Уравнения Эйлера-Пуанкаре на группе

Уравнения (2.3) будем называть уравнениями Эйлера — Пуанкаре. В качестве комментария рассмотрим частный случай, когда С есть группа 50(3) вращений твердого тела в трехмерном евклидовом пространстве вокруг неподвижной точки. Хорошо известно, что ее алгебра д = во Ъ) изоморфна алгебре векторов трехмерного ориентированного евклидова пространства со стандартным векторным произведением. В качестве левоинвариантных базисных векторных полей возьмем поля, порождаемые вращениями твердого тела с единичными угловыми скоростями вокруг трех связанных с телом ортогональных осей. Тогда [их, иг] = из, [иг, из] = их, [из, их] = иг- Уравнения (2.3), как легко понять, будут системой [c.28]

Теорема 1. Уравнения Эйлера — Пуанкаре имеют интегральный инвариант в том и только том случае, когда группа G унимодулярна. [c.31]

Например, если /, —однородные многочлены степени m > 1, то в (9.23) можно положить =. .. = = . Но тогда, ввиду (9.24), д = 1/(т - 1), что является целым лишь при m = 2. Итак, уравнения с квадратичными правыми частями допускают группу подобий вида (9.23). Важным примером служат уравнения Эйлера— Пуанкаре на алгебрах Ли. Более сложный пример доставляют уравнения (9.15) они допускают группу t —> t/a, щ —> ащ, Vk —> a Vk. Сходный пример — уравнения Эйлера—Пуассона, описывающие вращение тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки. [c.120]

Уравнения Эйлера-Пуанкаре на группе 80(3). Рассмотрим движение твердого тела, одна из точек которого остается неподвижной в пространстве (в некоторой инерциальной системе отсчета). Конфигурационное пространство в этом случае — группа б О(З). Воспользуемся ее пред- [c.47]

Для записи уравнений Эйлера-Пуанкаре на группе Е 3) используем в качестве квазискоростей проекции угловой скорости ш и скорости выделенной точки тела V на оси связанной с телом системы координат. В этом случае согласно гл. 1, 4 уравнения можно представить в векторной форме [c.267]

Замечание. Как установлено в [34], уравнения Эйлера—Пуанкаре (1.11) на алгебре g допускает инвариантную меру с гладкой плотностью в том и только том случае, когда группа С унимодулярная. В этом случае фазовый поток системы (1.11) сохраняет стандартную меру на g [c.164]

Если лагранжиан С левоинвариантен (т. е. г> ( ) = 0), то С зависит лишь от переменных и матрица В обращается в нуль. В этом случае уравнения Пуанкаре являются замкнутой системой уравнений на алгебре д матрицы А и. Ь дают их представление Гейзенберга. Такое представление не всегда точное если группа С абелева, то с,у = О и уравнение (8.5) вырождается в тривиальное тождество. Однако представление Гейзенберга является точным для случая, когда д — простая алгебра (как в задаче Эйлера). [c.107]

Интересно заметить, что связь между лагранжевой и гамильтоновой формой понятна большинству механиков только в канонической записи. Так в книге [21] гамильтонова форма уравнений динамики твердого тела считается заведомо установленной из некоторых не вполне естественных соображений, в частности, со ссылкой на работу [133], в которой реально автор, не зная общего формализма динамических уравнений, даже переоткрывает углы Эйлера и сопряженные им импульсы. Далее в [21] доказывается несколько странных теорем, что из гамильтоновой формы можно получить лагранжеву, при этом, конечно, возникает некоторая путаница, так как пуассонова коммутация компонент момента с импульсами и направляющими косинусами одинакова, и одни и те же уравнения Кирхгофа можно представлять себе как часть импульсных уравнений на группе (3) — уравнения Эйлера - Пуанкаре для М, р, которая в случае отсутствия потенциала отделяется от позиционных уравнений (для направляющих косинусов), а с другой стороны — как гамильтоновы уравнения на 30(3), при этом необходимо интерпретировать компоненты импульсивной силы р как направляющие косинусы. В этом, кстати, заключается аналогия Стеклова [272] (см. также 4 и гл. 3, 1). [c.38]

Уравнения (1.11) будем называть уравнениями Эйлера—Пуанкаре. В качестве комментария рассмотрим частный случай, когда С есть группа 50(3). Свойство левоинвариантности кинетической энергии вращающегося волчка очевидно. Используя коммутационные соотношения (1.10), уравнения (1.11) легко привести к форме [c.154]

Связь дифферециальных уравнений движения с группой виртуальных перемещений наиболее полно установил А. Пуанкаре [1], выведя новые уравнения движения систем, стесненных стационарными связями, основанные на применении групп Ли. Из уравнений Пуанкаре следуют как частные случаи уравнения Лагранжа второго рода и уравнения Эйлера движения твердого тела. [c.4]

В отличие от рассматриваемых далее уравнений Пуанкаре-Жуковского, описывающих движение тела с полостью, заполненной вихревой жидкостью (см. гл. 3, 2), матрицы А, В, С зависят от позиционных переменных, которые определяют положение несомого тела относительно несущего, задаваемое элементом группы S0 3). В качестве таких переменных можно выбрать углы Эйлера, либо направляющие косинусы, либо другую систему координат на группе S0 3). [c.159]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...