Возмущение малое

Допустим, что консервативная механическая система, состоящая из п материальных точек и имеющая одну степень свободы, находится в некотором положении в устойчивом равновесии. Исследуем, какое движение будет совершать эта система, если ее вывести из равновесия малым возмущением. Условимся опять определять положение системы обобщенной координатой q, выбранной так, что при равновесии равновесие устойчиво, а возмущения малы, то координата q и обобщенная скорость q будут во все время движения тоже оставаться величинами малыми. Для составления дифференциального уравнения движения системы воспользуемся уравнением Лагранжа, которое, если выразить обобщенную силу Q через потенциальную энергию системы,П [(см. 143, формулы (115)], примет вид [c.389]

Возмущения, распространяющиеся в теле при его нагружении, характеризуются величиной интенсивности. Могут быть возмущения большой интенсивности (большой амплитуды) и возмущения малой интенсивности (малой амплитуды), которым соответствуют определен- [c.9]

Смешанные способы возбуждения возмущений. В тех случаях, когда требуется получить и сохранить возмущения малой амплитуды, используются электрические и электронные способы возбуждения. В этих способах для приведения в действие преобразователя, превращающего электрическую энергию возбуждающего тока в механическую энергию волны напряжений в теле, используется переменный ток, частота волн при этом лежит между 20 кГц и 50 мГц. С помощью соответствующих контуров можно получать или непрерывный ряд волн, или импульсы, состоящие из коротких серий волн высокой частоты, повторяющихся регулярно с низкой частотой. Для этого используются преобразователи, принцип действия которых основан на магнитострикционном или пьезоэлектрическом эффектах. Материалами для пьезоэлектрических преобразователей кроме кристаллов кварца служат искусственные ферроэлектрические кристаллы (в частности, титанат бария в виде поликристаллической керамики), имеющие по сравнению с естественными кристаллами большую чувствительность и меньшее сопротивление. Однако температура Кюри искусственных кристаллов сравнительно низка (при нагревании выше этой температуры пьезоэлектрические свойства пропадают). Материалами для магнитострикционных преобразователей служат ферромагнитные элементы и сплавы. Максимальные деформации в обоих случаях определяются механическими свойствами материала тела. Для возбуждения слабых импульсов напряжений используют искровой способ, предложенный Кауфманом и Ревером [52]. Преимущество этого способа состоит в том, что искра действует как точечный источник, тогда как пьезоэлектрический преобразователь, благодаря дифракции, дает сложную волновую картину. [c.17]

Предположения относительно механического поведения среды сводятся к тому, что вблизи поверхности полости вынужденное движение среды вызывает большие пластические деформации, развивающиеся в относительно короткое время. На достаточно большом расстоянии это движение вызывает лишь упругие или вязкие возмущения малой амплитуды, средние значения скоростей деформаций во всех областях деформации за время образования полости, вплоть до конца первой стадии расширения, оказываются небольшими, влияние упрочнения и скорости деформаций учитывается динамической диаграммой Ог-Эе/ или диаграммой Тг у , полученной пересчетом с помощью зависимостей [c.88]

Если профиль тонкий и вносимые им возмущения малы, то это уравнение можно упростить, сведя его к линейному уравнению с постоянными коэффициентами при вторых частных производных [c.171]

Исследуем устойчивость стационарных состояний системы. В случае состояния покоя системы 2 = 0-[-11, и тогда уравнение для возмущений (малых вариаций) в первом приближении имеет вид [c.207]

Если жидкость считать идеальной и трубопровод недеформи-руемым, то процесс колебания давления в трубе будет бесконечным. Хотя сами возмущения малы, изменения давления в трубопроводе могут быть настолько велики, что трубы иногда сильно деформируются и даже разрушаются. В действительности из-за наличия вязкости и деформируемости трубопровода давление будет затухать. [c.124]

Кроме того, будем считать, что составляющие амплитуды возмущений малы и не зависят друг от друга, т. е. каждая гармоника может рассматриваться отдельно. Составим потенциал скорости возмущенного движения (для п-й гармоники) по обе стороны от поверхности раздела, предполагая при этом, что возмущение по мере удаления от поверхности раздела должно уменьшаться [c.50]

Распространение возмущений малых в упругих телах 397 [c.565]

Таким образом, устойчивость заведомо доказана поэтому, если начальное возмущение мало, линейная аппроксимация дает достаточно хорошее приближение к движению (по крайней мере, для не слишком большого промежутка времени). [c.170]

Доказанная выше теорема является точной. Однако она оказывается особенно полезной в тех случаях, когда возмущение мало, т. е. когда К содержит малый параметр [j, и требуется лишь приближенное решение для малых значений л. Именно в этом случае представление о непрерывном изменении исходного движения является особенно важным. [c.507]

Фундаментальная идея, лежащая в основе теории возмущений, состоит в следующем начиная с момента и до = 2 движение полной системы (включающей возмущение) мало отличается от невозмущенного движения, при условии, что мы начинаем рассматривать два движения в одной и той же точке пространства QTP и берем интервал <2 — ti достаточно малым. Предположим, что невозмущенное движение известно влияние возмущения в течение такого конечного интервала можно найти приближенными методами ). [c.387]

В случае параметрических возмущений малой величины полученное перемещение, например, по координате х, можно представить в виде [c.117]

Значение коэфициента [j. зависит от соотношения между частотами ш и /. Если частота возмущения мала по сравнению с частотой /, то (X будет незначительно отличаться or единицы и Р-1 от Р . Следовательно, применение прокладки в этом случае не изменит амплитуды колебаний фундамента и окажется бесполезным. При изменении величины / и постоянном значении <о в пределах, когда шзначение коэфициента динамичности будет возрастать, и устройство прокладки станет вредным, так как амплитуды колебаний фундамента будут больше, чем без прокладки. Особенно неблагоприятное действие окажет прокладка при ш = /. Следовательно, если собственная частота колебаний машины, установленной на вибрационной прокладке, больше частот возмущающей силы, то применение прокладки бесполезно или вредно. [c.541]

Точное аналитическое решение нелинейных задач теплопроводности обычно возможно лишь при определенных сочетаниях зависимостей теплофизических характеристик материала тела от температуры [7, 21]. Оно получается путем подстановок или функциональных преобразований уравнений (см. 2.1), и его целесообразно использовать как контрольное для оценки погрешности, которая получается при том или ином способе линеаризации. Для приближенного аналитического решения нелинейных дифференциальных уравнений разработаны методы последовательных приближений (простой итерации или усреднения функциональных поправок), возмущений (малого параметра), различные асимптотические методы [10]. [c.44]

Как известно, скоростью звука называется скорость распространения в среде малых возмущений (малыми называются такие возмущения среды, в которых местное изменение давления среды в точке возмущения, т. е. амплитуда давления, пренебрежимо мало по сравнению с общим давлением). [c.273]

Пока возмущения малы, это соотношение эквивалентно [c.522]

Сдвиг KS уровня энергии атома под действием магн. ноля в первом приближении теории возмущений малый параметр теории — магн. поле Н, направленное вдоль оси z) [c.612]

Если в равномерном потоке газа точка А (рис. 1.58) является источником малых возмущений (малых изменений плотности и давления), то эти возмущения в виде слабой волны распространяются в потоке. В зависимости от скорости потока фронты волн возмущения могут занимать одно из положений, показанных на рис. 1.58. В дозвуковом течении (рис. 1.58, а) фронты волн возмущения представляют собой окружности радиусом г = ах, смещаемые вниз по течению на расстояние их, где X — время с момента возникновения возмущения. [c.69]

Хорошо известные классические работы по устойчивости поверхности раздела двух жидкостей разной плотности в поле силы тяжести (неустойчивость Рэлея-Тэйлора при расположении тяжелой жидкости над легкой), рассматривавшие задачу в линейном приближении, пополнились позднее работами, посвященными эволюции возмущений на нелинейной стадии. Так, показано ), что при задании на поверхности жидкости первоначально синусоидальных возмущений малой амплитуды обращенные вниз выпуклости поверхности превращаются в растущие со все большей скоростью пальцы , вверх же всплывают пузыри , достигая постепенно постоянной скорости подъема. Развитие подобного вида структур исследовано также в случаях, когда поверхность возмущена в двух направлениях и образующиеся периодические структуры являются трехмерными. [c.205]

Для решения нелинейных стохастических задач наибольшее распространение получили методы классической теории нелинейных колебаний в сочетании с осреднением по статистическому ансамблю. Этот принцип положен в основу методов статистической линеаризации, возмущений (малого параметра), медленно меняющихся амплитуд и др. [c.33]

Увеличение турбулентности набегающего потока приводит к исчезновению пузыря отрыва. Можно думать, что описанное явление всегда сопровождает кризис сопротивления, если влияние внешних Возмущений мало. [c.542]

Однако в некоторых случаях удобно и даже предпочтительнее описывать распространение волн с помощью линейной суперпозиции невозмущенных нормальных мод, особенно в случае, когда возмущение мало (т. е. Де е). При этом амплитуды мод >1, и теперь не являются постоянными, поскольку и при наличии возмущения Де в общем случае не являются нормальными модами. Тем не менее полное поле можно представить в виде [c.115]

Запишем линейные уравнения движения изотропного упру гого тела с учетом взаимодействия температурного поля и поля деформаций. Полагаем, что массовые силы и ис очники тепла отсутствуют, а термические возмущения малы. Тогда уравнения движения имеют вид [52] [c.24]

Следует заметить, что проведенный здесь анализ основан на использовании соотношения закона Гука v" — - М /которое справедливо только при малых прогибах. Поэтому С С /, т.е. возмущения малы. Если взять точное выражение для кривизны (8.6.2), то вместо уравнения (12.2.3) мы придем к нелинейному дифференциальному уравнению [c.379]

Для конструкций из материала с ограниченной ползучестью (модели упруговязкие и упруговязкопластические, модели наследственного типа с учетом старения), для которых правомерна постановка вопроса об устойчивости на бесконечном интервале времени, получено значительное число результатов, как в направлении разработки общей теории и методов решения задач, так и по отдельным конкретным задачам. В предположении, что об устойчивости можно судить, полагая возмущения малыми, уравнения возмущенного дви- [c.249]

Если возмущение мало, то можно ожидать, что возмущенная энергия будет иметь вид Е = Е а волновые функции [c.78]

Данный подход Бесселя обсуждался во второй половине XIX века в связи с вопросами теории движения комет. К нему не раз обращался и известный русский астроном Ф.А. Бредихин, который указывал на основные существовавшие тогда гипотезы, объяснявшие возмущения в движении комет сопротивлением среды (Ньютон, Эйлер, Лаплас) и реактивным действием истекающего из комет вещества (Бессель). Бредихин отмечал наличие влияния реакции истечения кометного вещества на элементы ее орбиты, но полагал эти возмущения малыми и не выделяемыми из других возмущений. [c.40]

Дальше начинает работать описанная выше схема исследования стохастического движения системы (10.42), возмущенной малым белым шумом [c.320]

Эти формулы представляют равномерное течение со скоростью с, на которое наложено движение, периодическое относительно х. Мы предполагаем, что ка и к суть величины малые, другими словами, амплитуда возмущения мала сравнительно с длиной волны. [c.469]

Пожалуй, наиболее характерным свойством системы уравнений (35.1) — (35.4) является конечная скорость распространения волн давления. Для пояснения этого факта воспользуемся следующими соображениями. Рассмотрим течение, полученное возмущением состояния покоя v = О, р — р , р = Рд, 5 = 5q, и предположим, что амплитуда этого возмущения мала. Если при этом пренебречь квадратами малых величин, то уравнения (35.1) и (35.2) примут следующий вид [c.102]

Из дальнейшего рассмотрения имеет смысл исключить сильно связанные электроны внутренних атомных оболочек, которые заполняют низколежащие энергетичеекие зоны. Так, например, в кристалле натрия имеется 11 электронов на атом. В изолированном атоме натрия эти электроны образуют конфигурацию [15 2з 2р ] Зз. Десять внутренних электронов образуют в атоме натрия замкнутые оболочки, и можно ожидать, что в твердом теле они образуют узкие зоны (возмущение мало при образовании кристалла из изолированных атомов), заполняя первые пять зон в к-пространстве. Единственный внещний электрон, приходящийся на атом, обеспечит половинное заполнение следующей зоны Бриллюэна. Следовательно, кристалл натрия должен быть металлом. [c.82]

IV.2. Вращение волчка вокруг своих главных осей. В случае несимметричного волчка (см. рис. 46а, б) вращение вокруг главных осей, соответствующих наибольшему или наименьшему моментам инерции, является устойчивым, а вращение вокруг оси, соответствующей среднему главному моменту, — неустойчивым. Для аналитического доказательства этого предложения нужно исходить из уравнений Эйлера и принять угловую скорость вращения вокруг оси, равной р = onst = ро- Угловые скорости вращения q и г вокруг остальных двух главных осей инерции, которые вначале равны нулю, под влиянием внешнего возмущения принимают отличные от нуля значения. Если предположить, что возмущение мало, то из первого уравнения Эйлера следует, что р в первом приближении остается неизменным и равным р + 0. Из остальных двух уравнений получаем для q и г систему двух линейных дифференциальных уравнений первого порядка. Полагая q = и г = где а иЬ произвольные константы, получаем квадратное уравнение для Л, из рассмотрения которого и вытекает высказанное нами выше утверждение. [c.326]

При передаче усилия через натянутую нить кольцо оказывается в условиях, совершенно аналогичных условиям равновесия карандаша, стоящего на 75. незаточенном конце. Если кольцу сообщить малое отклонение от круговой формы, то нагрузка изменится таким образом, что кольцо восстановит эту форму. Вместе с тем, е сли кольцу сообщить возмущение малое, но большее некоторой наперед заданной величины, то произойдет переход к новой форме равновесия (рис. 75). [c.119]

К такому же результату приводит критерий несовершенств (см. 18.2, раздел 10). Принимая, например, в качестве возмущения малый эксцентриситет ер приложения силы Р (рис. 18.63,а), запишем уравнение равновесия системы в пред-полонгении малости угла наклона стержня [c.399]

По поводу этого уравнения авторы работы делают следующее заключение Полученное нами уравнение является одномерным обобщенным уравнением Фоккера—Планка в случае переменных структурных чисел Оно справедливо, если время корреляции т ор много меньше постоянных времени системы и если не учитывать интервалы времени порядка времени корреляции, другими словами, если можно считать случайную функцию х (i) марковским случайным процессом. Вывод уравнения, приведенный здесь, интересен тем, что в нем не используется понятие процесса Маркова. Общепринятый аппарат процессов Маркова заменен аппаратом обобщенных корреляционных функций, позволяющим проводить исследования в общем случае, переходящем при определенных условиях в случай процессов Маркова. Оценка членов уравнения (3.51) для s > 3 произведена Р. Л. Стратоно-вичем в работе [81 ], где показано, что если время корреляции процесса внешних возмущений мало по сравнению с временем переходного процесса в системе, то можно использовать обычное уравнение ФПК, параметры которого зависят от интегральных характеристик корреляционных функций внешних возмущений, так как при t > т ор важными являются не корреляционные функции, а их интегральные характеристики. [c.164]

ЛИНЁЙНЫЕ СИСТЕМЫ — и тe ш, процессы в к-рых удовлетворяют суперпозиции принципу и описываются линейными ур-ниями. Л. с. обычно является идеализацией реальной системы. Упрощения могут относиться как к параметрам, характеризующим систему, так и к процессам (движениям) в ней. Напр., в случае заряж. частицы в потенциальной яме система линейна, когда яма параболическая, а движение нере-лятивистское, т. е. когда масса частицы не зависит от её скорости. К Л. с. относятся все виды сплошных сред (газ, жидкость, твёрдое тело, плазма) при распространении в них волновых возмущений малой амплитуды, когда параметры, характеризующие эти среды (плотность, упругость, проводимость, диэлект-рич. и магн. проницаемости и т. д.), можно считать постоянными, в том или ином приближении не зависящими от интенсивности волн. Упрощение системы, приводящее её к Л. с., называется линеаризацией. [c.585]

Квантовомеханическое рассмотрение вопроса приводит к представлению о возникновении в кристалле полос (зон) разрешенных значений энергии, разделенных запрещенными зонами. Качественно этот эффект можно понять так. Электрон в атоме имеет дискретные уровни энергии. При добавлении второго атома в результате взаимодействия электронов — возмущения — каждый уровень расщепляется на два близко расположенных, поскольку возмущение мало. Добавление каждого нового атома приводит к появлению дополнительного энергетического уровня (и одновременно к некоторому изменению уже существующих). Этот процесс изображен на рис. 7, из которого видно, что в пределе возникает полоса (зона) дозволенных уровней энергии. Полное число уровней в зоне равно очевидно, числу атомов в кристалле. Поскольку это число велико (/ 10 з для одного грамм-атома), зону можно считать квазине-прерывной. Если исходные уровни были расположены далеко один от другого (например, 2s [c.25]

В работе [533] та же схема продолжения сравнивается с методом Ньютона — Рафсона и методом возмущений (малого параметра), на примере больших изгибов балки. Нелинейная система алгебраических уравнений построена методом Рэлея — Ритца. Подробно исследовано влияние шага по параметру нагрузки. Маркол [455] сравнивает две неявные схемы продол- [c.194]

В то же время, множество процессов, происходяшдх в телах, подвер-женньюс действию начальных напряжений, можно рассматривать в рамках линеаризованной теории наложения малых деформаций (динамических возмущений) на конечные деформации (начальное статическое состояние) в предположении, что возмущения малы. Такой подход позволяет существенно упростить нелинейную проблему, за счет линеаризации нелинейных уравнений в окрестности статического состояния, и построить в той или иной мере по след овательну ю линеаризованную теорию динамических процессов в предварительно напряженном теле. От по следовательно сти [c.5]

Если считать нрозкции вектора скорости поля возмущений малыми и пренебрегать квадратичными членами инерции этого поля, то получим следующие дифференциальные уравнения ди I ди , ди I ди [c.390]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...