Сходимость рядов

Требование сходимости рядов в соотношениях (2. 3. 22), (2. 3. 23) приводит к следующим условиям для коэффициентов разложения [c.27]

На основе полученных численных оценок можно установить радиусы сходимости ряда (6. 8. 77) по параметрам 8 и X [1011 [c.288]

При сравнении математического и физического способов получения спектра произвольной периодической функции возникает следующая интересная проблема хорошо известно, что разложение функции E(t) можно проводить не в ряд Фурье, а каким-нибудь другим способом с использованием более сложных функций. С точки зрения математика эти два разложения эквивалентны, если в обоих случаях выполнены соответствующие условия сходимости рядов. Физик же всегда оказывает явное предпочтение разложению по гармоническим составляющим, исходя из его физической целесообразности. [c.69]

Если ряд (с1), сходится при достаточно малых по абсолютным величинам значениях р, то ряд (Ь) также сходится на некотором интервале действительных значений С. Определить радиус сходимости ряда вида (Ь) можно на основании теории аналитических функций. Следует заметить, что коэффициенты ряда (Ь) — периодические функции переменных с периодом 2п. [c.222]

Ограничения па произвольность определения постоянных интегрирования, входящих в состав функций х Ч налагаются условиями сходимости рядов (11.336), хотя вообще для определения этих постоянных можно применить иные способы. [c.334]

После нахождения всех х). следует исследовать сходимость рядов (II.336). Выражения (11.336)—ряды с членами, расположенными по возрастающим степеням постоянных интегрирования а.,. Применяя известный из теории интегрирования дифференциальных уравнений метод Коши, можно доказать, что ряды (11.336) абсолютно сходятся для всех значений I, лежащих между /о и Т, каким бы большим Т не было, если 5 не превышают некоторого отличающегося от нуля предела, зависящего от Т ). Но существование такой сходимости еще не обозначает наличия [c.334]

В теории дифференциальных уравнении доказывается сходимость рядов, расположенных по степеням параметров, определяемых начальными условиями. Сходимость эта, вообще говоря, не является равномерной относительно независимой переменной (в механике — времени), т. е. радиус сходимости степенного ряда убывает с ростом интервала, в котором рассматривается изменение независимого переменного. Если известно заранее, что искомое решение является периодическим и тем самым интервал изменения независимой переменной фиксируется величиной периода, то, согласно сказанному, всегда может быть указано такое достаточно малое значение параметра, чтобы ряд, представляющий решение, был равномерно сходящимся относительно независимой переменной. [c.505]

Решение (76) 99 в форме бесконечного ряда, относящееся к случаю произвольной периодической силы, не всегда удобно, так как ряд Фурье для возмущающей силы Q[t) может сходиться медленно. Например, если функция Q t) имеет разрывы первого рода, то коэффициенты ее ряда Фурье а , Ьп убывают не быстрее чем при наличии разрывов первого рода у производной <5(/) сходимость ряда будет порядка п . Хотя сходи- [c.538]

Однако, учитывая равномерную сходимость ряда (6.75) [c.212]

Аналогичным образом, из сходимости ряда (2.31 ) будет следовать уравнение [c.45]

Из сходимости ряда (2.20) можно сделать выводы, аналогичные полученным в 2 гл. I. Поскольку каждое выражение, заключенное в скобках, стремится к нулю, то предельная функция ф, (<7) = lim (р (<7) будет являться собственной функцией со- [c.565]

В случае, если сходимость рядов (2.20), (2.21) и их модификаций недостаточна, представляется уместным усилить сходимость, воспользовавшись известными приемами (см. 2 гл. I). [c.566]

Свойства симметрии (12.38) и (12.39), доказанные выше только в области сходимости ряда (12.32), после аналитического продолжения функции ф будут выполняться во всей области 2) определения гармонической функции ф, причем область 2) получится симметричной относительно плоскости = 0. [c.175]

Внутри сферы радиуса сходимости ряда (12.32) на плоскости = о функция ф обращается в нуль. Однако это не означает, что ф = о во всех точках плоскости = 0. Если возможно аналитическое продолжение функции ф, то при достаточно больших 5, ц на плоскости = 0 могут появиться части плоскости = о, на которых ф =/= 0 при подходе к этой части плоскости = о с разных сторон значения ф будут отличаться знаком. Область 3) может быть многолистной, на плоскости С = 0 могут появиться особые точки и т. п. [c.175]

После разрешения системы уравнений (9.11) при любых N вопрос о получении таким путем в пределе при ТУ оо точного решения связан не только с полнотой системы функций но и со сходимостью ряда (9.9). [c.393]

Для получения таким путем точных решений при N оо математические вопросы о сходимости ряда (9.15) и законности его подстановки в (9.14), а также разрешимости бесконечной системы уравнений (9.16) имеют суш ественное значение. [c.397]

Для обоснования построенного решения следует доказать сходимость рядов (1.7), (1.8), а такн е линейную независимость системы функций г/ (i) при сформулированных выше предположениях. [c.133]

Сходимость рядов в правой части (3.23) означает с учетом (3.12),. что при М оо справедливо представление [c.188]

Собственные значения Х краевой задачи (1.13) удовлетворяют при больших п асимптотическому равенству (см., например, [275], стр. 14) кп = п О (1/к). Отсюда вытекает сходимость рядА [c.241]

Ho эта величина имеет конечное значение, так как функция / Р) суммируема в области Q. Сходимость ряда (22.14.6), таким образом, доказана. [c.448]

Сходимость. В этом параграфе мы докажем сходимость рядов функций I/ft (f = 1, 2,. . ., т), и, V ло степеням т) для достаточно малых значений , rj (. Рассуждения будем вести для случая гамильтоновой системы, когда м + ь> = 0. Воспользуемся обозначениями 30.2 (Xi = — Х.2) пусть — коэффициент при в разложении функции полученном путем замены j/j, у2, , Уп соответствующими рядами по степеням т). Сравнение коэффициентов при в формулах (30.2.18) — (30.2.20) приводит к следующим соотношениям [c.609]

Остается установить сходимость рядов U и Z в окрестности точки (g, ri) = (О, 0). Вследствие неотрицательности всех коэффициентов достаточно доказать сходимость рядов лишь для частного случая = т]. Если положить 5 = т], то левая часть (30.5.11) примет вид 2 17 + Z обозначим [c.610]

Для более точного расчета по уравнению (10.28) требуется сохранить многие члены разложеьшя в окрестности а для обеспечения сходимости ряда. [c.444]

Заметим, что сходимость ряда (IV.56) обеспечивает также и сходимость ряда (1У.58), причем этот последний ряд можно почленно ди(1)ференцировать по t. Таким образом, скорость движения точки М б щет также представлена сходящимся тригонометрическим рядом. [c.351]

Следовательно, многомерная поверхность р = р(С, фг) будет вамкнутой. Это заключение вытекает из равенства (Ь) и из условия о сходимости ряда (Ь) на некотором интервале значений действительной пер емеиной С. [c.222]

Сходимость ряда (Ь), а также сходимость рядов (II. 166Ь) и [c.222]

Итак, предположим, что начало координат лелсит на поверхности, определенной уравнением (j). Уравнение (j) не налагает каких-либо ограничений на полярный радиус р. Следовательно, поверхность, определенная уравнением (j), может быть замкнутой и незамкнутой. При условии (j) нельзя обратить ряд (d) радиус сходимости ряда (li) при этом равен нулю, а функция V не будет знакоопределенной и даже может не быть знакопостоянной. Знак V в точках, лежащих на поверхности (j) достаточно близко от начала координат, зависит от знака Уз- Следовательно, в малой окрестности начала координат функция V может иметь как положительное, так и отрицательное значение. [c.223]

Чтобы обеспечить сходимость ряда (2.26), необходимо члены ряда располагать так, чтобы его положительная и отрицательная части почти компенсировали друг друга. В нашем примере такая процедура приводит для Na l к Л = 1,748. [c.73]

Укажем на одно свойство, имеющее непосредственное отно-щение к вопросам сходимости рядов Фурье. Пусть функция /(0) непрерывна, причем / (0)=/(2л), и имеет непрерывные производные вплоть до порядка V— 1, а производная порядка V удовлетворяет условиям Дирихле. Тогда для коэффициентов ряда Фурье являются справедливыми следующие оценки [c.12]

Это операторное тождество вполне эквивалентно известному ряду Неймана для резольвенты. В теории интегральных уравнений доказывается сходимость ряда Неймана для любых ограниченных ядер К. Здесь мы заметим, не приводя доказательства, что ряд Неймана сходится, если итерированные ядра становятся ограни-ченпыми, начиная с некоторого номера. В частности, если ядро имеет особенность вида (i —т) , 0<а<1, то ряд Неймана сходится. [c.578]

Предыдущие интегралы имеют смысл только при условии, что предел интеграла (5) или анадогичного интеграла (5 ) является определенным. При этом нет необходимости указывать общий признак, позволяющий определить во всяком случае, на основании поведения функции f в особой точке, существует или не существует этот предел, т. е. несобственный интеграл. Достаточно, как и для сходимости рядов, иметь признаки, приложимые к различным частным случаям. [c.73]

Здесь V и v — целые числа, положительные, отрицательные или нули, а коэффициенты С зависят от шести параметров я, а, е, е, i, i. Во многих приложениях достаточно бывает нескольких членов, чтобы получить высокую точность приближения. Тем не менее некоторые теоретические вопросы, лапример вопрос о сходимости рядов, остаются пока нерешенными. [c.512]

Кроме того, шаг за шагом можно доказать, что р,., так что ряд R мажорирует ряд Q и сходимость первого из этих рядов влечет за собой сходимость второго. Если же сходится ряд Q, то сходится ряд -Р, а отсюда в свою очередь следует сходимость рядов Z ж U. [c.611]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...