Координаты фазовые

Критерий оптимальности задачи быстродействия устанавливается с учетом использования задачи терминального управления, в которой установившийся режим после переходного процесса не совпадает с началом координат фазового пространства. Тогда [c.218]

Выберем положительное число а. Если положить г —а, то в силу обычной устойчивости можно по а найти окрестность б (а). На выбор числа а>0 наложим лишь одно ограничение в а-окрестности начала координат фазового пространства не содержится иных положений равновесия. Такой выбор числа а всегда возможен, так как по условию теоремы положение равновесия является изолированным. [c.231]

Рассмотрим произвольное движение, начавшееся в б(а)-окре-стности начала координат фазового пространства и в силу устойчивости равновесия не выходяш,ее за пределы а-окрестности. Назовем его движением Р. [c.231]

Как и при доказательстве теоремы Лагранжа, без ограничения общности предполагается, что изучаемому положению равновесия соответствует начало координат фазового пространства. Потенциальная энергия за счет выбора аддитивной постоянной нормируется так, что в положении равновесия V(0)-0. [c.231]

В предыдущем параграфе мы исследовали лишь вопрос об устойчивости равновесия, т. е. качественно оценили движения, возникающие при малом отклонении от положения равновесия. В этом параграфе будет детально изучаться характер движений, которые протекают вблизи положений устойчивого равновесия. Будем считать, что начальные отклонения лежат в столь малой окрестности начала координат фазового пространства, что в силу устойчивости движение не выходит за пределы малой окрестности начала координат и с достаточной точностью описывается уравнениями линейного приближения (15). [c.236]

Впадая в начало координат, фазовые кривые касаются прямой 7 = 0, т.е. [c.223]

Покою системы в положении ее устойчивого равновесия соответствует начало координат фазовой плоскости ( = 0, f/=0). [c.482]

Резюме. Наиболее эффективным инструментом для исследования и решения канонических уравнений являются преобразования координат фазового пространства. Вместо того чтобы пытаться непосредственно интегрировать уравнения, ищется некоторая новая система координат, которая больше подходит для решения задачи, чем первоначальная система. Для этого процесса в нашем распоряжении имеется широкий класс преобразований. Они называются каноническими преобразованиями . [c.227]

Преобразование Биркгофа. Приближенное интегрирование гамильтоновой системы уравнений вблизи положения равновесия. Пусть начало координат фазового пространства отвечает [c.398]

На рис. 1, а приведена структурная схема систем СЦП и СЦМ,. допускающая применение как фазовой, так и дискретной обратной связи. Системы имеют один общий опорный делитель ДО и по одному делителю Д/( на каждую координату. Ввод импульсной информации производится в схему суммирования частот СС, модулирующую частоту генератора Г, на входе делителя координаты. Фазовая обратная связь ОС включается между опорным делителем и [c.74]

Типичная фазовая траектория изображена на рис. 11.20 (здесь Хо и Хо — начальные возмущения). Она представляет собой спираль, накручивающуюся на начало координат. Фазовый портрет образуется семейством таких спиралей, окружающих начало координат — особую точку, которая в этом случае называется устойчивым фокусом. [c.53]

Намного большая чувствительность к малым фазовым возмущениям достигается с помощью метода фазового контраста (метода Цернике). Прозрачный объект, являющийся источником возмущений, освещается идеальной плоской волной после его прохождения распределение комплексной амплитуды волны приобретает вид и о е , где (р — зависящие от поперечных координат фазовые отклонения, к-рые и подлежат регистрации. Транспарант представляет собой прозрачную пластинку с таким утолщением (либо выемкой) в малой при-осевой зоне, что между светом, проходящим через эту зону и через остальную часть сечения, создаётся разность хода Х./4. [c.153]

Более точное приближение получим, подбирая аппроксимирующие функции, зависящие от всех координат фазового пространства. [c.33]

Кривые семейства (5.99) представляют собой спирали, скручивающиеся к началу координат. Фазовый портрет этих кривых можно себе представить, если на рис. 5.14 заменить отрезки окружностей отрезками спиралей. Таким образом, вязкое трение [c.227]

В данном разделе систематически используется сокращенное обозначение X вместо набора координат фазового пространства q, р ш вместо (д (О, Р (<) . [c.373]

Как следует из названия метода, предполагается, что корректируются координаты потребителя, определенные им по сигналам спутников в стандартном режиме работы системы. На ККС формируется КИ путем сопоставления вычисленных в стандартном навигационном сеансе координат с известными с высокой точностью координатами фазового центра антенны GPS. Полученные таким образом поправки к координатам передаются в составе КИ потребителю, который использует их для уточнения своего местоположения, добавляя поправки к вычисленным координатам. [c.74]

Рассмотрим следующую функцию координат фазового пространства [c.332]

Доказательство.- Так же, как и раньше, при доказательстве леммы мы будем рассматривать лишь одну траекторию системы (20.5) — о(р, t) и считать в связи с этим различные функции координат фазового пространства функциями времени. [c.334]

Доказательство. Интересуясь в доказательстве лишь одной траекторией системы (20.5) — траекторией <р(р. (), будем, как и выше, считать фуикции координат фазового пространства просто функциями времени. Положим = 9x1. Благодаря условиям (21.60) и (21.61) можно утверждать, что существуют такие моменты времени д, и что [c.337]

Для газа, состоящего из нескольких сортов частиц, имеет место аналогичная симметрия, но лишь для зависимости функции ОТ координат фазового пространства частиц одного сорта. [c.176]

При этом мы учли определения одночастичной и двухчастичной функции распределения согласно формулам (45.1) и (45,4), а также тот факт, что функция /)дг является симметричной функцией координат фазового пространства частиц одного сорта. [c.186]

Эволюцию динамической системы можно наблюдать в пространстве состояний системы. Множество начальных условий - состояний дина мической системы, - на котором определено расстояние между каждой парой точек, образует фазовое пространство динамической системы. Это абстрактное пространство, в котором координатами служат величины, описывающие состояние системы. Фазовое пространство систем классической механики, например, характеризующее состояние процесса движения ТУ материальных точек, есть множество, элементом которого является набор положений и скоростей всех точек данной системы. Подумайте сами, какова размерность такого фазового пространства. В случае экологической модели в качестве координат фазового пространства выбирают, например, численности популяций различных биологических видов. [c.81]

Представим уравнения (15) и (16) в координатах фазовой плоскости (6, 6). [c.16]

Теперь с учетом (17) уравнения движения (15) и (16) выразятся в координатах фазовой плоскости следующим образом [c.17]

Переходя к координатам фазовой плоскости, будем иметь [c.21]

Рассмотренный в данной главе круг вопросов позволяет определить закон движения системы в координатах фазовой плоскости (9, 9) для любого из возможных состояний двигателя, т. е. для случаев, когда двигатель включен в одном направлении, выключен и включен в противоположном направлении при любом виде механической характеристики. [c.38]

Геометрическое представление движения в пространстве 2к измерений впервые предложил американский физик Д. Гиббс (1839—1903), который и ввел понятие фазового пространства, считая, что ряд являются ортогональными координатами 2й-мерного евклидова пространства. Использование фазового пространства вносит ряд преимуществ при изучении движения механических систем. Так, например, на многие вопросы механики нельзя дать удовлетворительный ответ, рассматривая одно частное решение системы, соответствующее определенным начальным данным. Необходимо знать все множество траекторий. Движение может начинаться из любой точки /г-мерного пространства в произвольном направлении. В фазовом пространстве задание одной точки Р однозначно определяет всю траекторию. Для полного решения канонических уравнений Гамильтона необходимо знать величины <7,- и р как функции времени 1 я 2к постоянных интегрирования, которые можно интерпретировать как значения 2к координат фазового пространства в момент = 0. Рассматривая 2к координат как различные измерения в фазовом пространстве, можно изобразить полное решение канонических уравнений в упорядоченном виде без пересечений в виде бесконечного множества кривых, заполняющих 2 - -1-мерное пространство (пересечение кривых означало бы, что в одной и той же точке возможны две касательные к кривой, а канонические уравнения при отсутствии особых точек определяют единственную касательную). [c.468]

Мы рассмотрели случай, когда трение положительно. Посмотрим, какова будет картина при отрицательном трении (г7<0). Тогда и показатель степени в уравнении (ПП.13) положителен. Поэтому при возрастании / радиус-вектор будет возрастать, и изображающая точка, двигаясь по фазовой траектории, неограниченно удалится от начала координат. Фазовая плоскость примет вид, показанный на рис. ПП.4, В данном случае начало координат, как и раньше, является особой точкой дифференциального уравнения (ПП.15). Эта особая точка также служит асимптотической точкой семейства фазовых траекторий, представляющих спирали, которые, однако, уже не накручиваются на особую точку, а свертываются с нее. [c.223]

Для систем большой размерности, в том числе бесконечномерных, отыскание численных значений показателей Ляпунова, как и непосредственное вычисление величин а, d ж К, является сложной задачей. Поэтому представляет интерес сравнительно простая вычислительная процедура, которая позволяет оценить ляпуновские показатели, размерность аттрактора и метрическую энтропию, зная реализацию лишь одной из координат фазового пространства. Эта процедура была предложена Паккардом [600] и Такенсом [657]. Использование такой процедуры особенно удобно при обработке экспериментальных результатов для распределенных систем, где знать весь бесконечномерный вектор x(i) просто невозможно [681]. [c.235]

Пусть Xi, Xi,. .Хп — последовательные значения одной из координат фазового пространства системы x[t) через промежутки времени т, т. е. xi==x i%). Из этих значений можно сконструировать новую динамическую систему размерности пъ, взяв в качестве г-го значения вектора у " , описывающего положение точки в новом фазовом пространстве, уXj+i,. .., Xj+m-i . Теорему Такенса можно сформулировать следующим образом. Ддя почти любых наблюдаемой реализации x(t) ж времени задержки т аттрактор сконструированной динамической системы размерности т будет иметь те же свойства (например, ту же размерность и тот же спектр ляпуновских показателей), что и исходный, если только тп > 2 н + 1, где dg — хаусдорфова размерность исходного аттрактора. Эта теорема является следствием теоремы Манье [571]. [c.235]

При применении этой процедуры особенно удобными оказываются оценки размерности аттрактора с помощью кoppeляциoннo o показателя v и метрической энтропии — с помощью энтропии Репьи второго порядка [478]. Для вычисления v на основе реализации одной из координат фазового пространства a (i) т онструи-руются описанным выше способом динамические системы разных размерностей тп и вычисляются корреляционные интегралы [c.235]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...