Фазовое пространство

Здесь Q(E)dE — число возможных состояний между Е и E+dE, которое на языке чисто классической механики пропорционально фазовому пространству для всей системы из N частиц с энергиями между Е и E + dE 0 — параметр, характеризующий канонический ансамбль. Множитель n( ) является очень быстро возрастающей функцией Е, тогда как яв- [c.21]

Фазовое пространство 20 Фазовых сдвигов прямая сумма 82 2-функция 50 [c.446]

Переменные qj и р/ называются каноническими переменными. Они образуют 2з-мерное фазовое пространство. Так как кинетический потенциал механической системы с s степенями свободы с голономными связями определяется выражением (129.3) [c.366]

Критерий оптимальности задачи быстродействия устанавливается с учетом использования задачи терминального управления, в которой установившийся режим после переходного процесса не совпадает с началом координат фазового пространства. Тогда [c.218]

В фазовом пространстве выбор точки задает полную систему начальных данных. Поэтому выбор точки фазового пространства (за исключением особых точек—о них речь будет идти далее) полностью определяет движение. Траектории, соответствующие движениям в фазовом пространстве, нигде (кроме особых точек) не пересекаются. [c.208]

Особыми точками фазового пространства называются точки, в которых правые части этих уравнений становятся неопределенными (вида 0/0), т. е. [c.208]

Из этого определения следует, чго в положении равновесия все и ijj равны нулю, а это означает, что в фазовом пространстве положениям равновесия соответствуют только особые точки. Разрешим уравнения Лагранжа относительно старших производных, т. е. представим их в виде [c.209]

Пусть q"j (/ = 1,. .., л) — исследуемое положение равновесия. Переместим начало координат в точку qj, т. е. будем считать, что <7/ = О (/=1,. .., п) и что — отклонения обобщенных координат от их равновесных значений. Тогда в 2п-мерном фазовом пространстве <7, q положению равновесия тоже соответствует начало координат, так как при равновесии все q равны нулю. [c.212]

Положение равновесия (/ = 1,. .., п) называется устойчивым, если для каждого числа е>0 найдется такое число б>0, зависящее от Е, что если начальные отклонения в фазовом пространстве не выходят за пределы д-окрестности положения равновесия, т. е. [c.217]

Перейдем теперь к 2л-мерному фазовому пространству q ,. .. , Яп < 1. 1 Яп- Здесь началу координат также соответствует исследуемое состояние равновесия. Рассмотрим в этом пространстве 2п-мерную окрестность начала координат, в которой qj (/=1,. .., п) удовлетворяют условию (32). Во всех точках этой окрестности полная энергия системы E = T- -V положительна, кроме начала координат, где Е = 0. Это следует из условия (33) и из того факта, что кинетическая энергия 7 = 7 обращается в нуль лишь тогда, когда все qj равны нулю, и Т>0, когда хотя бы одна из qj отлична от нуля. [c.226]

Выберем положительное число а. Если положить г —а, то в силу обычной устойчивости можно по а найти окрестность б (а). На выбор числа а>0 наложим лишь одно ограничение в а-окрестности начала координат фазового пространства не содержится иных положений равновесия. Такой выбор числа а всегда возможен, так как по условию теоремы положение равновесия является изолированным. [c.231]

Рассмотрим произвольное движение, начавшееся в б(а)-окре-стности начала координат фазового пространства и в силу устойчивости равновесия не выходяш,ее за пределы а-окрестности. Назовем его движением Р. [c.231]

Чтобы завершить доказательство теоремы, нам осталось доказать лишь, что Е не может быть положительным числом. Предположим обратное, т. е. допустим, что >0. Условие = = > О выделяет в фазовом пространстве гиперповерхность S, и если в процессе движения > О, то это означает, что движение Р неограниченно приближается к поверхности S. Действительно, так как изображающая точка q t), q t)) при движении Р расположена в а-окрестности, то, выбирая произвольную последовательность моментов времени th o (k oo), [c.231]

Как и при доказательстве теоремы Лагранжа, без ограничения общности предполагается, что изучаемому положению равновесия соответствует начало координат фазового пространства. Потенциальная энергия за счет выбора аддитивной постоянной нормируется так, что в положении равновесия V(0)-0. [c.231]

В предыдущем параграфе мы исследовали лишь вопрос об устойчивости равновесия, т. е. качественно оценили движения, возникающие при малом отклонении от положения равновесия. В этом параграфе будет детально изучаться характер движений, которые протекают вблизи положений устойчивого равновесия. Будем считать, что начальные отклонения лежат в столь малой окрестности начала координат фазового пространства, что в силу устойчивости движение не выходит за пределы малой окрестности начала координат и с достаточной точностью описывается уравнениями линейного приближения (15). [c.236]

Помимо расширенного фазового пространства введем в рассмотрение для этой же системы (л + 1 )-мерное расширенное координатное пространство q, t. Так как задание любой точки в расширенном фазовом пространстве определяет, в частности, q и t, каждой точке расширенного фазового пространства соответствует точка в расширенном координатном пространстве. Разумеется, это преобразование не взаимно однозначно — различным точкам расширенного фазового пространства, которые отличаются лишь [c.294]

Итак, контур С и построенная выше трубка прямых путей отображаются из расширенного фазового пространства в расши- [c.294]

Инвариантность фазового объема. Теорема Лиувилля. Выберем в фазовом пространстве q, р произвольную замкнутую область и рассмотрим какую-либо точку А этой области. Выбор точки фазового пространства предопределяет значения всех обобщенных координат и импульсов, и поэтому можно предположить, что начальные данные системы в некоторый момент времени /о задаются точкой А. Применим это рассуждение ко всем точкам Л,- области So, т. е. будем считать все точки этой области начальными в момент времени /о- [c.300]

Рассмотрим теперь некоторый статистический ансамбль. Поскольку он состоит из одинаковых систем, фазовое пространство будет одним и уц jg [c.301]

Выберем в фазовом пространстве элементарную область Д5 и обозначим через Дг число систем рассматриваемого ансамбля, которые в данный момент определяют точки, расположенные в Д5. Если AS мало, то отношение [c.301]

Доказательство теоремы Лиувилля. Выберем в фазовом пространстве q, р замкнутую область S , соответствующую / = /о (рис. Vn.lO). Фазовое пространство имеет 2п измерений, и поэтому объем области выражается 2п-крат-ным интегралом [c.304]

Если оператор Т является нелинейным, то и соответствующая динамическая система называется нелинейной. Кроме того, оператор Т может быть непрерывным или дискретным. Форма задания оператора Т может быть дифференциальной, интегральной, матричной, табличной и т. д. В этой книге речь пойдет о дискретных математических моделях динамических систем, состояние которых определяется конечным числом переменных, с непрерывным фазовым пространством и непрерывным дифференциальным оператором Т, в общем случае.нелинейным. Таким образом, мы будем рассматривать динамические системы, описываемые нелинейными дифференциальными уравнениями в обыкновенных производных. [c.10]

Как уже было отмечено выше, исследование поведения динамической системы сводится к изучению поведения траекторий в фазовом пространстве Ф. Структура разбиения пространства Ф на фазовые траектории называется фазовым портретом рассматриваемой динамической системы. С геометрической точки зрения под структурой разбиения фазового пространства на траектории понимается геометрическая картина взаиморасположения фазовых траекторий в пространстве Ф. Следует отметить, что полное описание фазового портрета для произвольной динамической системы представляет собою очень сложную и до сих пор нерешенную проблему. Однако ряд основных особенностей этой структуры изучен, а для некоторых классов динамических систем в настоящее время получено полное описание фазового портрета. [c.12]

Основную роль в описании структуры фазового пространства динамической системы играет разделение фазовых траекторий на обыкновенные и особые. К последним принадлежат особые точки, соответствующие состояниям ран- [c.12]

Если по своему физическому смыслу переменная х является периодической с периодом 2л, т. е. значения и X + 2п соответствуют одному и тому же состоянию системы, то функция / (х) будет также периодической с периодом 2л. Фазовым пространством такой системы будет отре- [c.20]

В общем случае будем рассматривать фазовое пространство в виде бесконечной прямой (рис. 2.1). Основными элементами, которые полностью определяют разбиение фазовой [c.21]

Гармонический осциллятор, рассмотренный выше, представляет собою пример автономной консервативной системы второго порядка. Как мы видели, такая система обладает интегралом движения (обычно интегралом сохранения энергии). Фиксируя значение произвольной постоянной в интеграле движения, мы получаем динамическую систему с одномерным фазовым пространством, которое может представлять замкнутую или незамкнутую кривую, состоящую из одной или нескольких фазовых траекторий. Придавая произвольной постоянной различные значения, получим множество одномерных фазовых пространств, которые в совокупности образуют фазовое пространство консервативной системы второго порядка. В конечном итоге двумерное фазовое пространство этой системы оказывается разбитым на фазовые траектории. Замкнутая фазовая траектория соответствует, как известно, периодическому движению в системе. [c.29]

Для выполнения расчетов процессов переноса на основе кинетической теории (уравнение переноса Больцмана) [588] требуются данные о молекулярном взаимодействии, которые значительно усложняют расчеты для некоторых газов [342] и неизвестны для большинства жидкостей [229]. Введением соответствующих феноменологических соотношений в механике сплошной среды [686] удается эффективно заменить фазовое пространство (координаты положения и количества движения) уравнения переноса Больцмана конфигурационным пространством (координаты положения) и свойствами переноса пос.ледние могут быть определены экспериментально. Это составляет основу второго из указанных выше методов исследования, который сравнительно недавно используется при изучении многофазных систем. [c.16]

Выберем теперь в фазовом пространстве произвольную е-ок-рестность, целиком лежащую внутри Д-окрестности и содержащую начало координат в качестве внутренней точки. На границе этой е-окрестности функция Е непрерывна и ограничена, а сама граница представляет собой замкнутое ограниченное множество точек. Поэтому в силу теоремы Вейерштрасса существует принадлежащая границе е-окрестности точка, где Е достигает минимума на границе. Пусть этот минимум равен Е = Е. В связи с тем, что всюду на границе е-окрестности > О, во всех точках этой границы [c.226]

Интегральный инвариант Пуанкаре — Картана. Рассмотрим динамическую систему, движущуюся в потенциальном поле и имеющую гамильтониан Н. В (2п1)-мерном расширенном фазовом пространстве q, р, t этой системы выберем произвольный замкнутый несамопересекающийся контур и выберем какую-либо точку на этом контуре, скажем, точку А. Эта точка полностью определяет систему гамильтоновых переменных q , рд и может быть принята за начальную. Тогда при заданной функции Н движение определяется однозначно и, следовательно, однозначно определяется соответствующий прямой путь в рассматриваемом расширенном фазовом пространстве. Теперь возьмем [c.294]

Вернемся к расширенному фазовому пространству и проведем на трубке прямых путей какой-либо произвольный контур j, охватываюш,ий эту трубку (рис. [c.295]

Значение энергии определяется фазовыми координатами q и р. Поэтому в расширенном фазовом пространстве q, р, t может 0ыть выделено изоэнергетическое подпространство , соответствующее множеству точек, где выполняется условие (136). Особенностью консервативных и обобщенно консервативных систем является то, что во время движения системы точка, изображающая это движение в расширенном фазовом пространстве, может находиться лишь в этом изоэнергетическом подпространстве . Если при выводе интегральных инвариантов выбрать исходный контур Со в этом подпространстве, то вся трубка прямых путей будет также лежать в этом подпространстве, а сам интегральный инвариант Пуанкаре—Картана примет вид [c.327]

В настоящее время для исследования этих систем используются два разных подхода, отличающихся типом математической модели, которая отражает поведение динамической системы. При одном подходе математическая модель динамической системы 5 основывается на понятии состояния X, под которым понимается описание системы 5 в некоторый момент времени ), и на понятии оператора Т, определяющего изменение этого состояния х во времени. Оператор Т указывает процедуру, выполняя которую можно по описанию л (О в момент времени t найти описание л (/ + А ) той же системы в некоторый следующий момент времени t + Af. Если оператор Т не зависит явно от времени, то система S называется автономной, в противном случае — неавтономной. Состояние л системы S можно рассматривать как точку некоторого пространства Ф, называемого фазовым пространством системы 5. Изменению состояния х отвечает в фазовом пространстве Ф движение соответствующей T04i y, которая называется изображающей. При этом движении изображающая точка описывает кривую, назы- [c.8]

Математические модели динамических систем можно классифицировать в зависимости от структуры их фазового пространства Ф и вида оператора Т. Различают случаи непрерывного и дискретного фазового пространства в зависимости от того, какой ряд значений могут принимать величины X, характеризующие состояние динамической системы непрерывный или дискретный. Изменение состояигя X во времени также может быть непрерывным или дискретным. Изменение непрерывно во времени, если h.t — произвольное неотрицательное число, и дискретно во времени, если может принимать лишь некоторые дискретные положительные значения. Операторы Т принято различать по их свойствам и по форме задания. Если оператор Т обладает свойством суперпозиции, то он называется линейным. [c.9]

Рассмотрим структуру разбиения фазового пространства на траектории в окрестности периодического движения на примере трехмерного фазового пространства. Пусть х = = X (О, у = У (0. 2 = 2 (t) — периодическое решение периода т системы дифференциальных уравнений (1.1). Линзаризуя эти уравнения в окрестности рассматриваемого периодического движения, мы придем к уравнениям в вариациях вида (1.2), в которых теперь частные производные [c.17]

Периодические движения в консервативной системе отличаются той особенностью, что они никогда не бывают изолированными. Это связано с тем, что если при некотором значении произвольной постоянной в интеграле движения мы имеем замкнутую фазовую траекторию, то в силу непрерывной зависимости решения дифференциальных уравнений от начальных условий и при близких значениях этой постоянной фазовые траектории будут оставаться замкнутыми. Таким образом, замкнутые траектории образуют континуум, заполняя целые области двумерного фазового пространства. При этом возможны два случая в первом случае замкнутые траектории, вложенные одна в другую, стягиваются либо к особой точке типа центра, либо к сепаратрисам седловых особых точек. В случае, когда фазовое пространство представляет собою цилиндрическую поверхность, замкнутые траектории могут охватывать фазовый цилиР1др. [c.29]

Температура (1985) -- [ c.20 ]

Неравновесная термодинамика и физическая кинетика (1989) -- [ c.61 ]

Термодинамика и статистическая физика (1986) -- [ c.185 ]

Классическая механика (1975) -- [ c.274 ]

Вариационные принципы механики (1965) -- [ c.0 ]

Курс теоретической механики Том 2 Часть 2 (1951) -- [ c.244 ]

Статистическая механика неравновесных процессов Т.2 (2002) -- [ c.12 ]

Теория и приложения уравнения Больцмана (1978) -- [ c.18 , c.20 , c.29 , c.38 , c.42 ]

Курс теоретической механики для физиков Изд3 (1978) -- [ c.389 ]

Физическая теория газовой динамики (1968) -- [ c.199 , c.205 ]

Регулярная и стохастическая динамика (0) -- [ c.18 , c.19 , c.25 , c.27 , c.32 , c.58 , c.254 , c.255 , c.299 , c.307 , c.458 ]

Введение в теорию колебаний и волн (1999) -- [ c.134 , c.135 , c.307 , c.459 ]

Динамические системы-1 (1985) -- [ c.156 ]

Общая теория вихрей (1998) -- [ c.47 , c.60 ]

Движение по орбитам (1981) -- [ c.160 , c.169 , c.170 , c.171 ]

Основные принципы классической механики и классической теории поля (1976) -- [ c.38 ]

Особенности каустик и волновых фронтов (1996) -- [ c.7 ]

Физика твердого тела Т.2 (0) -- [ c.225 ]

Термодинамика и статистическая физика Т.2 Изд.2 (2002) -- [ c.24 ]

Термодинамика и статистическая физика Т.3 Изд.2 (2003) -- [ c.288 ]

Введение в термодинамику Статистическая физика (1983) -- [ c.168 ]

Математические основания статистической механики (0) -- [ c.12 ]

Элементы теории колебаний (2001) -- [ c.19 , c.20 ]

Термодинамика и статистическая физика Теория равновесных систем (1991) -- [ c.279 ]

Физика твердого тела Т.1 (0) -- [ c.225 ]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...