Уравнения линейной теории упругости

Приведем замкнутую систему уравнений линейной теории упругости в перемещениях, которая получается после подстановки формул Коши (1.156) в закон Гука (1.181) и подстановки получившегося выражения в систему (1.157) [c.40]

ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ [c.5]

Приведем еще раз комплект уравнений линейной теории упругости в тензорной форме [c.27]

Рассмотренные в учебной литературе [6, 8, 32, 49, 69, 72 и др.] и в отдельных монографиях [15, 27, 33, 83 и др.] точные решения исходных уравнений линейной теории упругости получены лишь для ограниченного класса тел и нагрузок. [c.57]

Система уравнений линейной теории упругости в случае адиабатических процессов [c.398]

Докритическое напряженное состояние системы определяем по уравнениям линейной теории упругости и пренебрегаем изменением начальных размеров системы до потери устойчивости. [c.37]

Для некоторых задач пренебрежение изменением начальных размеров системы или определение изменения размеров по уравнениям линейной теории упругости может привести к погрешностям, существенно большим указанных выше, или даже каче- [c.37]

Начальное невозмущенное состояние равновесия тела описывается уравнениями линейной теории упругости, [c.47]

Заметим, что задачу устойчивости пластин в рассматриваемой постановке, когда начальное напряженно-деформированное состояние описывается уравнениями линейной теории упругости, можно решать, не определяя этого состояния (см. 10). [c.137]

Систему уравнений линейной теории упругости неоднородных тел в общем случае, используя способ обозна- [c.43]

В задачах устойчивости силовых конструкций часто используют дополнительное упрощающее допущение докритическое начальное напряженное состояние системы определяют по уравнениям линейной теории упругости и полностью пренебрегают изменением геометрии тела в начальном состоянии равновесия. Другими словами, используют такую модель до потери устойчивости тело напряжено, но не деформировано. В этом случае в формулах (3.24) следует отбросить подчеркнутые слагаемые, и тогда матрица [SqI (3.25) переходит в матрицу [L ], определяемую выражением (3.5). [c.80]

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ В ПЕРЕМЕЩЕНИЯХ [c.38]

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ В НАПРЯЖЕНИЯХ ДЛЯ ИЗОТРОПНОГО ТЕЛА [c.39]

Система уравнений линейной теории упругости и методы ее решения [c.185]

Запишите системы уравнений линейной теории упругости и термоупругости для статических и динамических задач. [c.189]

Запишите систему уравнений линейной теории упругости для плоского напряженного и плоского деформированного состояний изотропного тела. [c.191]

В силу положительной определенности удельной потенциальной энергии деформации состояние равновесия ненапряженного тела — устойчиво. При достаточно малых значениях параметра нагрузки F напряженно-деформированное состояние упругого тела может быть описано уравнениями линейной теории упругости это состояние равновесия будем называть начальным. В окрестности точки F =-= О начальное состояние равновесия, как нетрудно показать, остается устойчивым, Начальное состояние равновесия нагруженного тела может перестать быть устойчивым только тогда, когда параметр F превысит некоторое критическое значение F p, т. е. при F > F p становятся возможными такие отклонения от начального состояния равновесия, при которых АЭ О.. А поскольку при F а F p начальное состояние остается устойчивым и любые возможные малые отклонения приводят к увеличению полной потенциальной энергии, то естественно так определить критическое значение параметра нагрузки — это нижняя граница тех значений F, при которых возможны малые отклонения системы от начального состояния равновесия, приводящие к АЭ == 0. [c.29]

Данное определение позволяет аналитически сформулировать энергетический критерий устойчивости начального состояния равновесия упругих систем. Наметим в общем виде вывод этого критерия. Пред положим, что начальное состояние равновесия, описываемое уравнениями линейной теории упругости, известно. Рассмотрим смежное с ним состояние, переход к которому задается перемещениями первого порядка малости. Изменение АЭ полной потенциальной энергии при переходе к смежному состоянию подсчитаем с точностью до квадратов этих перемещений. Величину АЭ представим в виде двух слагаемых, одно из которых не зависит от внешних нагрузок, а другое пропорционально параметру нагрузки F [c.29]

Получение замкнутых систем уравнений линейной теории упругости и описание приемов решений составляет содержание [c.11]

УРАВНЕНИЯ ЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ [c.100]

Дифференциальные уравнения линейной теории упругости [c.124]

Замечания. 1. В теореме Кирхгоффа устанавливается свойство уравнений линейной теории упругости. Из нее следует недостаточность этой теории для предсказания явлений сосуществования различных состояний равновесия при одних и тех же условиях нагружения, например, изгиба сжатого продольной силой стержня. В доказательстве было существенным пренебрежение изменений формы тела если его не делать, то для каждого из предположенных состояний равновесия следовало бы записать кинематические краевые условия в виде [c.183]

Повторяя ход доказательства теоремы Кирхгоффа о единственности решения уравнений линейной теории упругости (п. 4.1 гл. IV), рассмотрим интеграл [c.729]

Что касается задач динамики, то сопоставление результатов исследований свободных колебаний полого упругого цилиндра, проведенное на основе уравнений линейной теории упругости и различных теорий толстостенных оболочек [120, 122], показывает, что, когда отношение внутреннего радиуса цилиндра к внешнему радиусу меньше 0,5, то только точная теория дает полную характеристику распределения напряжений. В связи с этим предъявляются повышенные требования к методам динамического расчета прочности, устойчивости и напряженно-деформированного состояния толстостенных конструкций цилиндрической формы. [c.153]

Уравнения равновесия, силовые граничные условия и геометрические соотношения, а также соответствующие им уравнения связи между масштабами в теории малых упругопластических деформаций совпадают с аналогичными уравнениями линейной теории упругости ( 5.1) и в данном разделе не рассматриваются. [c.91]

В предыдущем разделе были получены критерии статического подобия механических явлений на основе уравнений линейной теории упругости и геометрически линейной теории пластичности в предположении малости удлинений, сдвигов и поворотов элементарного объема деформируемого тела. Эти ограничения обычно используют при расчетах напряженно-деформированного состояния конструкций. [c.96]

В главе последовательно выводятся все уравнения линейной теории упругих тонких оболочек на основе единого подхода, свя-ванного с пренебрежением слагаемыми порядка A/J o по сравнению с единицей, что соответствует (как было установлено в работах 1122,123]) погрешности исходных допущений — гипотез Кирхгофа (см. введение, допущения kw kk). При этом замечено, что геометрическое допущение (k) нуждается в некотором уточнении, а именно следует пренебрегать сдвигами е , не вообще (что в соответствии с законом Гука привело бы к пренебрежению перерезывающими силами Гщ, Tgn), а лишь при вычислении деформаций параллельной поверхности. [c.15]

ОПРЕДЕЛЯЮЩИЕ УРАВНЕНИЯ ЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ УПРУГИХ ОБОЛОЧЕК [c.46]

Мы начали с сингулярного решения для уравнений линейной теории упругости, — решения Фламана для сосредоточенной силы, приложенной перпендикулярно к поверхности упругой полуплоскости < 0. [c.49]

В предыдущей главе было показано, как частное сингулярное решение уравнения линейной теории упругости можно использовать при построении метода граничных элементов, позволяющего находить численное решение более сложных задач. Этот вариант метода граничных элементов очень прост и вместе с тем очень ограничен, поскольку он применим лишь к узкому классу задач. [c.52]

Относительно самих решений следует указать на один их общий недостаток. Деформации в пластической зоне являются очень большими, порядка 100% для мягкой стали. Таким образом, здесь можно воспользоваться теорией пластичности больших деформаций и вращений, либо же учесть изменения геометрии, выписав граничные условия на деформированной границе. Можно также оперировать уравнениями линейной теории упругости совместно с уравнениями теории малых пластических деформаций, что приводит к игнорированию нелинейно-геометрического характера задачи. [c.23]

Система уравнений теории упругости. Запишем уравнения линейной теории упругости. [c.240]

Предположим теперь, что мы имеем дело не с трубой, а со сплошным цилиндром. Формулы (9.2.1) и (9.2.2) можно применить и к этому случаю, на оси цилиндра при Xi=X2 = 0 напряжения оказываются бесконечно большими. Таким образом, мы получили некоторое сингулярное решение теории упругости. Бесконечно большие напряжения в теле, конечно, невозможны. На самом деле, если напряжения достаточно велики, уравнения линейной теории упругости утрачивают силу. Формулы (9.2.2) имеют смысл тогда, когда г> с, с — некоторая определенная величина. При г < с нужно строить решения, основываясь на истинных нелинейных зависимостях. Линия, на которой напряжения, вычисленные с помощью линейной теории, обращаются в бесконечность, называется линией дислокации, вектор Ь— вектором Бюргерса (рис. 9.2.1). Область г с с, непосредственно примыкающая к линии дислокации, называется ядром дислокации. Теория упругости не дает возможности судить о том, что происходит внутри ядра дислокации. Винтовая дислокация характеризуется тем, что ее линия — прямая и вектор Бюргерса направлен по линии дослокации. [c.282]

Здесь г ) — непрерывная функция, удовлетворяющая уравнению Пуассона. Задача состоит в определении вектора и смещения в неограниченнол упругом теле таким образом, чтобы при обходе по любому контуру, окруягающе-му трубку дислокации, этот вектор получал приращение, равное постоянному вектору Бюргерса Ъ. Трубкой дислокации мы будем называть тор(>-идальную полость, окружающую замкнутую линию дислокации Г и такую, что вне этой полости кристалл может считаться хорошим. В переводе на язык механики сплошной среды это значит, что путь обхода не должен приближаться к линии Г настолько, чтобы уравнения линейной теории упругости потеряли силу. [c.457]

Излагаемая теория основана на решении, удовлетворяющем уравнениям линейной теории упругости и внутренне непротиворечивом, т. е. удовлетворяющем всем внешним краевым условиям и условиям непрерывности на поверхностях раздела. Будет показана взаимосвязь между результатами настоящей работы и другими определяющими соотношениями для слоистых композитов, соответствующими более частным классам материалов. Особенно важно доказательство того, что определяющие уравнения классической теории слоистых материалов, разработанной Ставски [22] и Донгом с соавторами [5], а также уравнения, предложенные Чау с соавторами [4] и Хорошуном [10], после исправления некоторых мелких ошибок в работе [10] непосредственно следуют из представленных здесь общих результатов при частном виде нагрузки и условиях симметрии, принятых в указанных выше работах. Наконец, приведем данные, подтверждающие справедливость определяемого нами поля напряжений всюду вне узких областей пограничного слоя, изложив содержание работы Пайпса и Пагано [17], в которой рассматриваются возмущения типа пограничного слоя вблизи свободного края. [c.39]

Анализ интенсивностей напряжений (по Ирвину Ki = = EGIn) показывает, что разрушение наступит в момент достижения критического распределения напряжений, которое устанавливается уравнениями линейной теории упругости. Введенное Ирвином понятие критического коэффициента интенсивности напряжений (Kid Кпс Km ) является в настоящее время одним из критериев сопротивления металлических материалов хрупкому разрушению. В зависимости от формы и размеров тела и трещины, а также от способа нагружения тела этот коэффициент имеет различные значения. При этом рещение целого ряда краевых задач, которые представляют собой самостоятельную область теории упругости, сводится к определению коэффициента интенсивности напряжений. [c.25]

Поскольку уравнение (3.12) описьтает некорректную задачу, при ее решении важное значение имеет априорная информация об искомой вектор-функции Pk(x). В рассматгиваемых задачах такая информация имеется. Так как напряженно-деформированное состояние тела описывается системой дифференциальных уравнений линейной теории упругости, то, как известно, напряжения (деформации) в объеме тела, в том числе и на поверхности L (сечение), должны быть функциями, принадлежащими классу С , т . функциями, непрерывными вместе со своими первыми и вторыми производными. Соответственно вектор напряжений Рк х) -= °ki x)nj(p ) при достаточно гладком разрезе, обеспечивающем rij(x) [c.69]

Возможен случай, когда механическая система является системой с распределенными пара,метрами. К тако.му случаю относятся задачи о деформировании упругих тел магнитным полем. Эти задачи могут быть нелинейными, даже если упругие перемещения малы и справедливы уравнения линейной теории упругости. Нелинейность при этом обусловливается зависимостью пондеромоторных сил от перемещений. К указанному классу относятся два типа задач- о равновесии ферромагнитных тел, расположенных на расстояниях, сравнимых с малыми упругими перемещениями, и о равновесии близко расположенных проводящих стержней с токами. Постановка этих задач и некоторые результаты их исследования приведены в работе [16]. Математически аналогичная задача о равновесии электростатически заряженных капель рассмотрена в работе [181. [c.340]

ДИФФЕРЕВДИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ В НАПРЯЖЕНИЯХ 39 [c.39]

Замкнутая система уравнений линейной теории упругости. Для решения динамических задач термоупругости имеем 22 уравнения. В том числе три уравнения движения (V.18), шесть уравнений связи деформаций с перемещениями (11.49), шесть уравнений состояния (VIII.20), три уравнения связи скоростей и перемеш,е-ний (1.111), три уравнения связи ускорений и скоростей (1.135), [c.185]

Ниже рассматриваются основные уравнения линейной теории упругости [138], которые будут иеоднок]1атно использованы в работе как основа для вывода двумерных уравнений деформации эластомерных и армирующих слоев многослойных конструкций. [c.31]

Таким образом, удельная скорость диссипации энергии при вязком течении представляет собой прлржИтельно определенную квадратичную форму. Сравнивая (5,23) с уравнениями линейной теории упругости [25, 36], приходим к выводу о существовании упруговязкой аналогии Деформациям в теории упругости соответствуют скорости деформации в теорий вязкого течения, коэффициенту jx соответствует модуль сдвига, а коэффициенту v—модуль объемной Деформации. Этот факт позволяет перенести в теорию вязкого течения многие результаты теории упругости. Однако необходимо помнить, что эти результаты могут касаться только / теории краевых задач вязкого течения, возникающих при применении метода прямых разложений (см. п. 2.1). [c.130]

В работах В. М. Александрова, Н. X. Арутюняна [10] и В. 1У1. Александрова, Е. В. Коваленко [15] рассматривается относительно тонкий слой льда, лежащий на гидравлическом, стержневом или двухслойном упругом основаниях. Двухслойный пакет представляет собой упругий слой, покрытый стержневым слоем. Физико-механические свойства льда описываются уравнениями нелинейной теории ползучести со степенной связью между интенсивностью девиатора скоростей деформаций и интенсивностью девиатора напряжений. Коэффициент Пуассона для льда принимается постоянной величиной. Исследуется процесс квазистатического нагружения нормальными усилиями поверхности слоя льда или квазистатического вдавливания в поверхность жесткого штампа. При этом гидравлическое основание описывается соотношением основания Фусса-Винклера, а стержневое и двухслойное — уравнениями линейной теории упругости. Рассматриваемые плоские контактные задачи сведены к нелинейным уравнениям, которые содержат интегральные операторы по координате и дифференциальные по времени. Найдены асимптотические решения этих уравнений для относительно малого и большого времени. [c.464]

Решение задачи теории упругости о прямолинейной щели в растягиваемой плоскости обладает следующей особенностью при любой сколь угодно малой, но конечной растягивающей нагрузке ро контур прямолинейной щели деформируется в эллиптическую полость, а напряжения на концах трещины при этом оказываются бесконечно большими. Подобные сингулярности, вообще говоря, присущи решениям уравнений линейной теории упругости в случаях, когда краевые геометрические или силовые условия имеют особенности. В качестве примера можно указать поведение решений линейной теории упругости в задачах о вдавливании штампов с угловыми границами при действии сосредоточенных сил, при наличии угловых надрезов на границе тела и т. д. В задаче Колосова-Инглиса подобная особенность имеет место на концах щели, где радиус кривизны равен нулю, а кривизна — бесконечности. [c.378]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...