЕНТОВ МЕТОДОМ КОНТУРНОГО ИНТЕГРИРОВАНИЯ [c.144]

Доказательство теоремы Стокса можно найти в любом учебнике высшей математики. Ниже будет рассмотрено использование метода контурного интегрирования для определения диффузного локального и среднего угловых коэффициентов. [c.145]

Пример 2. Применим метод контурного интегрирования для определения диффузного среднего углового коэффициента Fax-a между двумя параллельными прямоугольниками и Л2, расположенными на расстоянии с (фиг. 3.6). [c.149]

Свойства обратного (по параметру х) преобразования Лапласа, связующего решение нестационарных н стационарных задач, определяются резольвентами задач дифракции. При реализации этой связи методами контурного интегрирования на комплексном многообразии [148, 150] естественно возникает вопрос об особенностях аналитического продолжения резольвенты задачи дифракции с действительной оси. Он рассматривается в рамках спектральной теории решеток, изучающей задачи дифракции при комплексных значениях частотного параметра х [25, 62, 66, 80, 151]. При этом в отличие от традиционных задач дифракции основное внимание уделяется не регулярным точкам х, где соответствующие операторы ограничено обратимы, а дополнительному к ним множеству — спектру, изучению характера особенностей и закономерностей их распределения в комплексном пространстве [152—187]. [c.10]

Замечание. В курсе сопротивления материалов используются геометрические моменты инерции плоских фигур. Эти характеристики можно также вычислить методом контурного интегрирования. Осевые моменты инерции рассчитываются по формулам [c.357]

Метод контурного интегрирования. Его сущность заключается в сведении интегрирования по поверхности к интегрированию по контуру, ограничивающего поверх- [c.135]

Полученный интеграл, если он не выражается через хорошо изученные функции, подвергается дальнейшему преобразованию методами контурного интегрирования, после чего результат интегрируется и находится +(а) =1п 0+(а). Такой способ для решения контактных задач использован, например, в работе [268]. Особенно широко использовал его Л. А. Вайнштейн [111] для решения задач дифракции. [c.44]

В некоторых случаях методами контурного интегрирования последние интегралы удается выразить через табулированные функции. В общем же случае их можно привести к виду [c.45]

Для суммирования соответствующего билинейного разложения, определяющего ядро в (5.12), они использовали методы контурного интегрирования. В результате аналог интегрального уравнения в (5.12) у них оказался состоящим из двух интегральных операторов, одни нз которых с ядром Абеля. Используя затем обратный для интегрального оператора Абеля, они свели названное уравнение к интегральному уравнению Фредгольма второго рода с регулярным ядром. Таким образом, точное решение парного уравнения (5.22) в отличие от (5.20) получить не удается. [c.62]

Н. А. Ростовцев не использовал, как предыдущие авторы, связь между уравнениями (2.40) и (2.41), а остроумно применил методы контурного интегрирования. В другой своей работе [91] этот же автор, напротив, -существенно воспользовался связью между (2.40) и (2.41) для построения собственных функций интегрального оператора (2.40), которые оказались родственными эллипсоидальным функциям Ламе. [c.299]

Подробное изложение общего метода контурного интегрирования для вычисления интегралов типа (5.6) на примере кулоновского потенциала можно найти в книге Зоммерфельда [787]. [c.139]

Однако мы пока ещё не показали, что выражение (23.29) является точным решением задачи, поставленной в начале настоящего параграфа. Прежде чем воспользоваться методом контурного интегрирования для доказательства правильности этой формулы, уместно изменить вид выражения для функции Flu x,t), так чтобы можно было исследовать решение, когда оно будет получено. Приятным упражнением для читателя будет некоторое жонглированием с дельта-функцией, в результате которого получится [c.290]

В этом случае существует возможность перехода в пространство оригиналов с помощью контурного интегрирования и методов теории вычетов [64]. Например, при ve=l/16, Vr=l/4 v = l/2 для m=0(a = l) и 1 (а=3/2). Если /тг=—1, получим [c.268]

Например, автор данной книги предпочитает метод элементарных решений потому, что он сразу же дает общее решение уравнения (10.5), справедливое даже для задач, которые нельзя решить точно ни тем, ни другим методом, в то время как метод Винера — Хопфа приводит к тому же результату только после сложного контурного интегрирования. С другой стороны, некоторые исследователи отдают предпочтение методу Винера — Хопфа, поскольку он определяет L u s) сначала только для мнимых и и = где — переменная, соответствующая х [c.371]

Таким образом, ключевым моментом метода ортогональных функций является нахождение спектральных соотношений для главных частей интегральных операторов смешанных задач. Ряд таких соотношений установлен довольно давно и приведен в монографиях Г. Я. Попова [42,43]. Автор, во-первых, связал получение спектральных соотношений с существованием специального класса полиномиальных ядер (П-ядер), а, во-вторых, использовал для их вывода алгоритмы контурного интегрирования. [c.125]

Метод интеграла Фурье и последующего контурного интегрирования, использованный в 6 для решения задачи о нормальном нагружении участка боковой поверхности цилиндра, может быть с успехом применён и к случаю касательного нагружения. Остановимся на задаче, рассмотренной в 5 с помощью тригонометрических рядов. Краевые условия задаются в виде [c.419]

Обобщение данного метода асимптотического интегрирования на оболочки, для которых следует учитывать переменность метрических коэффициентов, представляет несомненный интерес, но требует, согласно мнению В. В. Болотина (1961, 1962), привлечения аппарата метода ВКБ. В первую очередь должны поддаться анализу оболочки, срединная поверхность которых развертывается на поверхность вращения, а контурные линии совпадают с линиями кривизны. Несомненный академический и практический интерес представляют также оболочки, очерченные по минимальной поверхности, где контурные линии являются асимптотическими линиями срединной поверхности (расчет колебаний турбинных лопаток). [c.250]

Управляемые движения манипулятора определялись путем численного интегрирования уравнений динамики (5.1) при заданных управляющих моментах. В качестве схемы интегрирования был принят метод Рунге-Кутта. Было проведено три серии экспериментов, относящихся к исследованию неадаптивных законов программного управления, описанных в п. 5.1, и адаптивных законов контурного и позиционного управления, предложенных в и. 5.2. В качестве алгоритмов адаптации использовались и моделировались дискретные локально оптимальные конечно-сходя- щиеся алгоритмы, рассмотренные в п. 3.6 и 3.7. [c.144]

Экспериментальное определение критериальной характеристики твердого тела Jj может быть основано на экспериментальном анализе напряженно-деформированного состояния у вершины трещины (например, с помощью метода делительных сеток, малобазных тензо-датчиков, метода муара с использованием деформационной теории пластичности) с последующим интегрированием по выбранному контуру в соответствии с формулой (2.24). При этом используется свойство инвариантности контурного интеграла. Другой метод экспериментального определения Ji предполагает использование диаграммы деформирования образца с трещиной на основе соотношения (2.25). [c.86]

В основу рассматриваемого метода, существенно упрощающего задачу, положен принцип суперпозиции. Ниже рассматривается частный случай — двухсвязная область. На внутреннем контуре 51 при определении контурных условий для функции напряжений постоянные интегрирования принимаются равными нулю. [c.343]

При рассмотрении указанных выше простейших объектов к символическому методу примыкает метод однородных решений. По этому методу решение задачи теории упругости иш ется в форме бесконечной суммы частных решений, удовлетворяюш их однородным краевым условиям на боковых поверхностях (параллельных срединной поверхности), но, вообще говоря, не краевым условиям на контурных поверхностях к этому агрегату решений прибавляется частное решение уравнений теории упругости, удовлетворяющее неоднородные краевые условия на боковых поверхностях. Основные моменты решения задачи заключаются (1) в определении корней трансцендентного характеристического уравнения однородных решений и (2) в установлении процедуры, определяющей произволы интегрирования однородных решений через заданные краевые условия на контурных поверхностях обычно для этой цели пользуются принципом возможных перемещений. [c.262]

В главе 11 книги интерференционное волновое поле поверхностной волны описывается контурным интегралом от специальных функций. Такого рода подход к описанию волновых полей с неизолированными особенностями поля лучей ведет свое начало от работ В. А. Фока, посвященных исследованию волнового поля в области полутени. Контурные интегралы, описывающие поле поверхностной волны, строятся в книге по методу эталонных задач. Подынтегральные функции этих интегралов на контуре интегрирования имеют достаточно резко выраженные максимумы, что значительно облегчает табулирование интегралов на ЭВМ и составление их таблиц. С другой стороны, эти контурные интегралы при выходе точки наблюдения из области наложения большого числа лучей в область, где поле лучей уже регулярно, могут быть вычислены по методу перевала. Формулы, которые при этом получаются, совпадают с формулами лучевого метода. Смыкание контурных интегралов, описывающих интерференционные волновые поля, с формулами лучевого метода выгодно отличает развиваемый в книге метод от метода нормальных волн. [c.18]

Настоящее доказательство при.чожимо только к этому невырожденному случаю. Случай вырожденных корней заключен в рассмотрении устойчивости движения согласно исследованию Вейерштрасса методом контурного интегрирования Вейерштрасса, как это изложено у Уиттекера [28], стр. 220—228. [c.382]

Соотношения (8.64), (8.93), (8.95) для корреляционных функций одномерного и трехмерного волнового поля позволяют довести до конца аналитические вычисления при простых выражениях спектральной плотности пространственных неоднородностей Sv (k). В частности, интегралы по волновому числу, содержащиеся в характеристических уравнениях и выражениях для Ки, при дробнорациональной форме S можно определить методом контурного интегрирования на плоскости комплексного переменного Z (Re Z = k). Однако при произвольном виде спектральной плотности неоднородностей необходима численная методика решения задачи. [c.248]

В 1890 г. Хевисайд разработал ставший знаменитым операционный метод для решения систем обыкновенных линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, встречающихся в теории электрических цепей. Для этого случая Хевисайд дал элементарное обоснование своего метода. Затем он обобщил ) его на дифференциальные уравнения в частных производных электромагнитного поля и теплопроводности и получил целый ряд новых решений, причем этим методом не только удалось найти решения еще нерешенных задач, но и получить решения новых типов, например решения, специально соответствующие большим или малым промежуткам времени. Математическая строгость этих решений оставалась довольно сомнительной, и поэтому появилась настоятельная потребность математически строго обосновать всю теорию. Первый шаг в этом направлении был сделан Бромвичем ) [2], который в своей классической статье получил контурный интеграл с операционным выражением Хевисайда в качестве подынтегральной функции. Далее он доказал, что этот интеграл удовлетворяет дифференциальному уравнению и начальным условиям, а позже оценил интеграл обычными методами контурного интегрирования. Его идеи были в дальнейшем развиты в книге [4] и нашли широкое использование в теории теплопроводности. Подобный метод, в котором также применяется контурный интеграл, был разработан Карслоу [5] (см. также приложение 1), но в его методе подын- [c.292]

Вычисление угловых коэффициентов прямым интегрированием требует двух- или четырехкратного интегрирования, что представляет значительные трудности для большинства конфигураций, кроме самых простых. Интегрирование по поверхности можно заменить интегрированием по контуру в соответствии с теоремой Стокса. Этот способ составляет основу метода контурного интегрирования для определения диффузных угловых коэффициентов. Данный метод был первоначально применен в работе Муна [11] и позднее в работе Муна и Спенсера [12]. В работах Спэрроу [13], а также Спэрроу и Сесса [4] этот метод используется для расчетов диффузных угловых коэффициентов в задачах теплообмена. [c.144]

В качестве иллюстрации применения метода контурного интегрирования рассмотрим примеры расчета величин FdAi-A и рАх-Аг для некоторых простейших конфигураций. [c.148]

Замечание 2. Решение задачи в системе Maple V методом контурного интегрирования приведено в 15.2, с. 355. [c.120]

И. Г. Альперин [6] методами контурного интегрирования преобразовал эту формулу к виду [c.301]

Интехтрал (4.9) вычислим методом контурного интегрирования, замыкая контур дугой бесконечной полуокружности в верхней полуплоскости комплексного переменного /см. рис. 1 5/. 11ри этом интеграл по полуокружности обращается.в нуль в силу леммы Жордана и выражение (4.9) сводится к сумме вычетов подынтех аль-ной функции [И/(К -к )]елр ( Кг) Поскольку оба полюса А лежат на вещественной оси, предположим, что среда обладает бесконечно малым поглощением, т,е. заменим А на [c.25]

Переходные процессы, трепещущее эхо. — Как пример приложения методов контурного интегрирования для расчёта волн в трубах, рассмотрим случай трубы постоянного сечения и длины I, у которой при х = 0 находится поршень, а граница на конце х = 1 обладает чисто активным импедансом. До момента времени = 0 поршень удерживается в покое, после чего внезапно смещается на рассюяние, равное единице. Это смещение вызывает импульс, который распространяется вдоль трубы. Отражаясь от границы с активным сопротивлением, импульс теряет часть своей энергии. Через некоторое время отражённый импульс достигает границы х = 0, где находится неподвижный поршень, вновь отражается обратно в трубу, на этот раз без потери энергии. При каждом отражении от конца х = 1 происходит дальнейшее уменьшение амплитуды. [c.289]

Основные изменения, произведенные в первых двух главах, связаны с более строгим применением бесконечных рядов и интегралов, входящих в решения задач. Главы III—VI мало отличаются от соответствующих глав первого издания. Следующие четыре главы содержат много нового материала. Главы XI и XII совершенно новые. Первая озаглавлена Применение контурных интегралов к решению уравнения теплопроводности". Недавняя работа Бромвича привлекла внимание к символическому методу" Хевисайда. Действительно, все вопросы, разобранные ь этой главе, можно было бы решить с помощью этого метода. Но, чтобы оправдать символический метод, мы должны основываться на контурном интегрировании, и главная разница между методом, развитым и применяемым мною в этой главе, и симво-. , лическим методом заключается в том, что я предпочитаю в каждом случав прибегать к стандартному пути интегрирования на плоскости комплексного переменного, вместо того чтобы пользоваться с1воего рода мдтематической стенографией. [c.4]

Ниже мы кратко изложим метод преобразования Лапласа, приводя формулировку теорем и схемы их доказательств, отвечающие поставленным здесь задачам более полное изложение можно найти в работах, специально посвященных этому предмету [1,8—10]. Как отмечалось выше, решения, полученные методом Бромвича — Джефриза, часто встречаются в литературе, посвященной теплопроводности операционные выражения, используемые ими для V, всегда отличаются множителем р от полученных нами выражений для V, записанных в принятых ниже обозначениях. Метод вывода решений с помощью теории контурного интегрирования одинаков в обоих случаях, и поэтому статьи, в которых использованы одни обозначения, легко читать лицам, привыкшим к другим обозначениям. [c.293]

Более подробные расчеты выполнены Хастье и др. [176] и Ховардом [201], которые использовали контурное интегрирование и метод перевала ). Дальнейшее развитие этих методов, а также сравнение с результатами численного моделирования можно найти в работе Коэна и др. [81 ]. [c.491]

Вычислите приближенно эффективную массу в наинизшей зоне с помощью к-р-метода, учитывая только первый член, н оцените допущенную ошибку, рассматривая второй. [Заметим, что получающиеся суммы можно вычислить с помошью контурного интегрирования (по показанному круговому контуру). [c.260]

A. А. Петров проанализировал [1.60] (1964) колебания по-лубескоиечного стержня, на торце которого заданы нулевой изгибающий момент и линейно возрастающее во времени поперечное отклонение. Начальные условия — нулевые. Задача решается методом преобразования Лапласа и контурного интегрирования. Приведен численный пример, показывающий, что в начальные моменты времени поперечная сила может отличаться на 40% от вычисленнной по классической теории. В работе использованы преобразование Лапласа и метод стационарной фазы. Вынужденные колебания полубесконечной балки исследовал также К. Wilmanski [1.350] (1964). [c.62]

Следуют,ий шаг в решении задачи о вынужденных колебаниях состоит в применении контурного интегрирования мы получим таким методом выражение для реакции струны на импульсную силу, приложенную в момент = 0 в точке х — , вготорую символически можно записать в виде выражения о( ) (2С — ). Интеграл для этого случая можог быть получен из выражения (6,16) [c.131]

Большое количество задач упругодинамического роста трещин было решено численно методом конечных элементов. Как и в случае методов конечных разностей, подходы с применением метода конечных элементов различают по тому, каким образом манипулируют с полями в окрестности вершины треш,ины. Чаще всего для этой цели применяют либо моделирование процесса роста трещины с постепенным уменьшением усилий в соответствующих узлах конечно-элементной сетки, включение подвижного элемента, интерполирующие функции для которого берутся из решений континуальных задач с напряженным состоянием окрестности вершины трещины, или же используют контурный интеграл энергии. После конечно-элементной дискретизации по пространственным переменным необходимо произвести интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений по вре-.мени для узловых переменных. Поскольку динамические поля, соответствующие быстрым процессам роста трещины, содержат большое число высокочастотных составляющих, то для получения высокой точности шаги по времени должны быть небольшими. Было установлено, что вследствие этого естественного ограничения на величину шагов по времени эффективными во многих случаях оказываются условно устойчивые явные схемы интегрирования по времени, использующие процедуру диагона-лизации матрицы масс. [c.121]

В дальнейшем при рассмотрении конкретных задач для интегрирования системы уравнений (19.9) используется метод прямых в совокупности с методом Кутта —Мерсона (с автоматическим выбором шага по времени t). Для перехода от уравнений в частных производных к обыкновенным дифференциальным уравнениям используется разностная схема второго порядка точности. В случае свободного края контурные значения Uq и Wq определяются методом последовательных приближений (в остальных случаях граничные условия выполняются точно). [c.133]

В 1945 г. В. Ф. Фок [23] применил новый метод к решению задачи о дифракции радиоволн вокруг земного шара, заключавшийся в замене медленно сходяШ1егося ряда для функций Ге(рца контурным интегралом в комплексной плоскости, однако иного вида, чем контурный интеграл в методе Ватсона. Контур этого интеграла проходил в первой и второй четвертях. Используя понятие о большом параметре рассматриваемой задачи, выделив главный участок интегрирования и заменив на этом участке функции Ханкеля и Бесселя их асимптотическими выражениями череа вновь введенные функции Эйри, В. А. Фок получил замкнутое выражение для функции ослабления, пригодное для любых удалений от передатчика. Анализ полученного решения показал, что на небольших удалениях от передатчика оно переходило в обычные интерференционные формулы. Наоборот, на больших удалениях решение превращалось в одночленную дифракционную формулу. Впоследствии под руководством В. А. Фока были составлены таблицы-функций Эйри, что позволило применять полученное решение дифракционной задачи для практических расчетов [24 [c.87]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...