Уравнение фундаментальное

Рис. 6.27. Уравнение фундаментальных контуров

Уравнение фундаментальных контуров представлено на рис. 6.27. Каждая строчка в этом уравнении, умноженная на столбец напряжений, представляет собой уравнение по второму закону Кирхгофа для одного контура ТС. В свернутом виде уравнения, составленные по второму закону Кирхгофа, представляются как [c.240]

И значение Ri, указанное в табл. 2, то получим Лф = 2,268. Сказанное выше иллюстрирует тот хорошо известный факт, что при расчетах термодинамических свойств по обобщенным уравнениям фундаментальные характеристики вещества (Pi, Ri, Лф) лучше находить непосредственно по экспериментальным данным, а не по эмпирическим корреляциям. [c.33]

Рассмотренная в общем случае для обобщенных волновых уравнений фундаментальная задача Коши (3.78)-(3.79) с точки зрения физики представляет собой задачу об определении двухточечной функции Грина (пропагатора) для волнового поля, в случае распространения в пространстве плоских волн, созданного мгновенным источником, равномерно распределенным по плоскости д = О. Отсутствие явной зависимости от двух из трех пространственных координат формально сводит эту задачу к пространственно одномерной. В этом смысле мы будем называть эту задачу одномерной, а соответствующее ей решение - одномерной функцией Грина (пропагатором) для соответствующего обобщенного волнового уравнения. Имея в виду в дальнейшем рассмотрение аналогичных задач для цилиндрически- и сферически- симметричных случаев, введем для обозначения этих функций обозначения N = 1,2,3 - математическая размерность задачи, а (.) - определяет положения точки в пространстве соответствующей размерности в подходящей системе координат (для плоской волны - это декартова координата л ). В этих обозначениях, с учетом (3.87), (3.88), функции Грина для всех рассматриваемых вариантов обобщенных волновых уравнений в случае рассмотрения плоских волн [c.162]

ЛОРЕНЦА — МАКСВЕЛЛА УРАВНЕНИЯ (Лоренца уравнения), фундаментальные ур-ния классич. электродинамики, определяющие микроскопич. эл.-магн. поля, создаваемые отдельными заряж. ч-цами. Л.— М- у. лежат в основе электронной теории (микроскопич. электродинамики), построенной X. А. Лоренцем в кон. [c.351]

МАКСВЕЛЛА УРАВНЕНИЯ, фундаментальные ур-ния классич. макроскопич. электродинамики, описывающие эл.-магн. явления в любой среде (и в вакууме). Сформулированы в 60-х гг. 19 в. Дж. Максвеллом на основе обобщения эмпирич. законов электрич. и магн. явлений и развития идеи англ. учёного М. Фарадея о том, что вз-ствия между электрически заряж. телами осуществляются посредством эл.-магн. поля. Совр. форма М. у. дана нем. физиком Г. Герцем и англ. физиком О. Хевисайдом. [c.389]

Пусть в сечении х в мо.мент (режим определяется точкой с координатами АЛ , и на диаграмме АЛ ([c.347]

Данная монография является третьей книгой из задуманного цикла монографий, посвященных изложению фундаментальных вопросов современной теории процессов переноса в тех физикохимических системах, где осуществляются основные процессы химической технологии. В первой из них была рассмотрена теория процессов переноса в системах жидкость—жидкость [1], во второй [2] — теория процессов переноса в системах жидкость— твердое тело. Данная монография посвящена систематическому изложению теоретических вопросов гидродинамики и массообмена в газожидкостных системах. В книге на основе фундаментальных уравнений гидродинамики рассмотрено движение одиночного пузырька газа в жидкости, вопросы взаимодействия движущихся пузырьков (в том числе их коалесценция и дробление), пленочное течение жидкости. Эти результаты использованы при построении моделей течений в газожидкостных систе.мах. [c.3]

В рамках феноменологического подхода для нахождения закономерностей изменения неизвестных наблюдаемых величин в пространстве и во времени используются общие физические законы (такие, например, как законы сохранения, постулаты термодинамики и др.) в сочетании с соотношениями между наблюдаемыми величинами, вид которых получен в результате обработки экспериментальных данных. Основу феноменологического подхода для описания гидродинамики систем газ—жидкость составляют законы классической гидромеханики, которая строго описывает движение каждой фазы (см. разд. 1.3). Однако применение строгих результатов, полученных из фундаментальных соотношений гидромеханики (таких, как уравнение Навье—Стокса), к расчету газожидкостных течений является практически невыполнимой задачей, за исключением ряда простых примеров, рассмотренных во второй и третьей главах книги. [c.184]

В предыдущем разделе на базе уравнений двухжидкостной модели были определены гидродинамические характеристики расслоенного течения жидкости и условия стабильности данного режима течения при распространении возмущений в системе. В ряде случаев, когда допущения, принятые в разд. 5.3 при выводе уравнений расслоенного течения, теряют свою правомерность, необходим более строгий теоретический анализ, основанный на фундаментальных уравнениях гидромеханики. Такой метод, как было указано в разд. 5.1, получил название модели сплошной среды. В данном разделе в рамках этой модели будут даны постановка и решение задачи о распространении возмущений в газожидкостной системе и о стабильности межфазной поверхности при расслоенном течении в горизонтальном канале [67]. [c.203]

В отличие от табличного метода, для которого фундаментальное дерево графа эквивалентной схемы выбиралось из условия минимальной насыщенности М-матрицы, в методе переменных состояния используется нормальное дерево графа (рис. 3.11) —фундаментальное дерево, в которое ветви включаются согласно следующему приоритету типа Е, типа С, типа R, типа L и типа I. Использование такого дерева позволяет упростить процедуру получения системы уравнений в нормальной форме Коши. [c.141]

Возможность расчета с помощью фундаментального уравнения всех термодинамических свойств гомогенной системы заложена в самом способе его вывода. Действительно, все упоминавшиеся ранее термодинамические силы являются частными производными функции и(5, V, п) по сопряженным с ними независимым переменным — термодинамическим координатам. Если ввести общее обозначение для термодинамических сил Z=(7 , —X, 111) и для термодинамических координат q=(5, v, n), то правая часть (9.1) приобретает вид, напоминающий выражение для работы (5.7) или (5.13) [c.76]

Используя рассмотренные правила преобразования переменных, можно выразить любой из аргументов функции S U, V, п) как функцию остальных величин и S. Каждая из образованных таким образом функций V U, S, v, n), n,(U, S, V, n ) и другие также будет характеристической. Задача заключается, однако, в том, чтобы иметь характеристические функции удобные для применения. Так, функции S(U, V, п) и U S, V, п) не удобны для практического использования из-за того, что их независимые переменные нельзя непосредственно контролировать экспериментально, т. е. нельзя измерить их или поддерживать значения соответствующих величин в интересующем процессе на заданном уровне. Прежде всего это касается, конечно, переменных U н S, но отмеченные трудности возникают и с другими экстенсивными переменными. Поэтому на основе фундаментальных уравнений (7.3), (9.1) в термодинамике получают другие вспомогательные характеристические функции с более удобными наборами аргументов. [c.80]

Поскольку слагаемое ц-dn входит в каждое из фундаментальных уравнений (9.30) —(9.33), пользуясь этими уравнениями можно расширить определение и наряду с (7.4), (7.19) и [c.83]

Нетрудно показать, что (9.53) также имеет свойства обычного фундаментального уравнения, если вместо экстенсивных величин использовать соответствующие плотности. Так, из [c.86]

Фундаментальные уравнения (9.53), (9.68), (9,71) в отличие от (9.25) — (9.33) относятся не к гомогенной системе, а к фазе, характеризующей состояние вещества в такой системе. Свойства же фазы не должны зависеть от экстенсивных переменных (см. 3). [c.87]

Другая удобная и часто применяемая форма представления фундаментальных уравнений для фазы связана с мольными функциями. Из определения мольных величин следует, что [c.87]

При известной характеристической функции все свойства однородной системы, зависящие от аргументов этой функции, должны выражаться в явном виде через нее и ее частные производные. Большинство необходимых для этого соотношений вытекают из фундаментальных уравнений и уже рассмотрено в предшествующем 9. Например, если известна энергия Гиббса системы, то ее объем находится с помощью (9.56), энтропия— с помощью (9.55), химические потенциалы веществ — [c.89]

Подстановка 5 из (10.14) и V из (10.7) в (9.32) дает фундаментальное уравнение идеального газа [c.90]

Этот результат не является выражением особенностей рассмотренной системы (идеального газа), он следует из законов термодинамики. Для расчета всех овойств системы, как было показано, достаточно знать одно (фундаментальное) соотношение между ними, поэтому уравнения состояния не могут быть независимыми. Связь между ними выводится наиболее естественно- при помощи уравнений Гиббса—Гельмгольца, так называют соотношения между двумя любыми термодинамическими потенциалами, которые различаются друг от друга только одной независимой переменной, т. е. получаются один из другого при однократном преобразовании Лежандра [c.93]

При постоянном химическом составе уравнение Гиббса—Дюгема (9.43) переходит в фундаментальное уравнение для энергии Гиббса (9.33), так как в этом случае n-dfi. = d(n-fJ.)=d<7 и /i-dn = 0. Это показывает, что методы изучения фаз постоянного состава можно считать частным вариантом методов, применяемых в термодинамике растворов. [c.95]

Принцип равновесия термодинамических систем (11.1) можно сформулировать аналогично (11.10), связав его с внутренней энергией системы. Если-рассматривается гомогенная система, то такой переход эквивалентен преобразованию фундаментального уравнения (7.2) в (7.3), так как для этого случая (11.1), очевидно, получается из (7.2). Но критерий (11.1) применим к любым, в том числе и к гетерогенным, системам, поэтому [c.106]

Для внешней среды справедливо фундаментальное уравнение [c.107]

Сравнение (11.10) и (11.13) показывает, что используемый в механике принцип неотрицательности работы виртуальных изменений состояния системы применим и к термодинамическим системам, если использовать соответствующие дополнительные условия. Выяснить эти условия несложно, они отвечают, очевидно, постоянству переменных естественного набора аргументов любой характеристической функции, так как возможность изменения какого-либо из аргументов означала бы возможность изменения и самой характеристической функции, что противоречит постулату о равновесии. Поэтому каждой характеристической функции должен соответствовать свой критерий равновесия. Но было бы неправильно основывать выводы критериев равновесия на соответствующих фундаментальных уравнениях, хотя бы потому, что фундаментальные уравнения записывались для фазы, в то время как критерии равновесия применяют для любых, в том числе и для гетерогенных, систем. В дополнение к сказанному ранее покажем это на примере критерия равновесия, выраженного через изменение энергии Гельмгольца. Фундаментальное уравнение для этой функции имеет вид (9.31) [c.108]

Однако в (11.22) указаны не все использованные при его выводе условия согласно (11.21) система имеет интенсивные свойства Т, X, ц, т. е. запись фундаментального уравнения [c.109]

В современной теории дифференциальных уравнений фундаментальные решения рассматриваются как линейные непрерывные функционалы, определенные на некотором множестве основных функций и удовлетворяюш.ие неоднородному дифференциальному уравнению с правой частью, равной функции Дирака. Такая точка зрения позволяет применить к рассматриваемому уравнению преобразование Фурье и привести построение преобразования Фурье от фундаментального решения к алгебраической задаче (к решению системы алгебраических уравнений), которая в случае дифференциальных операторов с постоянными коэффициентами разрешима всегда (см. Hormander [1]) после этого обратное преобразование Фурье восстанавливает искомое фундаментальное решение. [c.83]

Более тонкое, но в той же степени фундаментальное требование инвариантности уравнений состояния состоит в том, что они должны оставаться неизд1ененными при изменении системы отсчета, даже зависящей от времени системы отсчета. Это можно либо принять как постулат, либо признать интуитивно. Хороший пример интуитивного принятия этого принципа объективности поведения материала указан Трусделлом и Ноллом [1] [c.58]

Применяемый способ выбора системы независимых контуров и сечений основан на построении фундаментального дерева в графе схемы. Используется полюсный граф, повторяющий структуру эквивалентной схемы. Фундаментальное дерево связного графа есть связный подграф, включающий р—1 ребро и не имеющий циклов. Ребра, вошедшие в дерево, образуют множрхтво ветвей дерева (ВД), а остальные ребра — множество ветвей, называемых хордами (ВХ). Контуром k-Pi хорды называют подмножество ребер графа (ветвей схемы), входящих в замкнутый контур, образуемый при подключении k-Pi хорды к дереву. Сечения образуются следующим образом отделим часть вершин графа от остальных с помощью замкнутой линии сечения, проведя ее так, чтобы ни одно ребро не пересекалось более одного раза и при этом пересекалась одна и только одна ветвь дерева. Следовательно, каждому сечению соответствует определенная ветвь дерева. На рис. 4.10, а для примера приведена некоторая схема, а на рис. 4.10, б —ее граф с выделенным жирными линиями фундаментальным деревом. Штрихом показаны линии сечения. Уравнения токов Кирхгофа для сечений ветвей дерева и напряжений Кирхгофа для контуров хорд образуют систему независимых топологических уравнений [c.179]

Этап 1. Нахождение сингулярного решения. В МГЭ нспользуется то обстоятельство, что для большинства уравнений в часпгых производных существуют сингулярные (фундаментальные) решения, отвечаюш,ие единичным возмущаюш им воздействиям в неограниченной области. Для рассматриваемой задачи сингулярное решение записывается в виде [c.62]

Для расчета термодинамических свойств, не (входящих непосредственно в фундаментальное уравнение, используют условие равенства вторых смешанных производных (4.10) и некоторые другие математические соотношения и методы. Так, очень часто возникает потребность перейти от одного набора независимых переменных к другому. Для этой цели удобно применять метод функциональных определителей Якоби. Пусть, например, требуется заменить переменные хи.. .,Хп на новые леременные уи...,уп. Это означает, что каждая из у (i = = 1,...,л) может рассматриваться как функция старых переменных yi = yi(xi,..., Хп), причем все у,- должны быть независимыми между собой. Дифференцирование функции у,- дает систему п линейных относительно dxj (/= ,...,л) уравнений [c.77]

Существование уравнений состояния позволяет считать, что в гомогенных системах частные производные входящих в фундаментальные уравнения термодинамических сил по координатам ((3Zi7 <7/)q отличны от нуля и наряду с другими термодинамическими свойствами являются однозначными функциями состояния фазы. Более определенно этот вывод следует из анализа устойчивости термодинамического равновесия ( 12). Поэтому матрица коэффициентов системы уравнений (9.49) [c.85]

Таким образом, выражение полного дифференциала любой характеристической функции является фундаментальным уравнением, содержащим в себе все сведения о термодинамических свойствах фазы или гомогенной системы. Эти уравнения различаются между собой наборами независимых переменных,, но могут быть преобразованы одно в другое по стандартным правилам. Набор независимых переменных в фундаментальном уравнении имеет обязательно по одной переменной интенсивной или экстенсивной, соответствующей каждому из контактов системы с окружением, так как этому условию удовле [c.88]

Эквивалентность всех фундаментальных уравнений видна из того, что в каждом из них участвует 2d+ величина (d=> = с + К+ независимых переменных, d сопряженных им величин и сама вспомогательная характеристическая функция), причем во всех термодинамичеоких потенциалах 2d величин [c.89]

Бместо одного фундаментального уравнения для решения той же задачи, расчета термодинамических сил и (Координат системы достаточно знать d любых независимых соотношений между ними, например уравнений состояния. Так, закрытая система, содержащая п молей идеального одноатомного газа, имеет термическое уравнение состояния (3.17) [c.90]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...