Система координат лагранжева эйлерова

Системы координат. Метрика. Эйлеровы и лагранжевы [c.96]

Естественный путь решения задач для нестационарных течений со свободными границами и границами раздела заключается в использовании Лагранжевой системы координат вместо Эйлеровой [12, 13]. [c.259]

Рассмотрим жидкость в лагранжевой системе координат. Это означает, что состояние жидкости описывается смещениями / (Го, 1) для каждой частицы. Координата г определяет положение частицы в момент времени ( = 0 п вводится для нумерации частиц, так чтобы их можно было различать. Движение каждой частицы описывается квантовой механикой, и, поскольку частицы различимы, квантовой статистикой пользоваться не надо. Далее можно установить совокупность коммутационных соотношений и показать достаточно простым путем, что имеется значительное число низколежащих возбуждений (т. е. отсутствует энергетическая щель и т. д.). Теперь можно преобразовать коммутационные соотношения для лагранжевой системы координат к эйлеровой системе координат. В эйлеровой системе координат плотность, скорость и другие величины являются функциями г [c.364]

Первый способ состоит в следующем. Вводится система координат, не связанная со средой, и исследуется поведение величин, характеризующих состояние среды, в фиксированной точке пространства в зависимости от времени. В способе Лагранжа рассматривается фиксированная частица среды, а величины, характеризующие состояние среды, соответствуют этой частице. При этом координаты частицы являются функциями лагранжевых переменных и времени. Эйлеровы переменные будем обозначать через х , лагранжевы — через аК [c.9]

Когда рассматриваемое движение установившееся или когда его можно свести к установившемуся, если отнести движение к подвижной системе координат (такое движение рассмотрено в конце предыдущего параграфа), то предпочитают пользоваться эйлеровыми уравнениями гидродинамики, а не лагранжевыми. Применение уравнений Эйлера удобно также тогда, когда перемещения и скорости бесконечно малы (подобные случаи составляют предмет двух предыдущих лекций). Одним из этих случаев мы будем заниматься здесь, именно случаем бесконечно малых колебаний тяжелой несжимаемой жидкости. [c.293]

Конечно, далеко не все перечисленные уравнения используются при решении конкретной краевой задачи. Для каждой задачи выбирается своя замкнутая система уравнений, в зависимости от того, какие величины нужно найти, в какой системе координат—эйлеровой или лагранжевой решается задача, какой метод выбран для ее решения. [c.235]

Выше все уравнения были записаны в эйлеровой системе координат. В нелинейной акустике для задания граничных условий удобно пользоваться лагранжевой системой переменных. [c.25]

В том случае, когда одна из функций Р или Q в (2.23) или (2.28) равна нулю, т. е. для одностороннего излучения возмущения конечной амплитуды, которое обычно называют простой волной, решением исходных уравнений как в эйлеровой, так и в лагранжевой системе координат будет [c.62]

Отличие акустических радиационных сил от электромагнитных заключается не только в том, что уравнения гидродинамики нелинейны, но также и в том, что в акустическом случае ореда и поверхность препятствия, вообще говоря, совершают колебания под действием волны, в то время как в электродинамике типичным является случай, когда среда или поверхность препятствия неподвижны. Поэтому при рассмотрении акустического радиационного давления существенным является вопрос о том, в каких координатах определяется давление. Как всегда, радиационные силы в эйлеровой системе координат — постоянные силы, действующие на поверхность или объем, фиксированный относительно неподвижного пространства. Радиационные силы в лагранжевой системе координат — постоянные силы, действующие на поверхность или объ- [c.178]

Замечание 1.6.1. Применение упругого потенциала в той или иной форме определяется спецификой рассматриваемой задачи и используемой системой координат. Опыт показывает, что в лагранжевой системе координат лучше использовать потенциал в виде скалярной функции алгебраических инвариантов тензора деформации Коши. В эйлеровой системе координат удобнее использовать упругий потенциал, выраженный через инварианты меры деформации Фингера. [c.27]

Отметим, что тензор Т с компонентами не является истинным тензором, так как его индексы принадлежат разным системам координат индекс г принадлежит системе эйлеровых координат, а индекс j — лагранжевых. Если тензор напряжений Коши а симметричен, то в силу соотношений (2.80) очевидна не симметрично сть тензора Т, поскольку несимметричен тензор Г. [c.60]

Ускорение среды в эйлеровой системе координат. Рассмотрим ускорение материальной частицы сплошной среды. Пусть заданы лагранжевы координаты Тогда задание дви- [c.144]

Уравнения (11.14) — (11.16) получаются из (ИЛ), (11.2) и из условия сохранения массы pi4 = po простыми преобразованиями от лагранжевой к эйлеровой системе координат, содержащими закон движения х=ф(х, t) физической частицы. [c.163]

Нри исследовании процессов смешения в турбулентных потоках важно знать связи между коэффициентами переноса (коэффициентами турбулентной диффузии, вязкости, теплопроводности и т.д.) и характеристиками турбулентности, измеренными в эйлеровой системе координат. Между тем коэффициенты переноса по своему смыслу определяются лагранжевыми характеристиками турбулентности, и в лагранжевой системе координат эту связь для случая однородной турбулентности можно получить из уравнений Тейлора [1 [c.408]

Целью работы было сопоставление лагранжевых и эйлеровых характеристик турбулентности. Интенсивность поперечных пульсаций скорости Ее, измеренная термоанемометром с Х-образным датчиком (и для контроля - однониточным датчиком по методике [1], когда нить устанавливается под углом к направлению потока), совпала во всех случаях с интенсивностью поперечных пульсаций г/, измеренной диффузионным методом (т.е. в лагранжевой системе координат). При измерениях г/ использовалось соотношение г/ = йУ/йх, причем дисперсия измерялась на небольших расстояниях от нити [1]. Этот результат отмечался и ранее при измерениях в потоках за решетками [13]. В то же время масштабы поперечных пульсаций скорости, определенные в эйлеровой (термоанемометр) и лагранжевой (диффузионный метод) системах координат различаются существенно. [c.412]

Для того чтобы выразить компоненты эйлерова и лагранжева тензоров деформаций через вектор смещения U в произвольной системе координат, воспользуемся определением вектора смещения [c.68]

При малых деформациях квадраты производных компонент перемещений в (1.2.18) становятся малыми по сравнению с первыми степенями, ими можно пренебречь, и соотношения принимают вид, хорошо известный из линейной теории упругости [11— 14]. Вызываемые малыми деформациями изменения первоначальных направлений (ориентировки) и величин площадок в деформируемых телах настолько малы, что они обычно не учитываются. В этом случае для идеально упругих твердых тел, которым приписывается мгновенная реакция на действие механических нагрузок (смещения и деформации не меняются во времени), оказывается также пренебрежимо малым различие между выражениями в лагранжевых и эйлеровых системах координат. [c.14]

В случае идеальной жидкости имеется четыре общих краевых условия. Кинематическое, выражающее равенство нормальных составляющих скоростей тела и жидкости в точках поверхности контакта, и три динамических, выражающих равенство действующей со стороны жидкости силы возникающему в нем напряжению. При рассмотрении краевых условий предполагаем, что в недеформирован-ном состоянии лагранжева система координат в твердом теле совпадает с эйлеровой системой координат в жидкости [c.62]

Здесь Ро скачкообразно меняется от слоя к слою. Уравнение (VI.28) применяется для расчета движения узлов лагранжевой сетки относительно неподвижной эйлеровой системы координат. [c.169]

В теории упругости обычно используется лагранжева система координат. Это связано главным образом с тем, что в процессе деформации границы тела перемещаются. При этом изменяется область пространства, занятая телом, что существенно осложняет анализ в эйлеровых координатах. В акустике и гидродинамике, где уравнения записываются относительно скоростей, а границы области, занятой жидкостью, неизменны, как правило, применяется эйлерова система. Переход от одной системы к другой, осуществляемый с помощью соотношений (3.1), очевидно, возможен после определения перемещений. Если перемещения и их производные малы (по сравнению с естественными для данной задачи единицами измерений), то различие между указанными подходами исчезает. [c.25]

Для сокращения времени решения на ЭЦВМ была выбрана экономичная для условий данной задачи эйлерово-лагранжева система координат и выполнены экспериментальные исследования на ЭЦВМ, связанные с выбором оптимальных шагов по пространственной координате и по времени для диапазона параметров и частот возмущений, имеющих место в котельных агрегатах. Кроме того, были исследованы различные формы конечноразностной аппроксимации и влияние вариаций экспериментальных зависимостей на граничный массовый расход. [c.53]

Кроме (неподвижной) системы отсчета определим также подвижную систему координат, которая в отсчетный момент времени 0 совпадает с системой отсчета 0, а в текущем состоянии, в момент времени t, характеризуется тем, что координаты любой материальной точки Р в этой подвижной системе не меняются и имеют те же самые значения 0, что и в отсчетный момент времени Система отсчета 0 назьгаается эйлеровой системой координат, а подвижная (вмороженная в тело) система координат 0 — лагранжевой (сопутствующей). Соответственно, 0 называются эйлеровыми координатами, а 0 — лагранжевыми. [c.21]

Современные математические модели, описывающие кинетику сушки материала в шахтных сушилках, базируются на выделении в качестве ключевого элемента кинетику сушки элементарного (дифференциального тонкого) слоя материала или единичной частицы (микрокинетическая задача). Переход на макроуровень (описание кинетики сушки материала во всем объеме шахтной сушилки) осуществляется с использованием одного из двух подходов, в первом из них используется неподвижная (эйлерова) система координат, которая фиксируется на корпусе аппарата в месте ввода материала, а во втором случае выбирается подвижная (лагранжева) система координат, связываемая с центрами частиц, перемещающихся по аппарату [55, 56]. [c.522]

Подводя итог, можно сказать, что задача о конечных колебаниях поршня, рассмотренная в этом разделе, может решаться различными методами. Разложение решения по малому числу Маха в эйлеровых координатах приводит к своеобразной трудности в эйлеровых координатах поршень (колеблющийся синусоидально в лагранжевых координатах) совершает довольно сложное колебание, что приводит к появлению псевдогармоник даже у источников звука. Это различие между системами координат проявляется, если учитывать в решении члены и более высокого порядка малости. При решении задач с точностью до членов вид решения не зависит от выбора системы координат. Монохроматическая волна, излучаемая поршнем, по мере распространения искажается. В идеальной среде искажение формы волны происходит беспрепятственно вплоть до образования разрыва на конечном расстоянии от поршня. Степень искажения зависит от безразмерного числа о = ггМ. Искажение может быть представлено как возникновение, взаимодействие п рост гармоник в процессе распространения волны. Спектральное представление искажения удобно тем, что многие экспериментальные методы исследования нелинейного искажения основаны на выделении спектральных составляющих из волны конечной амплитуды (см. гл. 4). [c.80]

При постановке задач для преднапряженных сред сохраняется присущее нелинейным задачам различие в их описании в лагранжевой и эйлеровой системах координат. Заметим, что с точностью до отбрасываемых в процессе линеаризации членов, описание динамических процессов в системе координат Эйлера совпадает с описанием этих процессов в системе координат, связанной с НДК. Ниже, разлртчие между системами координат эйлеровой и НДК не проводится. [c.43]

Движение преднапряженной упругой среды в общем случае описывается линеаризованными уравнениями движения (3.1.1) или (3.2.1) в зависимости от используемой системы координат. Далее, метод решения динамической задачи будем излагать на основе использования эйлеровой системы координат, связанной с начально-деформированным состоянием (идентификационные индексы опущены). Переход к лагранжевой системе координат не представляет принципиальных трудностей. [c.55]

В СМПД разработано положение об отсутствии противоречия условиям монотонности поворотов главных осей напряженно-деформированного состояния в Эйлеровом пространстве и неподвижности, как следствие первого условия монотонности, главных осей скорости деформации в Лагранжевом пространстве, что делает возможным выбор такой переносной системы координат, оси которой за весь процесс неизменно совпадают с главными осями деформации данной рассматриваемой малой частицы тела. [c.25]

В пределах интервала dt при данном t(xu Х2, лсз) будет лагранжевой ортогональной системой координат в репере i. Тензор бесконечно малых деформаций среды за время dt обозначим Vijdt= e ih причем Vij называется тензором скоростей деформаций среды в эйлеровом пространстве. [c.85]

Инерциальной декартовой подвижной системой координат (ДПС) в точке х=соп51 (точка х пространства наблюдателя) в момент t назовем декартову систему, которая поступательно движется с местной скоростью у( с, 1)=У(х, 1) в течение малого интервала времени и—+ окрестность точки х в этот период с точностью до малых высшего порядка (и поворотов) остается неподвижной в ДПС. Местную систему координат, неподвижную в пространстве наблюдателя и совпадающую в момент с ДПС, назовем ДЭС (декартова эйлерова система). ДПС иногда называют сопутствующей системой (относительно ДЭС она движется со скоростью у(л , /)). Преобразование векторов электромагнитного поля от ДПС к ДЭС и называется преобразованием этих векторов от лагранжевой системы к системе пространства наблюдателя, от их значения в покое к значениям в системе наблюдателя. [c.263]

Обозначим отношение временных лагранжева и эйлерова масштабов через [3 = Т//Тс, а соответствующих пространственных масштабов - через я = А/Ьу = (уТ1)/ 11Те). Значения /3 и х отражают сопоставление масштабов турбулентных пульсаций, измеренных в разных системах координат. Поэтому можно предположить наличие зависимости Р и к от отношения скоростей движения систем координат, т.е. от величины е = у/11. В [5] на основании некоторых предположений получена зависимость /3(г), оказывшаяся универсальной для всех типов течений. В [3, 4] приводятся отдельные результаты определения 3, которая по этим данным имеет примерно постоянное значение порядка 2 Ч- 3. [c.412]

Компоненты тензора скоростей деформаций в лагранжевых переменных (т. е. в сопутствующей, подвижной системе координат) можно выразить через компоненты тензора в эйлеровом описании, если исходить из соотношений (1.33), имеющих место и в случае малых деформаций. [c.192]

Предложенная Олдройдом (1950 г.) производная по времени от тензорных характеристик среды устанавливает связь между материальными производными от компонент тензора, взятых в абсолютной и собственной системах координат. При этом в качестве собственной системы выбирается лагранжева (сопутствующая) система, а система наблюдателя служит в качестве абсолютной системы. Таким образом, различие между двумя материальными производными целиком определяется движением среды, а их вычисление связано либо с лагранжевым, либо с эйлеровым описанием движения. [c.313]

При рассмотрении изменения перемещений и деформаций во времени (скоростей деформаций) в кинематике непрерывной среды имеет существенное значение, к какой системе координат относятся скорости векторов и тензоров. Скорость в конвективной системе координат, деформирующейся и перемещающейся вместе со средой, так что значения подвижных координат сохраняются постоянными, т. е. скорость в лагранжевой сопутствующей координатной системе выражает временные изменения, присущие среде. В фиксированной (эйлеровой) системе координат скорость представляет собой производную по времени t абсолютного пространственного вектора / (х, t), или тензора /f (х, i), которую принято называть в классической гидродинамике субстанциональной, или материальной, производной и обозначать DIDt, где [c.15]

Принципиальная трудность решения сформулированной выше задачи взаимодействия связана с тем, что неизвестно, какие численные значения эйлеровых координат следует подставлять в функции от XI в правых частях условий (П1Л2) и (П1.21). Если движение жидкости изучать в системе координат, совпадающей на границе заздела сред с лагранжевой, то указанная трудность не возникает 46, 47, 147]. [c.65]

Теперь заметим, что независимо от существования (или несуществования) лагранжева решения (I) уравнения (9.84) могут допускать также эйлерово решение, в котором точка Сг будет лежать на прямой (С0С1), т. е. на оси абсцисс вращающейся системы координат. Положение точки (Сг) в этом решении определяется следующими координатами [c.445]

Рассмотрим теперь пульсации ускорения в фиксированной точке х (или в точке, двигающейся с постоянной скоростью, т. е. неподвижной относительно некоторой инерционной системы координат). Их изучение сводится к рассмотрению смешанных лагранжево-эйлеровых характеристик турбулентности (так как ускорение понимаем в лагранжевом смысле), зависящих от средней скорости и = и ix). В случаях, к которым применима гипотеза Тэйлора о замороженной турбулентности, временной корреляционный тензор B j r) = Aiix, i)Ayix, t- -r) будет [c.341]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...