Теория Кирхгофа

Согласно теории Кирхгофа / (а) = (1 + os а) А, т. е. коэффициент наклона обращается в нуль не при а == я/2, как предполагал Френель, а лишь при а = я. Следовательно, приходим к парадоксальному выводу, что Френель получил правильный, подтвержденный опытами результат при неверном допущении. Это противоречие объясняется неточностью метода Френеля. [c.126]

Сравнивая формулы (г) и (д) с аналогичными для свободно опертой прямоугольной пластинки, нагруженной равномерно распределенной нагрузкой, рассчитанной по теории Кирхгофа (см. [55] и задачу 5.1), можно установить, что различие состоит лишь в величине прогибов и опорных реакций. Поправка для прогибов пропорциональна h la и весьма мала для тонких пластинок. Поправка на опорные реакции составляет для квадратной пластинки ajb = ) 23%. [c.210]

Оа—напряжения в заделанной цилиндрической оболочке по теории Кирхгофа — Лява. [c.324]

Рассмотрим лишь поперечные колебания пластинок в рамках теории Кирхгофа, представляющие наибольший практический интерес. [c.116]

В табл. 7.2 приняты следующие обозначения Оа —напряжения, подсчитанные по формулам настоящей задачи а —напряжения в заделанной цилиндрической оболочке по теории Кирхгофа—Лява. [c.234]

Толстые оболочки рассчитываются как трехмерное упругое тело. Возникающие при этом трудности заставляют применять теорию Кирхгофа —Лява при значительно большей относительной [c.205]

Ранее при решении подобных задач использовались уравнения классической теории Кирхгофа — Лява. В предлагаемой работе напряженно-деформированное состояние слоев оболочки описывается уточненными уравнениями теории типа Тимошенко, учитывающими податливость материала слоев сдвиговым EIG и нормальным EIE деформациям. [c.309]

Еще одна возможность, обеспечиваемая конечными элементами, заключается в моделировании некоторых связей. Мы имеем в виду пластину со сквозной трещиной, подвергаемой изгибу. В этом случае трещина стремится раскрыться на растянутой стороне пластины и благодаря симметрии сомкнуться на стороне сжатия. Если не вводить некоторых ограничений, то материал на стороне сжатия сольется с взаимным проникновением, и дальнейший расчет будет уже продолжаться на этой основе. Эта проблема была затронута в недавних работах, в одном случае использовали теорию Кирхгофа [42], в другом — теорию Рейсснера — Миндлина [43]. Поскольку метод конечных элемен- [c.347]

Докажите теорему Кирхгофа о единственности решения задачи теории упругости, изложенной в 1.1. [c.73]

В контактных задачах теории пластин и оболочек уже нетривиальным является вопрос выбора теории, влияющей на конечный результат. Если, например, определяется нормальная реакция между пластиной и жестким телом без острых кромок с позиции теории Кирхгофа, то в составе реакции могут появляться сосредоточенные силы, расположенные по границе зоны контакта. Та же задача, но решаемая на основе теории, учитывающей поперечные сдвиги и не учитывающей поперечное обжатие, не приводит к появлению сосредоточенных сил на границе зоны контакта. Однако нормальная реакция не обращается в.нуль на границе зоны контакта, а может достигать там наибольшего значения. Учет поперечного обжатия пластины позволяет получить решение, обращающееся в нуль на границе зоны контакта. Если область контакта допустимо заменить линией, то теория Кирхгофа может привести к неограниченным реакциям на концах линии. [c.3]

В разд. 4.3 дай вариант классических уравнений теории Кирхгофа. [c.184]

В рамках теории Кирхгофа вводятся гипотезы [c.187]

Математически это означает, что к системе уравнений теории упругости добавляется три новых уравнения (4.4). Система становится переопределенной, и поэтому нужно отбросить также три уравнения. Отбрасываются соотношения закона Гука для деформаций (4.4). Кроме этого, в теории Кирхгофа считается, что соотношения закона Гука (4.3) для е и ty не содержат слагаемого voj. Это допущение нельзя считать принципиальным, так как оно не вносит новых уравнений в исходную систему теории упругости. Итак, [c.187]

При рассмотрении задачи, изображенной на рис. 4.5, теория С. А. Амбарцумяна приводит к уравнению второго порядка для касательной реакции, йто позволяет получить вполне определенное-решение для касательной реакции q. Иными словами, теория С. А. Амбарцумяна оказывается в данном типе задач более гибкой по сравнению с теорией Кирхгофа или Рейсснера. Однако обратить в нуль касательные реакции на границе д =0 и x=L она не позволяет. Чтобы это сделать, нужно иметь не второй, а четвертый порядок уравнения. В более поздней работе С. А. Амбарцумяна [4J учитывается эффект поперечного обжатия, однако она также приводит к уравнению второго порядка для реакции q в задаче рис, 4.5. Действительно, первая формула (4.18) [4, с. 886] для тангенциальных перемещений ш содержит в правой части касательные усилия на поверхности пластины X и X (но не содержит производных" от этих усилий). Это и приводит к уравнению второго порядка для реакции. (Уравнение (4.56) содержит четвертый порядок, так как в формулу (4.52) для деформации кроме первой входит еще третья производная от реакции q). [c.205]

Основной особенностью полученного выше решения задачи является концентрация реакции на концах зоны контакта, где, вообще говоря, в составе реакции появляются сосредоточенные силы, а распределенная реакция, определяемая в общем случае соотношением (5.2), не обязательно обращается в нуль на концах зоны контакта. Все это является следствием использования теории пластин, построенной на гипотезах Кирхгофа, и иногда трактуется как серьезный порок теории в данном классе задач. С другой стороны, теория Кирхгофа является простейшей и ее применение весьма заманчиво.- Достоинство и недостатки этой теории могут быть оцене- ны лишь в сравнении с уточненными теориями или с решениями идентичных контактных задач на основе уравнений теории упругости. Это будет сделано в следующих разделах на примере рассмотренной выше простейшей задачи. Сейчас же только отметим, что считать пороком теории Кирхгофа тот лишь факт, что она приводит к странным поведениям в реакциях, еще недостаточно. Действительно, в ряде случа ев реакцию следует рассматривать как промежуточный математический объект, используемый при определении напряжений и перемещений. [c.215]

Если пластина весьма тонкая-, так что параметр м->оо, то соотношение (5.16) переходит в соответствующее соотношение (5.5), полученное на основе теории Кирхгофа, а соответствующее перемещение штампа будет равно [c.219]

Найденное решение в отличие от. решения, полученного по теории Кирхгофа, не имеет в составе реакции сосредоточенных сил из-за отсутствия скачка в поперечной силе на концах зоны контакта. [c.219]

Рассмотрим изгибные напряжения Ох в зоне контакта и сравним Их с напряжениями а °, полученными по теории Кирхгофа при той же самой агрузке, приложенной к штампу. Именно сравнение продольных нормальных напряжений позволит ответить на вопрос [c.219]

Таким образом, на конце зоны контакта =р продольные напряжения в точности совпадают с соответствующими напряжениями, подсчитанными по теории Кирхгофа, а в центре зоны контакта при 1=0 справедлива оценка [c.221]

Так как по теории Кирхгофа Р =1/(1— Р) (см. формулу (5.5)), то первый из рассмотренных случаев соответствует области АВ на рис. 5.5, в которой контакт имеет место как в решении по теории Кирхгофа, так и по теории, учитывающей сдвиг. Второй случай записан для области ВС на рис. 5.6, в которой по теории Кирхгофа контакта не будет, а по теории, учитывающей поперечный сдвиг,— будет. [c.221]

Рис. 5.7. Изменение параметра напряжений a = ai/a (5.18) по ширине зоны контакта — решение разд. 5,2 по теории Кирхгофа, а — решение разд. 5.3)

Учет поперечного обжатия в задаче, поставленной в разд. 5.2, можно сделать как в рамках уточненной теории разд. 4.5, так и в рамках теории Кирхгофа, как это указано в разд. 4.4. Ввиду того, что задача носит иллюстративный характер, рассмотрим второй путь. Иными словами, учтем только поперечное обжатие и не будем учитывать поперечный сдвиг. [c.223]

Таким образом, формула (5.34) справедлива для участка на рис. 5.6. Если допустить, что сплошная кривая на рис. 5.6 построена по результатам данного раздела на основе уравнений теории упругости, то участок ВС в этом решении также принадлежит зоне контакта. В решении же по теории Кирхгофа этот участок находится вне зоны контакта и напряжения на поверхности пластины, соседней с зоной контакта, будут уже определяться по формуле (рис. 5.2) [c.230]

В рамках данного раздела величину зоны контакта в решении по теории Кирхгофа будем обозначать через Pi, а по теории упругости через р.. Таким образом, формула (5.34) справедлива для координат КРь формула же (5.35) при >Pi. При g =Pi обе формулы совпадают, так как в рамках теории Кирхгофа на основании [c.230]

Для малых зон контакта, когда P d (см. рис. 5.6) в решении по теории Кирхгофа контакт происходит в точке, тогда выражение (5.35) следует использовать для всех точек пластины. [c.230]

В теории Кирхгофа фактор, определяющий зависимость амплитуды от угла ф, вычисляется из общих положений теории, причем он оказывается равным (1 + со5ф)/2>,, т. е. обращается в нуль лишь при ф = 180°, а не при ф = 90°, как предполагал Френель. То обстоятельство, что Френель получил правильный результат при неправильном допущении, объясняется неточностью его метода вычисления. Однако и теория Кирхгофа не свободна от некоторых математических и физических допущений. В частности, и в методе [c.170]

В рамках этого уравнения построена теория Кирхгофа дифракции и интерференции света, которая блестяще подтверждается громадным экспериментальным материалом. Это уравнение описывает правильно также и другие гармонические волны, например акустические, гидродинамические и т.д. Поэтому напрашивается вывод, что оно является универсальным уравнением для описания гармонических волн любой природы. Отметим, что при его выводе частота гармонических волн предполагалась постоянной (ю = onst). Это будет использовано при обсуждении возможного вида уравнения для описания движения частиц с отличной от нуля массой покоя (см. 10, 16). [c.41]

Перейдя к новым типам образцов, мы исследовали изгиб пластин со сквозными трещинами, используя теорию Кирхгофа [42], а позднее — теорию Миндлина — Рейсснера [43]. Цель заключалась в том, чтобы сравнить два случая первый, когда на стороне сжатия не допускалось смыкание материала, и второй, когда оно допускалось (т. е. материал смыкался). Любопытное наблюдение сделали Джонс и Хеминг. Оказалось, что их результаты при отсутствии смыкания очень близки, а при смыкании радикально отличаются от наших. [c.337]

Первой темой будет теория пластин типа Тимошенко—Минд-лина, в которой распределение перемещений по толщине принимается в виде (17.78). Теория пластин Тимошенко—Миндлина представляет интерес потому, что в этой теории в отличие от теории Кирхгофа для формулировки конечно-элементных моделей, основанных на принципах минимума потенциальной энергии, достаточно только непрерывности (С -гладкости) базисных функций (см. уравнение (17.83)). [c.416]

В разд. 4.4 в рамках теории Кирхгофа применительно к напряжениям выводится закон из1ленеиня смещений по толщине пластины путем интегрирования соотношений закона Гука. Таким путем может быть учтен эффект поперечного сдвига и обжатия, который весьма важен прн решении контактных задач. Подобный способ учета поперечного обжатия известен в литературе. Он использован [c.184]

Пренебрежение в рамказд теории Кирхгофа деформациями по- перечного обжатия и сдвига, т. е. введение гипотез (4.4), наложило отпечаток на вид обобщенных соотношений закона Гука (4.8), [c.189]

Известно, что теория типа С. П. Тимошенко, как и теория Кирхгофа в контактных задачах приводит к формальным противоречиям при определении реакций, хотя в ряде случаев и верно отражает напряженное состояние [15]. Эти противоречия связаны с искажением действительного характера изменения, реакций вблизи краевых участков зон контакта. То же относится и к варианту П. Нагди [24]. Для устранения указанных противоречий желательна модификация теории. Применительно к расчету клеевых соединений такая модификация дана Ю. П. Артюхиным [5] в 1975 г. в предположении, что клеевой слой не сопротивляется изгибу и растяжению. [c.192]

По существу предложенный выше вариант и нужен для того, чтобы можно было выполнить эти важные условия при решении контактных задач. Как легко можно убедиться, при формулировке даже простейших контактных задач ни классическая теория Э. Рейсснера, ни вариант П. Нагди не позволяют этого сделать. -При решении же обычных задач для тонких пластин с заданными поверхностными усилиями все модификации теории пластин в большинстве случаев приводят к близким результатам, включая и теорию Кирхгофа. Иными словами, тот или иной вариант теории желательно выбирать в зависимости от класса рассматриваемых задач. [c.198]

Осесимметричный контакт сферических оболочек. Контакт оболочки с жестким шаром, радиус которого немного отличается от радиуса оболочки, рассмотрен в работе П. А. Лукаша, Н. М. Леонтьева [45] (1959) на основе теории Кирхгофа—Лява. Эта же задача решена В. А. Бондаренко [17], В. М. Толкачевым 169] опять-таки с помощью теории Кирхгофа—Лява. В статье [17] использован метод расчлеиеиня оболочки по границе зоны контакта с последующей стыковкой решений. В работе [69] задача сведена к решению интегрального уравнения для нормальной реакции. В этой же статье рассмотрен еще контакт двух оболочек. Контактная реакция в этом случае представляет собой погонные усилия, приложенные по кругу, внутри которого оболочки не касаются друг друга. Эта задача изучалась также в статье Ц. Десильва и П. Тзая [74]. Авторы строят решение для нормальной реакции которое априори обращается в нуль на границе зоны контакта. Физически это разумно, но математически некорректно [69], так как в рамках теории Кирхгофа—Лява не удается получить решение для нормальной реакции, обращающееся в нуль на границе зоны контакта. [c.211]

В заключение коротко остановимся на математической стороне теории кон-, тактных задач. Все конкретные рассмотренные задачи относятся к классу одномерных. Их можно свести либо к решению. обыкновенных дифференциальных уравнений (кроме случая упругого невйнклеровского основания), либо к интегральным уравнениям. Если в основу полагается теория Кирхгофа—Лява и обо- лочка (или пластина) контактирует, с жестким телом, то получается интегральное уравнение первого рода, решение которого будет некорректным. Учет эффекта поперечного обжатия приводит к интегральному уравнению второго рода, и задача становится корректной. Учет поперечного сдвига также может привести к интегральному уравнению второго рода. Так как одну и ту же задачу можно сформулировать в виде дифференциальных и интегральных уравнений, естественно ожидать наличия связи между этими уравнениями. Выяснению этой связи, в частности, посвящены работы Ю. П. Артюхина [6] и Г. Я. Попова [61]. В статье [61] дано решение интегральных уравнений для контактных задач. [c.212]

На рис. 5.6 показано изменение параметра внешней нагрузки P z=PlRl2D в зависимости от величины зоны контакта р. Пунктиром представлено решение, основанное на теории Кирхгофа. Отличие в решениях наблюдается лишь в области малых и достаточно больших зон контакта. В теории, учитывающей деформации поперечного сдвига, отличная от нуля зона контакта появляется сразу, в то время как при использовании классической теории пластины отличная от нуля зона контакта появляется лишь тогда, тогда параметр нагрузки Р >1. Если Р 1, то контакт осуществляется в точке. Если пластина достаточно тонкая, например ljh> Q, то соответствующие решения для Р будут расположены между сплошной и пунктирной кривой на рис. 5.6, т. е. будут ближе к классическому решению. [c.219]

Рис. 5.6. Зависимость между величиной зоны контакта =bli и безразмерной силой P — PIRI2D, приложенной к штампу (сплошной линией представлено решение с учетом поперечного сдвига, штриховой — по теории Кирхгофа)

При вычислении изгибающего момента Мх°, соответствующего решению по теории Кирхгофа, 11ужно отдельно рассмотреть случай" когда контакт пластины и штампа реализуется в точке, и случай Р >1, когда величина зоны контакта отлична от нуля. В первом случае [c.220]

На рис. 5.8 показано как изменяется минимальное значение параметра в зависимости от величины зоны контакта. Это ветвь ABD-, участок АВ соответствует случаю Р <1, когда в решении, построенном по теории Кирхгофа, контакт пластины и штампа осуществляется в точке. Это минимальное значение будет иметь место в центре зоны контакта s=0- На том же рис. 5.8 показана кривая для значения координаты /р, в которой имеет место соответствующее минимальное значение Для участка АВ соответствующий участок кривой /р совпадает с участком Aafii оси абсцисс. Участку BD кривой для случая Р > 1 соответствует участок BiDi на кривой /р. На рис. 5.8 дано также значение пара-.метра а в центре зоны контакта для зон контакта, в которых Р >1. Это участок ВС. Из рис. 5.8 видно, что даже для достаточно-толстой пластины (ljh=lO) расхождение в продольных напряжениях, найденных по теории Кирхгофа и теории, учитывающей деформации поперечного сдвига, незначительное. Оно возрастает с увеличением зоны контакта. [c.222]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...