Системы координат Лагранжа и Эйлера

Системы координат Лагранжа и Эйлера. В рассмотрение вводится система материальных координат [74,75]. С этой целью каждой точке сплошной среды в некоторой фиксированной ее конфигурации ставится в соответствие тройка чисел — номер, который для этой точки останется неизменным в процессе деформирования. [c.11]

Здесь индексы L и Е обозначают соответственно координаты Лагранжа и Эйлера. Заметим, что смещение одинаково в обоих системах координат. [c.39]

Приведенная в инвариантной форме полная система соотношений для определения всех характеристик движения элемента упругого тела при практическом использовании привязывается к определенной системе координат. В современных представлениях о возможности описания движения тела или его частей выделяются четыре различных подхода [131]. В механике сплошной среды наибольшее распространение в историческом аспекте получили подходы Лагранжа и Эйлера, или в рамках терминологии работы [131] — отсчетный и пространственный. Поскольку мы далее будем говорить [c.16]

Кратко рассмотрим понятие поля параметров. При анализе задач гидромеханики удобно определять параметры движущейся жидкости в зависимости от пространственных координат, и, следовательно, поле параметров определено, если в каждой точке пространства, занятого течением, известны значения этих параметров. Таким образом, например, функция р х, у, г,() определяет давление в точке Q(x, у, г) для частицы жидкости, попадающей в эту точку в момент времени I. В лагранжевых координатах давление отдельной частицы / определяется функцией р — р1 1). Другими словами, при подходе Лагранжа не требуется задавать фиксированную систему координат, как при подходе Эйлера, поскольку система координат движется вместе с частицей. Основные законы движения жидкости справедливы только для системы, имеющей постоянную массу, как в подходе Лагранжа, но они выражаются в фиксированной системе координат, как в подходе Эйлера. Поэтому необходимо найти со-отнощение, связывающее оба этих подхода, и это соотношение [c.345]

Для задачи о движении тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки в случае Лагранжа динамические уравнения Эйлера выводятся в подвижной системе координат и дается физический смысл каждого слагаемого в терминах сил инерции. В этих же терминах дан анализ гироскопического момента. [c.119]

Метод Эйлера. Рассмотрим движение среды в любой момент времени t относительно фиксированной декартовой ортогональной системы координат и обозначим теперь через х радиус-вектор фиксированной точки этого пространства. В различные моменты времени в точке X находятся различные физические частицы среды — вещество протекает в этом пространстве. Вместо того чтобы по методу Лагранжа следить за параметрами движения фиксированной физической частицы, будем следить за тем, с какими параметрами различные физические частицы в разные моменты времени [c.64]

Замечание 5.1. Если ввести те или иные обобщенные координаты (например, углы Эйлера, определяющие ориентацию подвижной системы координат по отношению к неподвижной, и координаты центра масс тела в неподвижной системе координат), то системе (60)-(62) будут отвечать уравнения движения в форме уравнений Лагранжа первого рода при этом роль неопределенных множителей играют проекции вектора R, а уравнения (63) представляют собой уравнения связей (одно интегрируемое + (г у) = О и два неинтегрируемых). [c.448]

Введение в механику понятия квазикоординат и обобщение уравнений Лагранжа на квазикоординаты интересно тем, что оно позволило объединить в одной и той же форме обычные уравнения Лагранжа, уравнения движения неголономных систем и такие уравнения, как, например, динамические уравнения Эйлера движения твердого тела с закрепленной точкой ). Чтобы сделать очевидным важность этого обобщения не только с формальной стороны, заметим, что при исследовании движения конкретных механических систем существенную роль играет удачный выбор неизвестных параметров (обобщенных координат и квазикоординат), определяющих движение. Как известно, с использованием квазикоординат была поставлена и исследована задача Эйлера о движении по инерции твердого тела с закрепленной точкой. В квази-координатах же исследованы С. А. Чаплыгиным задача о плоском неголономном движении и трудная задача о качении неоднородного шара по плоскости. Квазикоординаты как некоторые кинематические характеристики движения, определяющие скорости движения точек системы, употреблялись в механике очень давно. Однако лишь на рубеже двадцатого века обобщенные координаты и эти кинематические параметры были объединены в одном общем понятии квазикоординат, а в подытоживающей работе Гамеля были получены уравнения движения в квазикоординатах, по форме написания близкие к уравнениям Лагранжа и применимые как к голономным, так и к неголономным системам ). Хотя по своему [c.123]

Сформулируем теперь основную вариационную задачу механики, по отношению к которой уравнения Лагранжа являются уравнениями Эйлера. С этой целью введем предварительно понятие о конфигурационном пространстве механической системы. Пространством конфигураций механической системы будем называть (5 + 1)-мерное пространство обобщенных координат ..., 7 и време- [c.182]

Как известно, движение жидкости можно изучать как в переменных Лагранжа, так и в переменных Эйлера. В дальнейшем при исследовании движения жидкости будем придерживаться эйлеровой системы координат х, у, z, t (л , у, г — декартова система координат, t — время). Таким образом, движение жидкости будет известно, если скорость V, ускорение А, температура 9 и другие величины будут заданы как функции х, у, z, t. [c.9]

Возвращаясь к барицентрической системе координат, мы обнаружим, что и в случае треугольного решения Лагранжа, и в решении Эйлера все три точки будут описывать конические сечения с общим фокусом в центре масс. [c.170]

Метод Эйлера. Рассмотрим движение среды в любой момент времени t относительно фиксированной декартовой ортогональной системы координат и обозначим теперь х— радиус-вектор фиксированной точки этого пространства. В различные моменты времени в точке X будут находиться различные физические частицы среды, вещество будет протекать в этом пространстве. Вместо того чтобы по методу Лагранжа следить за параметрами движения фиксированной физической частицы, будем следить за тем, с какими параметрами различные физические частицы в разные моменты времени проходят через точку х пространства. Таки.м образом, мы можем построить поле интересующих нас параметров в неподвижном пространстве х. Это пространство с построенным в нем полем параметров движения, в первую очередь — с полем вектора скорости V физических частиц, называется эйлеровым. Каждая физи- [c.57]

Если задача решена в переменных Эйлера, то решение задачи в переменных Лагранжа приводится к интегрированию трех совместных обыкновенных дифференциальных уравнений. Действительно, по предположению, переменные и, V, VI) известны в функции от X, у, г, t. Следовательно, траектория частицы, координаты которой х, у, г зависят от времени и имеют начальные значения а, Ь, с, может быть найдена интегрированием системы обыкновенных дифференциальных уравнений [c.293]

Подходы Эйлера и Лагранжа к исследованию задач механики сплошных сред. Введем декартову систему координат и рассмотрим в сплошной среде частицу т с координатами it = 1, 2, 3) в начальный момент времени и с координатами Хг в текуш,ий момент времени. Пусть точки среды за время t получили перемещения, определяемые вектором смещения с проекциями щ. Считаем, что проекции Ui в каждый момент времени представляют собой непрерывно дифференцируемые функции координат Тогда координаты рассматриваемой частицы в момент времени t определяются в выбранной декартовой системе по формулам [c.7]

Для расчета непрерывных составляющих оптимальных управляющих воздействий можно воспользоваться следующей схемой, исключающей процедуру численного дифференцирования обобщенных скоростей. Отметим, что векторы скорости центров инерции элементов МТМ вычислены в терминах обобщенных координат и скоростей. Это позволяет в тех же терминах вычислить лобовые сопротивления, а вместе с ними и мощность (4.6). Подстановка полученного значения для мощности в уравнение Эйлера-Лагранжа (4.14) дает систему дифференциальных уравнений второго порядка относительно обобщенных координат. Решение этой системы с начальными условиями [c.181]

В работах [37а—с] развивается метод Био введения обобщенных координат. Путем варьирования по этим координатам вариационное уравнение приводится к системе уравнений Эйлера—Лагранжа. Задача сформулирована для температуры, объемного расширения и роторной части вектора перемещений. Начальные условия заданы для температуры, перемещений и скоростей перемещений. Граничные условия могут быть заданы произвольным образом путем введения дополнительных параметров они удовлетворяются приближенно. [c.241]

В гл. 5 мы рассмотрели два способа описания динамических систем, возникающих в классической механике. Гамильтонов формализм приводит к рассмотрению динамических систем в пространстве четной размерности, задаваемых системой обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. При таком подходе координаты и скорости рассматриваются как равноправные координаты в фазовом пространстве. С другой стороны, лагранжев формализм работает исключительно с координатами в конфигурационном пространстве и описывает динамику с помощью систем обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка. Оказывается, что лагранжев формализм может быть введен посредством рассмотрения всех потенциально возможных траекторий системы, среди которых настоящие траектории выделяются как критические точки некоторого функционала, заданного на множестве всех кривых в конфигурационном пространстве. Описания такого рода обычно называются вариационными, поскольку необходимо варьировать потенциально возможные траектории, чтобы найти настоящие. Уравнения Эйлера — Лагранжа (5.3.2) представляют собой не что иное, как уравнения, описывающие критические в вышеописанном смысле кривые функционала действия, рассматриваемого в 4. [c.342]

В уравнениях в форме Эйлера - Лагранжа можно делать произвольные замены координат —) д а, и от этого вид этих уравнений не изменится. В самом деле, экстремальность траектории не зависит от того, в каких координатах мы работаем. Уравнения Ньютона не обладают таким свойством. Величины называют обобщенными координатами, а величины — обобщенными скоростями. Координаты и скорости задают состояние системы. [c.28]

Декартовы координаты Лагранжа и Эйлера. Зададимся некоторой декартовой, единой для всех последующих конфигураций тела, системой координат ОХ1Х2Х3 с ортонормированным базисом ii, 12, is- [c.14]

Возможны два способа описания движения сложной среды. Первый способ связан с выбором неподвижной системы координат — координат Эйлера. В этом случае все величины, характеризующие движение среды, задаются в координатах, жестко связанных с поверхностью рассматриваемого тела. Возможен и другой способ описания движения сплошной среды в системе координат Лагранжа. В этом случае в качестве независимых переменных выбирают начальные координаты какой-либо частицы жидкости в некоторый фиксированный момент времени в пмле-дующие моменты времени эта частица перемещается в пространстве, и координаты неподвижного пространства являются функциями начальных координат частицы. Этот метод описания движения сплошной среды напоминает метод, используемый в динамике материальной точки. [c.34]

В общем случае изучение механических процессов в начально-деформированных телах необходимо проводить в рамках нелинейной теории упругости. Однако, множество процессов, происходящих в начально-деформированных телах, можно рассматривать в рамках линеаризованной теории наложения малых деформаций (возмущений) на конечные деформации (начальное состояние) в предположении, что возмущения малы. Традиционно [30, 41, 42] различают три состояния тела естественное (ненапряженное) состояние (ЕС), начально-деформированное состояние (НДС) и актуальное (возмущенное по отношению к НДС) состояние. При этом особое значение приобретает выбор системы координат, которая может быть связана либо с естественной конфигурацией (система координат Лагранжа или материальная система координат), либо с актуальной конфигурацией (система координат Эйлера) [30, 41, 42]. Линеаризованные уравнения движения существенным образом зависят как от выбора системы координат, так и от выбора определяющих соотношений, поскольку имеет место возможность определения напряженного состояния различными тензорами (Коши, Пиола, Кирхгофа и т.д.) и множественность их представления через меры деформации (Коши-Грина, Фингера, Альманзи) или градиент места. Более детально с особенностями постановки задач для преднапряженных тел можно ознакомиться в монографиях А. И. Лурье [41], А. Лява [42] и А. Н. Гузя [30]. [c.290]

Вполне естественно раз уж не удается найти обш ее решение пытаться получить частные решения задачи трех тел, для которых интегрирование оказывается возможным, например за счет соображений симметрии. Легко убедиться в том, что система из гравитирующих материальных точек не может иметь состояния статического равновесия. Лагранжу и Эйлеру удалось, однако, показать, что возможно равновесие динамическое три тела находятся в точках с неизменными координатами, но в неинерциальной, равномерно вращающейся системе координат. Другими словами, каждое из тел совершает равномерное круговое движение вокруг общего центра масс, с одной и той же угловой скоростью. [c.34]

В гл. V Динамика системы автор, обсуждая идеп Германа п Эйлера, развитые Лагранжем, указывает на бесплодность споров о реальности даламберовых сил инерции. Общие теоремы динамики (без реакций связей) выводятся из принципа Эйлера — Лагранжа и применяются к решению ряда интересных задач, иллюстрирующих эти теоремы. При выводе уравнений Лагранжа подчеркивается, что они справедливы лишь для голоном-пых определяющих координат, и отмечается ошибка К. Неймана. Здесь же излагается способ определения неизвестных реакций с помощью уравнений Лагранжа второго рода, который подробно иллюстрируется примерами. [c.6]

Лагранж (1736—1813). Достижения Лагранжа, этого величайшего математика XVIII века, во многих отношениях параллельны работам Эйлера. Лагранж вполне независимо от Эйлера получил решение изопериметрических задач, сделав это совершенно новыми методами. Он разработал для этой цели новое, вариационное исчисление. Он также понял преимущество вариационных принципов в связи с той свободой, которую мы получаем, описывая положение механической системы при помощи выбираемой по нашему усмотре-ншо совокупности параметров ( обобщенные координаты ). Если принцип виртуальных перемещений и принцип Далам-бера позволили рассматривать механическую систему как нечто целое, не разбивая ее на изолированные частицы, то уравнения Лагранжа добавили еще одно, чрезвычайно важное свойство — инвариантность относительно произвольных преобразований координат Это позволило выбирать системы координат, удобные для данной конкретной задачи. В своей Аналитической механике (1788) Лагранж создал новое, необычайно мощное оружие для решения любых механических задач при помощи чистых вычислений, без каких бы то ни было физических или геометрических соображений, при условии, что кинетическая и потенциальная энергии заданы в абстрактной аналитической форме. Относясь к этому выдающемуся результату со своей обычной скромностью. Лагранж писал в предисловии к своей книге Читатель не найдет в этой книге рисунков. Развитые мною методы не требуют ни каких бы то ни было построений, ни геометрических или механических аргументов — одни только алгебраические операции в соответствии с последовательными едиными правилами . Лагранж таким образом создал программу и основания аналитической механики. [c.390]

Последнее замечание следует сделать относительно выбора координат. В предложенных к настоящему времени методах комбинированного анализа используется система координат Эйлера x,t), поскольку она применяется при рассмотрении контрольного объема. Можно применять и другие системы координат, а именно лагранжевы и псевдолагранжевы. Если сравнивать с этими двумя системами, то использование эй.теровых координат приводит к более громоздким расчетам при анализе одномерного нестационарного течения [66]. Как будет показано ниже, метод характеристик и метод узлов на самом деле связывают подходы Эйлера и Лагранжа, и связывающее соотношение можно найти, исходя из понятия поля параметров. Однако в данный момент мы определим различные координаты для одномерной системы. В рамках подхода Эйлера рассматривается постоянный объем в пространстве, и параметры рабочего тела, мгновенно занимающего этот объем, определяются таким образом, что нет необходимости следить за отдельными частицами газа. При использовании подхода Лагранжа рассматриваются отдельные частицы и прослеживаются их траектории в поле течения. В одномерной системе рассматривается слой газа (а не отдельные частицы) и переменная л заменяется другим параметром (скажем, а для данного слоя газа), который равен величине х при = 0, и, следовательно, значение а будет изменяться от частицы (слоя) к частице (слою). Псевдолагран-жева координата т данного слоя газа обозначает массу газа, содержащегося в объеме между этим слоем и исходным слоем при = о, и поэтому каждый слой имеет свое значение т, ко- [c.344]

Вывод уравнений равновесия элемента объема в координатах Лагранжа представляет значительные математические трудности. Решение этой задачи приводится в трудах Э. Треффтца [72], В. В. Новожилова [35] и др. Получаемая система уравнений имеет весьма громоздкий вид, несмотря на введение добавочных обозначений в целях сокращения письма. При решении задач нелинейной теории упругости принятие переменных Лагранжа за независимые аргументы оказывается неизбежным в силу того обстоятельства, что задать граничные условия этих задач в координатах Эйлера было бы весьма трудно и даже практически невозможно. [c.114]

Принцип максимума и методы классического вариационного исчисления, рассмотренные выше, приспособлены прежде всего для решения задач о программном оптимальном управлении. Соответствующие дифференциальные уравнения, описывающие оптимальное движение и множители Лагранжа Я, (г), или вектор-функцию г) (0> являются уравнениями типа уравнений Эйлера — Лагранжа и Гамильтона. Они определяют управление в виде функции от времени . Во многих случаях, однако, ставится задача о синтезе оптимальной системы, работающей по принципу обратной связи, и тогда требуется, например, определение управления и в виде функции от текущих фазовых координат Хг 1) объекта. Здесь, конечно, возможен следующий естественный путь решения задачи. Для реализовавшегося в данный момент времени 1 х состояния х х х) решается вспомогательная задача о программном управлении (0[т, а (т)] (i>т), которое минимизирует тот же функционал и при тех же концевых условиях и ограничениях, какие заданы в исходной проблеме синтеза. Далее полагается, что [т, д (т)] = (т )[т, я (т)]7 и такие значения и = [т, X (т) ] при каждом = т > о используются в ходе реального процесса управления. В случае, если алгоритм вычисления ( )[г, д (т)] путем решения вспомогательных программных задач можно осуществлять значительно быстрее, чем протекание самого процесса х (т), такой путь может оказаться целесообразным, тем более, что по ходу процесса при т > 0 приходится на деле лишь корректировать величины (т)[т, а не решать в каждый момент = т заново всю программную задачу. Здесь, правда, еще остается нелегкая чисто математическая проблема, < остоящая в доказательстве того, вообще говоря, правдоподобного факта, что найденные таким путем функции [т, х (т)] при подстановке и = = [ , X ( )] в исходные уравнения (2.1) действительно разрешают проблему синтеза оптимальной системы. Это строгое обоснование того факта, что описанный переход [т, а (т) ] = (т)[т, а (т)] действительно дает оптимальный синтез, наталкивается, например, на следующую [c.202]

Пример. Однородная сфера единичной массы радиусом а подвешена на нити длиной Ь к неподвижной точке и приведена во вранхение вокруг вертикального диаметра. В состоянии этого стационарного движения сфере сообщается небольшое воэмун ,е1ше. Пусть Ьх, Ьу к Ь — координаты точки на поверхности сферы, к которой прикреплена нить, Ьх- г а , (/ -- - аг) и 6 г а — координаты центра сферы неподвижная точка принята за начало системы координат, а ось г направлена вертикально вниз. Кроме того, пусть срЧ где ф и ф имеют смысл, обычно придаваемый им при использовании кинематических уравнений Эйлера (см. т. I, гл. V). Поэтому до сообщения возмущения у/ — п. Показать, что функция Лагранжа дастся выражением [c.96]

Итак, переменные Лагранжа указывают на то, что речь все время идет об одной и той же частице среды с координатами ,, 1 (это та оамая частица, которая при i =0 имеет декартовы координаты 4 ). Переменные же Эйлера показывают, что речь идет о различных частицах, которые в момент времени I проходят через точку с координатами аг в неподвижной системе. Переход аг переменных Эйлера к переменным Лагранжа связан в принципе с решением задачи Коши для системы трех обьшновенных дифференциальных уравнений. Переход от переменных Лагранжа к переменным Эйлера сводит- [c.58]

В 18 в. интенсивно развиваются аналитич. методы решения задач М., основывающиеся на использовании дифф. и интегр. исчислений. Для матер, точки эти методы разработал Л. Эйлер, заложивший также основы динамики ТВ. тела. Аналитич. методы решения задач динамики системы основываются на принципе возможных перемещений, развитию и обобщению к-рого были посвящены исследования швейц. учёного И. Бернулли, франц. учёных Л. Карно, Ж. Фурье и Ж. Лагранжа, и на принципе, высказанном франц. учёным Д Аламбером и носящем его имя. Разработку этих методов завершил Лагранж, получивший ур-ния движения системы в обобщённых координатах (назв. его именем) им же разработаны основы совр. теории колебаний. Др. путь решения задач М. исходит из принципа наименьшего действия в форме, высказанной для точки франц. учёным П. Мопертюи и обобщённой на случай системы точек Ла-гранжем. В М. сплошной среды Эйлером, швейц. учёным Д. Бернулли, а также Лагранжем и Д Аламбером были разработаны теор. основы гидро-, динамики идеальной жидкости. [c.415]

Данное пособие состоит из двух глав и приложения. В первой главе изложены методики, приведены примеры и программы получения с помощью системы аналитических вычислений REDU E, а также численных методов основных уравнений аналитической динамики (уравнений Лагранжа, Гамильтона, Рауса и др.). Рассмотрена задача вывода уравнений Эйлера - Лагранжа с использованием общих теорем динамики, а также уравнений относительного движения в обобщенных координатах. [c.3]

Принцип Эйлера — Лагранжа позволяет определять реакции связей. Действительно, если к заданным активным силам, действующим на механическую систему, добавим все реакции связей, то из принципа Эйлера — Лагранжа получим уравнения Ньютона для системы совершенно свободных точек. Однако практически более интересным является метод определения отдельных реакций. Идея этого метода заключается в том, что заданные активные силы дополняют одной интересующей нас реакцией, но зато систему понимают свободной от связи, порождающей одну и именно эту интересующую пас реакцию. Для освобожденной таким образом механической системы, имеющей на одну степень свободы больше, определяют дополнительную голоноыную координату q, изменение которой дает освобожденное перемещение в системе вычисляют новые Г, обобщенную силу Qq в освобожденном движении, подставляют значения переменных для действительного движения в уравнение Лагранжа [c.171]

Общий метод решения задачи о движении твердого тела. Уравнения Эйлера. Весь аппарат, необходимый для решения задачи о движении твердого тела, нами практически уже получен. В некоторых случаях, когда на это тело наложены не-голономные связи, нам потребуется применить специальные приемы, чтобы учесть их. Так обстоит дело, например, в том случае, когда на тело наложена связь качения , которая может быть учтена с помощью введения неопределенных множителей Лагранжа, как это делается в 2.4. Если, однако, исключить эти специальные случаи, то, как правило, нам придется иметь дело только с голономными и консервативными системами, а движение таких систем вполне определяется их лагранжианом. Если рассматриваемое тело является свободным, то нам потребуется полная система из щести обобщенных координат TpeJ< [c.177]

За столетие, прошедшее от Ферма и Декарта до Эйлера и Лагранжа, произошло необычайно бурное развитие методов высшей математики. Одним из наиболее важных изменений было обобщение первоначальной идеи Декарта о координатах. Ясно, что введение системы из трех взаимно перпендикулярных осей, с определением длины, ширины и высоты относительно них, является всего лишь одним из способов установления взаимооднозначного соответствия между точками пространства и числами. Другие способы могут также хорошо служить для этой цели. Например, вместо прямоугольных координата, у, z можно взять сферические координаты г, 0, ф. Одна из характерных особенностей аналитических методов механики заключается именно в том, что мы не накладываем никаких условий на природу координат, переводящих данное физическое явление в абстрактную математическую схему. [c.29]

МЕТАЛЛОФИЗИКА — раздел физики, в котором изучаются структура и свойства металлов МЕТОД [аналогии состоит в изучении какого-либо процесса путем замены его процессом, описываемым таким же дифференциальным уравнением, как и изучаемый процесс векторных диаграмм служит для сложения нескольких гармонических колебаний путем представления их посредством векторов встречных пучков используется для увеличения доли энергии, используемой ускоренными частицами для различных ядерных реакций Дебая — Шеррера применяется при исследовании структуры монохроматических рентгеновских излучений затемненного поля служит для наблюдения частиц, когда направление наблюдения перпендикулярно к направлению освещения Лагранжа в гидродинамике состоит в том, что движение жидкости задается путем указания зависимости от времени координат всех ее частиц ин1 ерференционного контраста служит для получения изображений микроскопических объектов путем интерференции световых воли, прошедших и не прошедших через объект меченых атомов состоит в замене атомов исследуемого вещества, участвующего в каком-либо процессе, их радиоактивными изотопами моделирования — метод исследования сложных объектов, явлений или процессов на их моделях или на реальных установках с применением методов подобия теории при постановке и обработке эксперимента статистический служит для изучения свойств макроскопических систем на основе анализа, с помощью математической статистики, закономерностей теплового движения огромного числа микрочастиц, образующих эти системы совнадений в ядерной физике состоит в выделении определенной группы одновременно происходящих событий термодинамический служит для изучения свойств системы взаимодействующих тел путем анализа условий и количественных соотношений происходящих в системе превращений энергии Эйлера в гидродинамике заключаегся в задании поля скоростей жидкости для кинематического описания г чения жидкости] [c.248]

Горак выводит для склерономной и реономной неголономных систем в голономных и неголономных координатах, а также в склерономных параметрах обобщенные уравнения Ньютона, Лагранжа — Эйлера и Аппеля — Гиббса. Из этих уравнений получаются как частные случаи уравнения Больцмана, Чаплыгина — Воронца, Ценова и др. Из уравнений Горака можно получить также обобщенный принцип Гамильтона — Остроградского и обобщенные уравнения неголономной динамики в канонической и естественной формах. С целью упрощения установленных им уравнений 3. Горак строит неголономное многообразие со специальной метрикой — вселенную системы. Во вселенной системы, как оказывается, уравнения Лагранжа—Эйлера и Аппеля — Гиббса получают весьма простой вид. Во вселенной обобщаются также вариационные принципы механики — принципы Гаусса — Герца наименьшей кривизны и Гамильтона — Остроградского наименьшего действия. 3. Горак показывает, что принцип Гамильтона — Остроградского эквивалентен уравнениям линии вселенной . Рассматривая время как временной параметр и вводя понятие пространственно-временной силы , 3. Го-раку удалось значительно упростить выражения дифференциальных урав- 105 нений движения неголономной системы. [c.105]

Здесь ах,..., —гладкие ковекторные поля на N, линейно независимые в каждой точке, и т < Следуя методу множителей Лагранжа, введем дополнительные координаты Л1,...,Лт и лагранжиан = а -4). Можно показать (см., например, [19]), что экстремали рассматриваемой вариационной задачи находятся из следующей системы дифференциальных уравнений Эйлера — Лагранжа [c.25]

Обозначим через и со (/—1, 2, 3,...) проекции векторов и to на оси системы Oxyz, связанной с несущим телом. Важно отметить, что в силу выбора параметров, определяющих движение несущего тела, кинетическая энергия системы Т не зависит от его обобщенных координат. Поэтому мы имеем здесь как раз упомянутый в п. 8.1 случай распадения дифференциальных уравнений движения на две группы группу уравнений Эйлера — Лагранжа для квазискоростей %, и группу уравнений Лагранжа, составляемых для координат q . [c.428]

Прежде чем перейти к анализу уравнений (1.8), остановимся на некоторых общих вопросах. До сих пор мы рассматривали движение одной и той же точки нити М. Такой метод принадлежит, по-существу, Лагранжу, который в механике сплошной среды выделял частицу и в дальнейшем следил за ее движением. Эйлеру принадлежит другой метод, сущность которого состоит в следующем. В координатной системе Oxyz (она может быть подвижной или неподвижной) выделяется точка N, определяемая в данной системе отсчета радиусом-вектором г или координатами х, у, z, В каждый данный момент времени t мимо этой точки проходит какая-то частица М сплошной среды, имеющая скорость v, Эйлер предложил выражать скорость v как функцию радиуса-вектора точки N (или ее координат) и времени t [c.174]

Как и в случае конечномерных динамических систем, в области задач об оптимальном управлении системами с распределенными параметрами сохраняют полную работоспособность усовершенствованные методы классического вариационного исчисления. При этом и здесь основное внимание было уделено составлению необходимых условий минимума для экстремальных задач со связями, трактуемыми как проблема Майера — Больца. Главным образом это было сделано для задач, связанных с уравнениями эллиптического типа. Было показано, что в таких типичных задачах, возникающих из проблем оптимального управления, необходимые условия стационарности (уравнение Эйлера и естественные граничные условия, а также условия Вейерштрасса Эрдманна) составляются при помощи обычных приемов. Критерии опираются снова на множители Лагранжа которые здесь зависят уже обычно от пространственных координат, а соответствующие дифференциальные уравнения снова конструируются исходя из подходящих форм функции Гамильтона. Условия стационарности дополняются необходимым условием Вейерштрасса сильного относительного минимума. Разумеется, это условие, которое записывается через условие экстремальности функции Гамильтона на оптимальных решениях, имеет смысл, аналогичный соответствующему условию принципа максимума. Важно, однако, заметить, что при работе с модификациями классических методов вариационного исчисления в случае уравнений с частными производными проявляются некоторые новые черты. В результате получаются условия оптимальности, более сильные, нежели известные в настоящее время обобщения принципа максимума на системы, описываемые уравнениями в частных производных. Упомянутые черты проявляются, в частности, в связи с тем обстоятельством, что приращение минимизируемого функционала при изменении объемного управления (за счет варьирования от оптимального управления) в пределах области достаточно малой меры зависит не только от вариации управления и меры области, но также существенно определяется и предельной формой области варьирования. Таким образом, получается, что при изменении формы области, определяющей вариацию, могут, получаться более или менее широкие необходимые условия экстремальности. Как отмечено выше, эффект анизотропии варьирования пока был получен только классическими методами. Причины этого, по-видимому, различны некоторые работы, посвященные принципу максимума, относятся к таким задачам, где этот эффект вообще не проявляется, в других случаях эффект анизотропии исключался вследствие ограничения при исследованиях лишь вариациями специального вида. Полезно также заметить, что описываемый эффект анизотропии расширяет возможность управления и оптимизации в обширном классе случаев независимо от типа исходных уравнений. Эффективность классических методов вариационного исчисления была проверена на конкретных типах задач. В частности, таким путем была исследована задача об оптимальном распределении проводимости электропроводной жидкости (газа) в канале магнитодинамического генератора электрической энергии. Эта задача как раз доставляет пример вариационной проблемы, где эффект анизотропии варьирования играет существенную роль. Развитию классических методов исследования посвящены работы К. А. Лурье. [c.239]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...