Уравнении линейного приближения

Линейные дифференциальные уравнения (14) (или (15)) называются уравнениями линейного приближения. Они приближенно описывают движения, происходящие в малой окрестности положения равновесия. Уравнения линейного приближения (14) сами по себе не определяют размеров области, в пределах которой точные нелинейные уравнения (10) могут быть заменены этими [c.214]

Вернемся к уравнениям линейного приближения (15). Из теории дифференциальных уравнений известно, что решение системы уравнений (15) имеет вид [c.215]

Консервативная система. В случае консервативной системы Q = 0, поэтому все b u = % = Q и уравнения линейного приближения (15) сводятся к виду [c.215]

Суждение об асимптотической устойчивости по линейному приближению. Вернемся к уравнениям линейного приближения (15). Из того факта, что решения системы уравнений линейного приближения (15) имеют вид [c.219]

Устойчивость равновесия консервативной системы. Потенциальные ямы и барьеры. Рассмотрим теперь условия устойчивости равновесия консервативной системы. Критерии устойчивости, приведенные выше, непригодны для этой цели. Дело в том, что у характеристического уравнения линейного приближения для консервативной системы все корни чисто мнимые ) и асимптотическая устойчивость не может иметь места. Выделить устойчивые положения равновесия в консервативной системе позволяет [c.225]

В предыдущем параграфе мы исследовали лишь вопрос об устойчивости равновесия, т. е. качественно оценили движения, возникающие при малом отклонении от положения равновесия. В этом параграфе будет детально изучаться характер движений, которые протекают вблизи положений устойчивого равновесия. Будем считать, что начальные отклонения лежат в столь малой окрестности начала координат фазового пространства, что в силу устойчивости движение не выходит за пределы малой окрестности начала координат и с достаточной точностью описывается уравнениями линейного приближения (15). [c.236]

В общем случае тот факт, что уравнения (15) получались линеаризацией уравнений Лагранжа, не придает этим уравнениям каких-либо особенностей, которые позволили бы выписать их решение и изучить возникающие движения проще, чем это могло бы быть сделано при исследовании системы линейных уравнений самого общего вида. Иначе обстоит дело в том случае, когда система консервативна и матрица С = с /, является матрицей положительно определенной квадратичной формы ). Тогда в уравнениях линейного приближения [c.236]

Чтобы рассмотреть действие такой обобщенной силы, будем считать, что та часть обобщенных сил, которая зависит от q к q, уже учтена при составлении уравнений линейного приближения, В отличие от формул (14) мы представим теперь эти уравнения при отсутствии силы, явно зависящей от времени, в виде [c.241]

Учитывая дополнительную обобщенную силу, зависящую явно от времени, представим уравнения линейного приближения стационарной системы в виде [c.242]

Малая по модулю вынуждающая непериодическая сила, представимая интегралом Фурье. Рассмотрим теперь движение стационарной системы, возникающее под действием вынуждающей силы при следующих условиях. Будем предполагать, что вынуждающая сила была равна нулю до некоторого момента времени, принятого нами за нуль отсчета времени, т. е. что до этого момента система находилась в положении устойчивого равновесия и что, начиная с момента / = 0, на систему действует вынуждающая сила, зависящая от времени, но малая по модулю, так что движения, вызванные этой силой, могут быть описаны соответствующими уравнениями линейного приближения. Иначе говоря, предполагается, что все qj = qj = 0 при <0 и что движение возникает лишь благодаря тому, что Q O при />0. Таким [c.252]

Соотношения (7.205), как отмечалось, представляют собой пример уравнений линейного приближения термодинамики необратимых процессов и позволяют (при соответствующей детализации выражений для термодинамических сил и потоков) описывать химические реакции, диффузию, теплопроводность, вязкое течение, перекрестные необратимые явления, протекающие в системах, не слишком далеких от состояния равновесия. [c.192]

Исключительный случай такого рода приводится в примере 19.11С. (В этом примере характеристическое уравнение системы двух уравнений линейного приближения имеет двойной нулевой корень.— Прим. перев.) [c.172]

Решение уравнений линейного приближения имеет вид [c.379]

Правые части этих уравнений не содержат линейных членов, и решение уравнений линейного приближения имеет вид х = хд, у = у о. Соответствующая этому приближению особая точка является устойчивой, и согласно определению устойчивости, данному в 19.5, можно положить х = е. [c.384]

В положении равновесия 0 = = т] = О, г = а + с положив r = a + - -s, мы придем к следующим уравнениям линейного приближения [c.429]

Ниже (в 23.7) мы вернемся к уравнениям (23.1.4), сейчас же нашей непосредственной целью будет изучение не точных уравнений, а уравнений линейного приближения. Если разложить правые части уравнений (23.1.5) в ряды но степеням г/г и ограничиться линейными членами, то мы получим следующие уравнения линейного приближения [c.458]

Уравнения (23.1.6) называют уравнениями в вариациях, иногда — уравнениями в вариациях Якоби или Пуанкаре. Они связаны с точными уравнениями (23.1.4) точно так же, как уравнения линейного приближения связаны с точными уравнениями в задаче о движении в окрестности особой точки ( 21.11). Уравнения в вариациях можно записать в матричной форме [c.458]

Разлагая правые части уравнений движения в ряды по степеням и т) и сохраняя только члены первого порядка, получаем следующие уравнения линейного приближения [c.569]

Уравнения линейного приближения имеют вид (см. 21.11) [c.603]

Рассмотрим уравнение линейного приближения (30.2.4). Совершая неособое линейное нреобразование [c.603]

В качестве выходного сигнала записывалось перемещение поршня. На этом же рисунке приведены частотные характеристики, полученные путем расчета по соотношению (28). Хорошее совпадение расчетных и экспериментальных характеристик показывает, что при небольших гармонических входных сигналах уравнения линейного приближения достаточно точно описывают движение исполнительного механизма. [c.202]

Используя определение потенциала скорости (VI. 1.25) и уравнения линейного приближения (VI. 1.22), можно показать, что все функции р, ру Vi, Т связаны с потенциалом скорости простыми соотношениями [c.162]

Подставив соотношения (2. 5. 8), (2. 5. 9) в уравнения (1. 3. 4), (1. 3. 5) II учитывая (2. 5. 10), (2. 5. И), в линейном приближении находим [c.41]

Линейное приближение уравнении, описывающих движения вблизи положения равновесия [c.212]

Область, в которой можно пользоваться линейными уравнениями, сама по себе, разумеется, не определяется этими уравнениями и зависит от старших членов соответствуюш,их разложений нелинейных функций в ряды. В этом смысле понятия малые отклонения и малые колебания условны. Слово малое в этих терминах говорит не буквально о малости самих отклонений или их областей, а скорее о малости наших знаний о границах этих областей. Во многих задачах механики оказывается, что области эти достаточно велики и покрывают полностью область отклонений, с которыми практически приходится иметь дело при любых действующих на систему внешних силах. В иных случаях, однако, оказывается, что области эти весьма ограничены, и замена нелинейных уравнений Лагранжа их линейным приближением требует в таких случаях большой осмотрительности. [c.257]

Точки 0" , . .., — седловые неподвижные точки. Точка O " — неустойчивая неподвижная точка. Поведение фазовых точек в их окрестностях совершенно такое же, как и в соответствующих случаях особых точек дифференциальных уравнений. Полная аналогия качественных видов малых окрестностей простых особых точек дифференциальных уравнений и простых неподвижных точек точечного отображения может быть объяснена возможностью аппроксимации в этой окрестности точечного отображения Г-отображением сдвига некоторого дифференциального уравнения [41]. При этой аппроксимации в линейном приближении точечные отображения Т иТ. в окрестности их общей неподвижной точки совпадают и между корнями X/ и 2/ характеристических уравнений особой и неподвижной точек при соответствующей их нумерации имеют место соотношения [c.249]

Если та = /, то уравнения (1.126) совпадают с динамическими уравнениями Эйлера для динамически симметричного абсолютно твердого тела, т.е. в линейном приближении внутреннее движение не изменяет движения системы, рассматриваемой как единое абсолютно твердое тело. [c.55]

Если м(i)— периодическая функция с периодом ТI, то к уравнениям (ii 31 i) можно применить метод усреднения, рассмотренный выше. В результате найдем систему линейных дифференциальных уравнений первого приближения [c.315]

Уравнения первого приближения образуют систему линейных дифференциальных уравнений.с постоянными коэффициентами. Будем искать частное решение этой системы уравнений в следующей форме [c.333]

Вернемся теперь к дифференциальным трехчленам, которые содержатся в интересуюш,их нас уравнениях линейного приближения (55). Фурье-преобразование такого трехчлена находится его умножением на и последующим интегрированием по Й от [c.254]

На первый взгляд может показаться, что проведенное исследование малопригодно для практических целей, так как для составления матрицы F требуется знать решение (30.7.2) уравнений движения. Но это, однако, не совсем так. Фактически нам требуется знать лишь значения при р = а, = О, t = а, для чего достаточно знать решение уравнений линейного приближения (уравнений в вариациях) для случая = 0. Последнее же решение всегда может быть построено (гл. XXIII). Таким образом, теория Пуанкаре дает нам практически удобный метод доказательства существования периодических решений. [c.616]

Теорема Ляпунова об устойчивости линейного приближения сводит задачу об определении того, является ли равновесие асимптотически устойчивым, к чисто алгебраической задаче задано характеристическое уравнение (16) требуется, не решая этого уравнения, определить, все ли его корни расположены слева от мнимой оси, т. е. имеют отрицательные действительные части. Задача такого рода носит название задачи (проблемы) ГурБица ). Существует ряд критериев, позволяющий непосредственно по коэффициентам характеристического уравнения (16), не решая его, ответить на вопрос, все ли корни характеристического уравнения расположены слева от мнимой оси. Полиномы, которые удовлетворяют этому условию, иногда называют гурви-цевыми. [c.220]

Сформулируем теоремы Ляпунова об устойчивости по первому приближению [16, 17, 21]. Они дают возможность решить задачу об устойчивости невозмущенного движения нелинейной системы уравнений (2.8) рассмотрением лишь линейной системы уравнений первого приближения (2.9) независимо от выбора векторчрункции Р. [c.83]

Бугера. Она количественно описывает спадание интенсивности излучения по мере его проникновения в поглощающую среду. При записи дифференциального уравнения коэффициент поглощения q считается не зависящим от интенсивности света. Это положение лежит в основе всех обсуждаемых ниже явлений. Справедливость такого линейного приближения доказана множеством самых разных экспериментальных фактов. Лишь при использовании источников света очень бoльuJOЙ мощности (лазеров), появившихся в последнее время, возникла необходимость учета зависимости q от 1, что и послужило одной из причин возникновения нелинейной оптики (см. 4.7, 8.5). [c.101]

Основное внимание в кпиге уделено наиболее эффективным методам исследования устойчивости движения — прямому методу Ляпунова и исследованию устойчивости по уравнениям первого приближения. Отдельные главы посвящены исследованию устойчивости дви>кения по структуре действующих сил, устойчивости движения неавтономных систем, в том числе систем, возмущенное движение которых описывается линейными дифференциальными уравиениями с периодическими коэффициентами. [c.7]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...