Уравнения на группах Ли

Уравнения (1.11) составляют половину уравнений движения. К ним следует добавить геометрические уравнения (1.2). С дифферен-циально-геометрической точки зрения эти уравнения описывают геодезические линии левоинвариантной метрики на группе Ли. [c.154]

МОЖНО смотреть, как на уравнения, определяющие в фазовом пространстве [д, р) однопараметрическую (t — параметр) группу Ли, оператор которой, очевидно, имеет вид [c.284]

Более общие методы теории групп Ли позволяют находить максимальную в рамках этого подхода группу непрерывных преобразований независимых переменных и искомых функций, допускаемых системой дифференциальных уравнений, выбирать на ее основе замену переменных, приводящую к упрощениям, и находить классы решений, включая автомодельные, [c.296]

Достаточно общий ответ на поставленный вопрос дает теория групп Ли преобразований. Эффективные методы и приложения к дифференциальным уравнениям основаны на взаимно однозначном соответствии между группой Ли непрерывных преобразований (25,11) с вещественными параметрами и алгеброй Ли дифференциальных операторов. [c.300]

Например, если /, —однородные многочлены степени m > 1, то в (9.23) можно положить =. .. = = . Но тогда, ввиду (9.24), д = 1/(т - 1), что является целым лишь при m = 2. Итак, уравнения с квадратичными правыми частями допускают группу подобий вида (9.23). Важным примером служат уравнения Эйлера— Пуанкаре на алгебрах Ли. Более сложный пример доставляют уравнения (9.15) они допускают группу t —> t/a, щ —> ащ, Vk —> a Vk. Сходный пример — уравнения Эйлера—Пуассона, описывающие вращение тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки. [c.120]

Конечно, распространять результаты, полученные для конечномерных групп Ли, на бесконечномерный случай следует с осторожностью. Например, в трехмерной гидродинамике до сих пор нет теорем существования и единственности решений уравнений движения. [c.283]

Конфигурационным пространством рассматриваемой нами задачи является группа б О(З) X б О(З) и 6 0(4), где первое слагаемое соответствует вращениям оболочки относительно неподвижных в пространстве осей, а второе — вращениям воображаемой сферы относительно оболочки. Представим уравнения движения в форме уравнений Пуанкаре на этой группе Ли. Обозначим соответствующие инвариантные векторные поля на двух экземплярах б О(З) в виде го1,го2,гоз и С1,С2,Сз- Тогда [c.272]

В книге содержится рассмотрение большого числа конкретных уравнений, описывающих нелинейные явления самых различных областей современной теоретической и математической физики. Прежде всего, она рассчитана на физиков, специалистов в области теории поля и физики элементарных частиц, плазмы, и математиков, занимающихся нелинейными дифференциальными уравнениями, дифференциальной геометрией и алгеброй, теорией алгебр и групп Ли и их представлений, а также на студентов и аспирантов соответствующего профиля. Надеемся, что книга будет полезна и специалистам в области гидродинамики, физики твердого тела, электрофизики, биофизики и физики Земли. [c.3]

Представлением алгебры Ли в линейном пространстве будем называть гомоморфное отображение F- t F) алгебры в множество линейных операторов в . При этом очевидно, что благодаря свойству гомоморфизма, [f, f ]- [/(f), t F )], тождество Якоби (1.6) удовлетворяется для i F) автоматически. Аналогичным образом определим представление (непрерывной) группы Ли G, g- T(g), geG, в линейном пространстве как непрерывную функцию T g) на G со значениями в группе невырожденных непрерывных линейных преобразований являющуюся решением функционального уравнения [c.55]

Конфигурационное пространство твердого тела с закрепленной точкой — группа вращений 80 (3) трехмерного пространства. Уравнения Эйлера движения твердого тела могут быть записаны как уравнения касательного вектора к геодезической левоинвариантной римановой метрики на 0(3) (метрика задается кинетической энергией тела). Уравнение Эй/.ера движения идеальной жидкости, как показал Арнольд [5], также можно рассматривать как уравнение движения по геодезической. Обобщенным твердым телом (о. т. т.) называется система с конфигурационным пространством —группой Ли О, нулевой потенциальной энергией и кинетической энергией, задающей лево-(или право-) инвариантную метрику на С и равной положительной квадратичной форме на алгебре Ли С( группы [c.312]

По нашему мнению, в данной работе впервые сделана попытка обобщить и описать указанные вопросы в монографии. Поэтому мы не стремились к возможно более полному охвату темы, а поставили цель ввести читателя в круг идей подхода, находящегося на стыке нескольких математических направлений. Центральное место в книге занимают разделы, в которых развивается метод усреднения Н. Н. Боголюбова. В главе 1 приведены необходимые сведения из теории групп Ли и рядов Ли. Более детальное знакомство с этими фундаментальными понятиями требует, безусловно, обращения к специальным источникам. В главе, посвященной теории декомпозиции систем обыкновенных диф ренциальных уравнений, в известной степени демонстрируется возможность теоретико-группового подхода. Все приведенные в книге основные теоретические положения иллюстрированы примерами. Список библиографии ни в коей мере не претендует на полноту. В основном это работы, в той или иной мере связанные с развиваемым нами направлением. [c.5]

Все изложенные выше работы Гамильтона и его последователей носят чисто аналитический характер и, в главных чертах, исчерпывают задачу об интегрировании уравнений динамики. С точки зрения совершенно новой, геометрической, пришел к рассмотрению метода Гамильтона норвежский математик С. Ли. В своих многочисленных работах по непрерывным группам преобразований Ли построил на совершенно оригинальных геометрических основаниях теорию интегрирования дифференциальных уравнений. Для задач аналитической механики особое значение имеют работы Ли по основанной им теории преобразований прикосновения [c.31]

Полученные шесть дифференциальных уравнений движения определяют шесть параметров т], ф, т ), в функции времени t. В общем случае правые части этих уравнений зависят от шести параметров и их производных, так что приходится при определе-лии решения системы рассматривать совместно все шесть уравнений движения. В ряде частных случаев обе группы уравнений удается изучать независимо одну от другой, и задача разбивается на две 1) изучение движения центра масс твердого тела 2) изучение движения твердого тела относительно центра масс. Таким образом, например, удается решать многие задачи о движении искусственных спутников Земли. [c.440]

Сохранение поляризации и деполяризация при дифракции на произвольном цилиндре. Если падающее поле не зависит от г и в нем Нг = О, то в полном поле эти два свойства сохранятся. Это обстоятельство не связано ни с формой цилиндра, ни с тем, является ли он диэлектрическим или металлическим. Более того, оно имеет место и для цилиндров, в которых е — любая функция от поперечных координат. Действительно, считая, что во всем поле д/дг = О, получим, что уравнения Максвелла разобьются на две независимые группы. Запишем их для точек, в которых нет сторонних токов, в цилиндрической системе координат г, ф, г, в которой будем решать задачи этого параграфа [c.43]

Решим теперь вопрос, каково время качания маятника и будет ли оно изменено вращением Земли. Для этого умножим группу уравнений (89) на сложим получим [c.400]

Уравнения Гамильтона на группе Ли в естественной канонической структуре для задач динамики твердого тела (все группы в которой уни-модулярны) всегда обладают стандартной инвариантной мерой. Это — аналог теоремы Лиувилля о соленоидальности канонического гамильтонова потока. [c.37]

В своей работе [256] А. Пуанкаре привел вполне современный вывод уравнений (2.3), (2.8), опираясь на развитый им формализм общих уравнений движения на группах Ли. Он также явно указал сведение к эллиптическим квадратурам для осесимметричного случая и рассмотрел устойчивость регулярных прецессий. По этому поводу интересна его полемика с В. Кельвином относительно поведения частоты и устойчивости прецессии тела при наличии жидкой полости. При этом Пуанкаре использует систему (2.7) ДЛЯ описания движения Земли, представляющей собой твердую оболочку (мантию) и жидкое ядро. В дальнейшем эту модель изучает также В. А. Стеклов, приводя в работе [273] открытые им случаи интегрируемости. [c.182]

Речь идет о вариационных задачах, которые допускают непрерывную группу (в смысле Ли) вытекающие отсюда следствия для соответствующих дифференциальных уравнений находят свое наиболее общее выражение в теоремах, которые формулируются в 1 и доказываются в последующих параграфах. Относительно этих дифференциальных уравнений, возникающих из вариационных задач, возможны высказывания, значительно более точные, нежели относительно любых допускающих группу дифференциальных уравнений, которые являются предметом исследований Ли. Итак, последующее изложение базируется на объединении методов формального вариационного исчисления с методами теории групп Ли. Для специальных групп и для вариационных задач это объединение методов не ново я упомяну Гамеля и Герглоца (Herglotz), занимавшихся специальными конечными группами, Лоренца и его учеников (например, Фоккера), Вейля и Клейна, занимавшихся специальными бесконечными группами ). Вторая статья Клейна и настоящая работа в особенности взаимно повлияли друг на друга в связи с этим я хотела бы указать на заключительные замечания в статье Клейна. [c.611]

В 1851 г. Сильвестр впервые ввел понятие об инвариантах алгебраических форм. В так называемой Эрлангенской программе Ф. Клейн, сформулировал принцип, что каждое многообразие (в том числе различные геометрии) задается системой инвариантов относительно некоторой группы преобразований. С другой стороны, в 70-х годах XIX в. Софус Ли установил связь между интегралами дифференциальных уравнений и инвариантами непрерывных групп. Отсюда вытекает возможность интерпретации механики в терминах непрерывной группы и ее инвариантов. Основываясь на объединении вариационного исчисления и методов теории групп Ли, Э. Нетер в 1918 г. дала алгоритм, позволяющий найти систему инвариантов любой физической теории, формулируемой при помощи лагранжева или гамильтонова формализма. [c.863]

На возможное возражение, что группа сама по себе является априорным понятием, можно указать, что понятие группы является результатом абстрагирования от различных подвижных инструментов циркуль, линейка и т. д., являющихся орудием геометрического исследования ). Напомним, что уже в геометрии Евклида неявно предполагалось, что все геометрические построения следует проводить с помощью только циркуля и линейки. Смысл этого требования становится ясен только с точки зрения программы Клейна. Геометрические свойства тел выражаются, таким образом, в терминах инвариантов группы и допускают изоморфную подстановку элементов пространства, в котором реализуется группа, и, следовательно, совершенно не зависят от самих геометрических объектов. Укажем, например, на реализацию геометрии Лобачевского на плоскости, предложенную А. Пуанкаре. Приведенный пример указывает на большую методологическую ценность программы Клейна. Аналогичный подход возможен также и в физике, где различные законы сохранения интерпретируются как свойства симметрии относительно различных групп. Основными группами современной физики являются группа Лоренца, заданная в пространстве Минковского, и группа непрерывных преобразований, заданная в криволинейном пространстве общей теории относительности, коэффициенты метрической формы которого определяют поле гравитации. В релятивистской квантовой механике мы переходим от группы Лоренца к ее представлениям, определяющим преобразования волновых функций. Как было показано П. Дираком, два числа I и 5, задающих неприводимое представление группы Лоренца, можно интерпретировать как константы движения угловой момент и внутренний момент частицы (спин). Иначе говоря, операторы, соответствующие этим инвариантам, перестановочны с гамильтонианом (квантовые скобки Пуассона от гамильтониана и этих операторов равны нулю). Числа, обладающие этими свойствами, называются квантовыми числами. В работах Э. Нетер дается общий алгоритм, позволяющий найти полную систему инвариантов любой физической теории, формулируемой в терминах лагранжева или гамильтонова формализмов. В основу алгоритма положена указанная выше связь между инвариантами группы Ли и константами движения уравнений Гамильтона или Лагранжа. В качестве простейшего примера рассмотрим вывод закона сохранения углового момента механической системы, заданной лагранжианом Г(х, X, (). Вводим непрерывную группу вращения, заданную системой инфи- [c.912]

Основополагающими работами в области аналитической механики являются исследования советских ученых по уравнениям динамики в групповых переменных. В 1927— 1928 гг. Четаев вывел уравнения Пуанкаре в новой, канонической форме и обобщил их на случай нестащюнар-лых связей. Эти результаты были им развиты в 1941 г. Было показано, писал Четаев, что весьма интересная мысль Пуанкаре о применении групп Ли в динамике может быть развита на случай зависимых переменных, когда группа возможных перемещений интранзитивна . [c.289]

Прошло пятьдесят лет с тех пор, как в математике утвердились понятия группы и алгебры Ли. Термин алгебра Ли введен Г. Вейлем в 1934 г. [ 1, с. 467]. На языке групп Ли [ 2] и их инвариантов формулируется одна из основных задач аналитической механики, связанная с интегрированием уравнений движения. Понятие алгебраических инвариантов введено Дж. Сильвестром в 1851 г. и использовано Ф. Клейном для классификации различных геометрий. В работе [ 3], известной под названием Эрлангенской программы , Ф. Клейн предлагает любое многообразие задавать системой инвариантов относительно группы преобразований. В 1872—1876 гг. опубликована серия работ С. Ли [4], в которой устанавливается глубокая внутренняя связь симметрия — законы сохранения , свойственная задачам аналитической механики [5. 6]. С. Ли показал, что первые интегралы движения гамильтоновых систем являются следствием существования группы контактных преобразований фазовых переменных. [c.70]

Связь дифферециальных уравнений движения с группой виртуальных перемещений наиболее полно установил А. Пуанкаре [1], выведя новые уравнения движения систем, стесненных стационарными связями, основанные на применении групп Ли. Из уравнений Пуанкаре следуют как частные случаи уравнения Лагранжа второго рода и уравнения Эйлера движения твердого тела. [c.4]

Замечание 2. Структура ж, у = у типа А — это стандартная пуассонова структура дуального пространства алгебры Ли группы аффинных преобразований прямой. Эта структура рассматривалась в 1965 г. в связи с изучением уравнений Эйлера левоинвариантной метрики на группе (в данном случае — метрики Лобачевского на полуплоскости), причем сразу же выяснилось, что она устойчива и локально эквивалентна любой структуре вида х, у = у +. . где точки обозначают нелинейные члены (с нулем выше первого порядка). Это (очевидное) наблюдение противоречит гипотезе А. Вейнстейна, согласно которой подобная линеаризуемость всех не содержащих линейных членов возмущений — признак линейных пуассоновых структур дуальных пространств полупростых алгебр Ли. [c.427]

Как известно, существование первых интегралов связано с наличием некоторого поля симметрий и с возможностью понижения порядка — по крайней мере локально. Это известная теорема Нётер, использование которой для гамильтоновых систем с линейными по импульсам интегралами связано с некоторыми упрощениями. Для простоты мы рассмотрим каноническую ситуацию, хотя рассуждения без труда переносятся и на общие уравнения Пуанкаре-Четаева, в частности, на уравнения динамики твердого тела в матричных реализациях групп Ли (задающих конфигурационные пространства). [c.221]

Мы предполагаем у читателя предварительное знакомство с материалом на нескольких уровнях. Прежде всего, мы без оговорок используем, предполагая хорошую осведомленность, результаты линейной алгебры (включая жордановы нормальные формы), дифференциальное и интегральное исчисление для функций многих переменных, основы теории обыкновенных дифференциальных уравнений (включая системы), элементарный комплексный анализ, основы теории множеств, элементарную теорию интеграла Лебега, основы теории групп и рядов Фурье. Необходимые сведения следующего, более высокого уровня рассматриваются в приложении. Большая часть материала приложения включает материал такого типа, а именно, в приложении содержатся сведения из стандартной теории топологических, метрических и банаховых пространств, элементарная теория гомотопий, основы теории дифференцируемых многообразий, включая векторные поля, расслоения и дифференциальные формы, и определение и основные свойства римановых многообразий. Некоторые темы используются лишь в отдельных случаях. Последний уровень необходимых знаний включает основания топологии и геометрии поверхностей, общую теорию меры, ст-алгебры и пространства Лебега, теорию гомологий, теорию групп Ли и симметрических пространств, кривизну и связности на многообразиях, трансверсальность и нормальные семейства комплексных функций. Большая часть этого материала, хотя и не весь он, также рассматривается в приложении, обычно в менее подробном виде. Такой материал может быть принят на веру без ущерба для понимания содержания книги, или же соответствующая часть текста может быть без большого ущерба пропущена. [c.15]

Интегральная форма реализации олераторно-неприводи-мых представлений. Задача построения представления группы Ли С на основе ее алгебры, иначе говоря, задача интегрирования последней (в тех случаях, когда это возможно), эквивалентна в известном смысле решению системы уравнений Лн типа (1.1), связывающих исходные групповые параметры с получающимися в результате действия произвольного преобразования из группы. Явный вид инфинитезимальных операторов [c.89]

В этой главе будет показано, что с каждой градуированной алгеброй Ли связана целая серия систем уравнений в двумерном пространстве, допускающих полное интегрирование в смысле задачи Гурса с начальными данными, задаваемыми на характеристиках. При этом явный вид возникающих нелинейных систем существенным образом зависит от структуры рассматриваемой алгебры и выбора в ней градуировки. Процедура интегрирования теснейшим образом связана с теорией представлений соответствующих алгебр (групп) Ли. Критерий полной интегрируемости систем с нелинейностями определенного типа реализуется в виде условий на алгебру Ли — Беклунда, допускаемую этими уравнениями, и эквивалентен в известном смысле решению классификационной проблемы теории алгебр Ли. - [c.114]

Проблема описания всех инстантонов для произвольной компактной классической группы Ли получила полное математическое реп]ение на основе методов алгебраической геометрии 5]. Вместе с тем, было бы очень интересно, хотя бы для дуального подкласса, построить общие (а не только параметрические типа иистантонных) решения уравнений Янга — Миллса, определяемые набором произвольных функций, достаточным для постановки задачи Коши (или Гурса). Это удается сделать при наложении дополнительных условий симметрии, упрощающих изучение рассматриваемой системы благодаря редукции полного числа ее степеней свободы к инвариантным относительно некоторой подгруппы конформной группы координатных преобразований. (Напомним, что теория Янга — Миллса инвариантна относительно прямого произведения последней и калибровочной групп.) Требование цилиндрической симметрии в / 4 позволяет в полной мере решить рассматриваемую задачу и в то же время сохранить ряд основных изических свойств теории. Именно на этом подходе мы и остановимся более подробно. [c.134]

Перенос связанных с конечномерным о. т. т. формул на гидродинамический случай иногда дает полезную информацию. Например, из формул для гауссовой кривизны группы С с односторонне инвариантной метрикой Арнольд получил оценки степени непредсказуемости переноса масс некоторыми периодическими по пространству двумерными течениями (см. [5] [8], Добавление 2). С уравнениями гидродинамики естественно связаны бесконечномерные группы. Но не все свойства конечномерных о. т. т. автоматически применимы к гидродинамическим уравнениям. Например, на конечномерных группах Ли с односторонне инвариантной метрикой геодезические этой метрики неограниченно продолжимы в обе стороны (по времени). Решения уравнения Эйлера движения идеальной однородной жидкости в трехмерной области О можно рассматривать как зависимость от времени касательного вектора к геодезической правоинвариантной римановой метрики (задаваемой кинетической энергией жидкости) на группе 50 О сохраняющих объемы взаимно однозначных преобразований 0- 0, гладких вместе с обратным преобразованием. Имеются основания предполагать, [c.312]

Уравнения движения о.т.в. для случая алгебры Ли S (D) бездивергентных векторных полей в области D п-мерного риманова многообразия, касающихся гладкого края Г, выглядят следующим образом. На D заданы плотность p(x), переносимая вместе с частицами, и произвольный потенциал внешних сил Ф(л ). Правоинвариантная риманова метрика на группе SDiff (D) несжимаемых преобразований D задается кинетической энергией [c.320]

Уравнения движения обобщенного проводящего тяжелого волчка в магнитном поле (о, п. т. в.). Класс уравнений о. п. т. в. включает уравнения свободной конвекции идеально проводящей слабо неоднородной идеальной жидкости. Конфигурационное пространство о. п. т. в.—группа Ли О с правоинвариантной метрикой, определяемой кинетической энергией 27 (со) (со-угловая скорость в пространстве, аналогичная эйлеровой скорости жидкости). Потенциальная энергия о. п. т. в. определяется по действию / группы О на многообразии Ы, потенциалу Ф в пространстве, заданному на М, плотности р(д ) в теле — функции на М, связанной с отмеченными частицами (см. п. 1). Магнитная энергия о. п. т. в. определяется с помощью вектора Л алгебры Ли д (Л —напряженность магнитного поля в теле, см. п. 5). [c.329]

Марий Софус Л и родился в 1842 г. в Нордфиорде в Норвегии, умер в 1899 г., в Осло. После одного года преподавания в шведском университете в Лунде, он перешел в 1872 г. в университет в Осло, из которого в 1886 г. был приглашен заменить Клейна в Лейпцигском университете. Здесь в течение двенадцати лет он собрал вокруг себя большую группу учеников разных национальностей. В 1898 г., когда здоровье его было уже подорвано болезнью, приведшей его к могиле, он с большими почестями был приглашен на родину на кафедру теории групп преобразований, созданную им в университете в Осло. Он любил связывать свои работы с работами Понселе и Плюккера с одной стороны, и с работами Галуа — с другой. Но благодаря смелой новизне взглядов, силе геометрической интуиции и независимости мысли, не-подчиняющейся чьему бы то ни было влиянию, С. Ли занимает в истории математики совершенно самостоятельное место. Благодаря новой принадлежащей ему концепции задачи интегрирования дифференциальных уравнений он пришел, с одной стороны, к открытию преобразований прикосновения и к теории инвариантов этих преобразований, а с другой стороны, к теории конечных непрерывных групп преобразований, которая благодаря совершенной полноте, изяществу методов и результатов я неисчерпаемой возможности приложений остается вечным памятником его имени. [c.252]

Принципиально новым шагом в развитии взаимосвязи симметрия — сохранение были открытие и разработка Софусом Ли теории бесконечно малых канонических преобразований и установление на этом пути канонического варианта обсуждаемой взаимосвязи. С. Ли вошел в историю науки, прежде всего, как создатель теории непрерывных групп. Но основной движуш вй силой этих его исследований было стремление разработать обш,ую теорию интегрирования дифференциальных уравнений, аналогичную теории Галуа для алгебраических уравнений Благодаря новой принадлежаш,ей ему концепции задачи интегрирования дифференциальных уравнений он пришел, с одной стороны, к открытию преобразований прикосновения (или,что то же самое, касательных или контактных преобразований, совпадающих в механике с каноническими преобразованиями. — В. В.) и к теории инвариантов этих преобразований, а с другой стороны, к теории конечных непрерывных групп преобразований... Основные понятия и первые применения тео-232 рии канонических преобразований связаны с именем Якоби (см. гл. XI). Но наиболее глубокие результаты в развитии этой теории были, достигнуты лишь благодаря введению Софусом Ли бесконечно малых преобразований. В 1899 г. Дарбу писал в некрологе, посвященном С. Ли [c.232]

В одномерном случае Эндрюс и Бенсон вычислили в ЛГУГ-ансам-бле с жесткими стенками лишь одну точку с N = 1000, V/Na = = 3,002, кТ/е = 1 для относительно дальнодействующего потенциала с К= 150. Основная цель этого исследования заключалась в проверке того, появляются ли в системе при понижении температуры плотные физические группы (кластеры) из большого числа молекул (приближающегося к полному числу N молекул в системе). При столь большой ширине ямы (в плотноупакованной группе в потенциальной яме одной молекулы находится 149 молекул, поэтому при кТ/г = 1 потенциальная энергия на одну молекулу примерно равна —74,5 кТ) этот эффект выражен чрезвычайно сильно, но при достаточно малых температурах, когда кТ/г< , он существует даже и при очень узкой яме К <.2), когда взаимодействуют лишь ближайшие соседи. Эндрюс и Бенсон приводят результаты только для одной точки и не пытаются рассмотреть уравнение состояния (в рассмотренной ими точке давление, по-видимому, очень мало). [c.360]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...