Вывод уравнений равновесия

В 8 было установлено, что для равновесия сил, приложенных в одной точке, необходимо, чтобы их равнодействующая была равна нулю, т. е. аналитическим условием равновесия является выражение Р=0. Для вывода уравнений равновесия выразим R через ее проекции на две взаимно перпендикулярные оси. [c.28]

Изложенная в 11—13 теория изгиба тонких пластинок применима лишь к достаточно слабым изгибам. Забегая вперед, укажем уже здесь, что условием применимости этой теории является малость прогиба по сравнению с толщиной h пластинки. Теперь мы перейдем к выводу уравнений равновесия сильно изогнутой пластинки. Прогиб С при этом уже не предполагается малым по сравнению с h. Подчеркиваем, однако, что самая деформация по-прежнему должна быть мала в том смысле, что тензор деформации должен быть мал. Практически это обычно означает требование С < /, т. е. прогиб должен быть мал по сравнению с размерами I пластинки. [c.75]

Раньше чем перейти к выводу уравнений равновесия, оценим обе части энергии. Первые производные от — порядка //, где I — размеры пластинки, а вторые — порядка Поэтому из (11,6) видно, что 1 Порядок же величины тензора есть [c.77]

Для вывода уравнений равновесия сплошной среды нам понадобится общая формула векторного анализа, носящая наименование интегральной формулы Гаусса — Остроградского. [c.133]

Тензорная форма формулы Гаусса — Остроградского (31) получает применение в следующем параграфе при выводе уравнений равновесия сплошной среды. [c.137]

В первой главе изложены методы вывода уравнений равновесия для наиболее общего случая пространственно-криволинейных стержней. При выводе используется векторное исчисление, позволяющее получить уравнения в наиболее компактной форме записи, удобной при преобразованиях. Используются две системы координат неподвижная (декартова) и подвижная (связанная с осевой линией стержня). В зависимости от конкретных условий задачи выбор системы координат может существенно упростить уравнения и их решение. [c.13]

При выводе уравнений равновесия стержня принимаются следующие допущения [c.14]

A lij (°) и АТл ( )(°>) равны нулю, что приводит к более простым уравнениям первого приближения. При выводе уравнений равновесия первого приближения необходимо знать приращения элементов матрицы в зависимости от углов Напомним, что элементы матрицы L< > устанавливают связь между базисами е, и i, . Матрица преобразования L< ) может быть представлена в виде [c.56]

При потере устойчивости приращения получают как векторы, характеризующие напряженное состояние стержня (Q и М), таки векторы, характеризующие его форму (деформированное состояние), в частности приращения получает вектор X, поэтому для вывода уравнений равновесия стержня относительно приращений векторов следует взять векторные Рис. 3.6 уравнения, записанные в подвиж- [c.96]

Уравнения равновесия прямолинейных стержней как частный случай общих уравнений равновесия. Как уже указывалось, для более сложных задач статики прямолинейных стержней эффективен метод вывода уравнений равновесия из общих нелинейных уравнений. [c.134]

Выражения для приращений векторов необходимы при выводе уравнений равновесия, когда при деформировании стержня направления и модуль нагрузки изменяются. [c.310]

Изложенные во второй части учебника разделы динамики стержней в основном повторяют разделы, которые рассматривались в первой части учебника, посвященной статике стержней. При выводе уравнений движения использовались те же допущения, что и при выводе уравнений равновесия (т. е. рассматривались физически линейные нерастяжимые стержни). Если статику рассматривать как частный случай динамики, то, положив в уравнениях движения слагаемые, зависящие от времени, равными нулю, можно получить уравнения равновесия стержня, что и делается, когда рассматриваются колебания относительно состояния равновесия. [c.276]

Почему Потому что 2 не удовлетворяет условиям, наложенным на переменные q при выводе уравнений равновесия Лагранжа. Именно в положении равновесия 6z = О, а для возможных пере-мещений из положения равновесия 6z < 0. Координата 9 удов-летворяет условию 60 О при любом значении 0, а тем самым ц в положении равновесия. [c.83]

Рис. 2.3. Схема к выводу уравнений равновесия жидкости

Первые два уравнения (4.18) отличаются от (В9) и (В11) знаками перед 9у и Q. Как правило, в сопротивлении материалов направление силы Q, показанное на рис. 4.9, считается положительным, тогда как в механике, использующей при выводе уравнений равновесия методы механики сплошной среды, такое направление считается отрицательным. [c.195]

Из приведенных уравнений выводятся уравнения равновесия жидкости в горизонтально движущемся сосуде (а = 0), в сосуде, движущемся вертикально вверх (а=90 % и сосуде, движущемся вертикально вниз (а = 270"). [c.79]

В курсах теории упругости дается вывод уравнений равновесия плоской задачи теории упругости (в этом случае имеем три уравнения равновесия в пренебрежении массовыми силами и инерционными членами). Приведем полную систему, которая замыкается законом Гука для изотропного тела при плоской деформации [c.20]

Перейдем к выводу уравнений равновесия. Выделим из круглой пластины (см. рис. 6.5) элемент аЬс(1 двумя радиальными сечениями с углом 0 между ними и двумя концентрическими сечениями, отстоящими друг от друга на расстоянии г. Рассмотрим усилия, действующие по сторонам выделенного сечения (рис. 6.6). В радиальных сечениях а(1 и Ьс будут действовать только нормальные силы Nв и изгибающие моменты Ме, причем, поскольку усилия II деформации не зависят от угла 0, величины этих усилий в сечениях а(1 и Ьс будут одинаковы. В сечениях аЬ и с с будет действовать, помимо нормального усилия Мг и изгибающего момента Мт, также поперечная сила Q. Эти усилия являются функциями только координаты г. [c.140]

Фиг. П. 1.3. Малый прямоугольный параллелепипед, выделенный в окрестности точки Р и используемый для вывода уравнений равновесия (стрелками показаны напряжения с учетом изменения их величины вдоль граней и массовые силы, приходящиеся на единичный объем выделенного элемента).

При выводе уравнений равновесия считается, что поперечные нормальные сечения стержня, плоские до деформации, остаются плоскими и после деформации (гипотеза Бернулли), т. е. сдвиги не учитываются. [c.66]

Введем локальные номера узлов 1, 2, 3, показанные на рис. 21.11 в скобках. Локальная нумерация узлов выбирается против хода часовой стрелки. При выводе уравнений равновесия удобно использовать так называемую естественную систему относительных L-координат [c.489]

Для вывода уравнений равновесия и соотношений, связывающих компоненты деформаций с перемещениями, воспользуемся первым путем. Условия равновесия элемента с размерами Аг и /-(10 (рис. 2.7, а) в проекции на оси J i и г/i выглядят так [c.46]

Применение принципа стационарности потенциальной энергии. В рассмотренных задачах о цилиндре и шаре простота выражений инвариантов через функции и постоянные параметры, задающие деформацию, допускает достаточно простой вывод уравнений равновесия с помощью принципа стационарности удельной потенциальной энергии. [c.717]

К 4, пп. 4.1—4.5. Предложенный вывод уравнений равновесия первоначально нагруженного упругого тела отличен от приводимого в [4]. См. также [32, 33] и работы [c.927]

Рис. 6.2. К выводу уравнений равновесия элемента, вырезанного из полосы в криволинейной матрице

Вывод уравнений равновесия из принципа возможных перемещений [c.201]

Уравнения (17.97) содержат минимальное число членов, необходимое для описания влияния поперечной деформации сдвига, поперечной нормальной деформации и искажения поперечного сечения. Для вывода уравнений равновесия используется принцип минимума потенциальной энергии. Для примера с помощью этих уравнений была решена задача и решение было сопоставлено с точным решением по трехмерной теории. Ло и др. [38] обобщили эту теорию и на случай толстых слоистых пластин. [c.422]

Мы можем теперь перейти к выводу уравнений равновесия изогнутых стержней. Рассмотрим опять какой-нибудь из бесконечно малых элементов стержня, вырезанный двумя бесконечно близкими сечениями, и вычислим полную действующую на него силу. Обозначим силу внутренних напряжений, приложенную к площади сечения стержня, посредством F ). Комшыенты этопо. вектора равны интегралам от оц по площади сечения [c.102]

При выводе уравнений равновесия и уравнений движения нематиков наличие у них центра инверсии не использовалось. Поэтому те же уравнения в их общем виде справедливы и для холестериков. В то же время имеется и ряд отличий. Прежде всего, меняется выражение Fa, с которым должно вычисляться, согласно определению (36,5), молекулярное поле h. Далее, наличие линейного по производным члена в свободной энергии приводит к появлению различия между изотермическими и адиабатическими значениями модуля /Са (ср. конец 36). В сформулированной в 40, 41 системе гидродинамических уравнений основными термодинамическими переменными являются плотность и энтропия. Соответственно этому должны использоваться адиабатические значения (как функции р и S) модуля упругости. [c.225]

Традиционный метод вывода уравнений равновесия. Уравнения равновесия для прямолинейного в естественном состоянии стержня в простейших задачах, когда осевая линия стержня — плоская кривая, а нагрузки — мертвые , можно получить традиционным методом, который излагается в курсах сопротивления материалов и строительной механики. Если стержень естественно закручен (см. рис. В.21) и нагружен внешними силами и моментами со сложным поведением (например, следящими за нормалью к осевой линии, или следяш,ими за некоторой точкой пространства, или зависящими от перемещений точек осевой линии стержня, и т. д.), то традиционным методом получить уравнения равновесия довольно сложно. Для подобных задач их существенно проще получить из общих уравнений равновесия (1.31) — (1.35) или (1.57) — (1.61) как частный случай для прямолинейных (в естественном состоянии) стержней. [c.129]

Пр иращения проекций векторов в связанной системе координат. При выводе уравнений равновесия и движения стержня требуется [c.308]

При выводе уравнений равновесия (123) и граничных условий (124) мы не делали различия между положением и формой элемента до и после нагружения. Как следствие, полученные уравнения (н соответственно сделанные из них выводы) справедливы только до тех пор, пока малые перемещения при деформировании не влияют существенно на действие внешних сил. Однако в ряде случаев деформацию приходится принимать во внимание. Тогда приведенный выше принцип суперпозиции теряет силу. Примером такого рода является балка, испытывающая одновременное действие продольной и поперечной нагрузки. Много других ирид геров появляется в связи с исследованиями устойчивости тонкостенных конструкций. [c.253]

Компоненты напряжений aj), действующие по граням малого злемемта в меридиональных сечениях тела, дают результирующую более высокого порядка малости, и ими при выводе уравнений равновесия можно пренебречь. [c.395]

В работе [42] на основании определения трех особых областей перераспределения касательных напряжений в плоскости выводятся уравнения равновесия в направлении нагружения для слоистого композита с центральным надрезом нулевой ширины. Безразмерное расстояние (определяющее протяженность трещины в направлении нагружения от вершины надреза), а (определяющее протял<енность неупругой области, измеренную от вершины поперечной трещины) и число неповрежденных волокон т в анализе неизвестны. Уравнения, однако, решаются для определенных значений I, а я т. [c.73]

По тем же соображениям, что и при выводе уравнений равновесия (36.20) из равенства (36.19) на стр. 377, мы должны приравнять нулю коэффициенты при всех вариациях как вне знака интеграла, так и в подинтег-ральном выражении. Тогда подинтегральная функция даст нам следующее уравнение равновесия для внутреннего элемента нити [c.398]

Условий этих, конечно, столько, сколько элементов в нити. Как было сказано, поверхность мы считаем гладкой, иначе говоря, связь (37.35) принимаем за идеальную ( 175). Для вывода уравнений равновесия нити согласно сказанному в 207 поступим следующим образом умножим каждое из равенств (37.36) на множитель [c.407]

Уравнения равновесия. Для вывода уравнений равновесия элемента используем принцип возможных перемещений. Узлам п-го элемента сообщаются произвольные малые перемещения Vn [u u u.feu ujtife]. Работа, которую совершает си,ла в узлах элемента на перемещениях, [c.156]

Покажите, что уравнения (i) и (ii) задачи 6 можно вывести непосредст-веиио из условий равновесия бесконечно малого элемента балки. Примечание 1) внутренняя сила, нормальная к поперечному сечению балки, равна а (дт дх) иа единицу иедеформированной площади 2) непосредственный вывод уравнений равновесия бесконечно малого элемента балки в рамках теории малых перемещений дан в примечании на с. 187. [c.211]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...