Система Лагранжа

Для получения информации о силах, действующих на мерную шайбу, используется уравнение сохранения количества движения применительно к мерной шайбе. С учетом введенных допущений уравнение сводится к известному уравнению Бернулли. Такой же результат дает применение второго закона Ньютона в системе Лагранжа. [c.238]

Промежуточной между работами второй и третьей групп является работа [Л. 128], в которой все исходные дифференциальные уравнения, кроме уравнения движения, анализировались с учетом распределенности параметров. Отказ от анализа уравнения движения с учетом распределенности связан с математическими трудностями использования координатной системы Лагранжа. Однако даже при частичном учете распределенности одним из определяющих становится параметр, связан-ный с временем прохода парообразующего участка. [c.21]

Б. Собственные колебания. Б координатах Q система Лагранжа распадается на п независимых уравнений [c.95]

Мы предполагаем здесь рассмотреть частный случай обратной задачи определить условия, при которых система Лагранжа с двумя степенями свободы, обратимого типа, с постоянной энергии, равной нулю, имеет условный интеграл, квадратичный относительно скоростей, т.е. вида [c.59]

Обратно, всякую систему Гамильтона (5), (6), где Н — произвольная функция, можно привести к системе Лагранжа. [c.64]

Согласно Лагранжу, сплошная среда, в частности несжимаемая невязкая жидкость, является несвободной механической системой. Лагранж рассматривает уравнение неразрывности как условное уравнение , или, по современной терминологии, как уравнение связи. Этой же точки зрения придерживается Зоммерфельд. [c.9]

Я-система с гамильтонианом О (О (0) = 0) и что число п взаимодействующих видов четно. В частности, О —первый интеграл системы (14). Системы (14, 15) могут быть записаны в виде системы Лагранжа [c.227]

Из соотношений (5-4.72) и (5-4.73) следует, что рассматриваемый тип течения принадлежит фактически системам с лагранже-вым периодическим течением. Разумеется, существуют лишь две отличные от нуля компоненты напряжений, например, как это следует из уравнения (5-1.29), [c.204]

Модели для анализа напряжений и деформаций часто оказываются более удобными, если представлены в интегральной форме, вытекающей из вариационных принципов механики. Вариационный принцип Лагранжа (принцип потенциальной энергии) гласит, что потенциальная энергия системы получает стационарное значение на тех кинематически возможных перемещениях, отвечающих заданным граничным условиям, которые удовлетворяют условиям равновесия. Поэтому модель представляют в виде выражения потенциальной энергии П системы как разности энергии деформации Э и работы массовых и приложенных поверхностных сил А [c.158]

В результате имеем, что в первой системе координат данной ячейки движение несущей (первой) фазы в ней описывается полем W, которое, как и поле массовых сил, имеет потенциал ф. Поэтому в первой системе координат должен выполняться интеграл Коши— Лагранжа, который позволяет определить поле давления внутри ячейки, обеспечивающее заданное движение (3.4.16), [c.127]

Принцип возможных перемещений, или принцип Лагранжа, содержит необходимые и достаточные условия равновесия некоторых механических систем. Он формулируется следующим образом для равновесия механической системы, подчиненной идеальным, стационарным ы неосвобождающим связям, необходимо и достаточно, чтобы сумма -элементарных работ всех активных сил, приложенных к точкам системы, была равна нулю на любом возможном перемещении системы, если скорости точек системы в рассматриваемый момент времени равны нулю, т. е. [c.387]

Число уравнений Лагранжа равно числу степеней свободы системы. [c.409]

Структура уравнений Лагранжа и их составление. Уравнения Лагранжа для обобщенных координат являются обыкновенными дифференциальными уравнениями второго порядка, как и дифференциальные уравнения движения точки в декартовых координатах. Число уравнений Лагранжа совпадает с числом обобщенных координат. Действительно, для кинетической энергии системы, используя ее определение и формулу (33) для [c.409]

И 5 уравнений Лагранжа для стационарных потенциальных СИЛ и случая стационарности связей системы можно получить ранее установленный закон сохранения полной механической энергии [c.411]

Уравнения Лагранжа (41) представляют собой п обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка для обобщенных координат q . Эти уравнения многими способами можно свести к системе 2п уравнений первого порядка путем введения новых переменных. Канонические уравнения или уравнения Гамильтона дают такую систему дифференциальных уравнений первого порядка, эквивалентную уравнениям Лагранжа, в наиболее удобной симметричной форме. [c.416]

Линейное сопротивление и диссипативная функция. Вели на точки системы с одной степенью свободы кроме потенциальных сил действуют еще силы сопротивления, то дифференциальное уравнение Лагранжа выразится в форме [c.434]

Предположим в той же задаче о движении груза, что сила Ф = 0, а следовательно, и Q = 0, но вместо этого задано движение конца пружины — точки А в направлении оси Ох — в форме z = z( ) (рис. 118,6). Составим уравнение Лагранжа для груза относительно подвижной системы отсчета Оху, начало которой движется вместе с точкой А так, что ОА остается все время постоянным. В этом случае по-прежнему [c.447]

Применяя уравнения Лагранжа для составления уравнений движения рассматриваемой двухмассовой системы, прежде всего запишем выражения кинетической и потенциальной энергии этой системы [c.554]

Уравнения (127) и представляют собой дифференциальные уравнения движения системы в обобщенных координатах или уравнениях Лагранжа. Число этих уравнений, как видим, равно числу степеней свободы системы. [c.378]

Уравнения Лагранжа дают единый и притом достаточно простой метод решения задач динамики. Важное преимущество этих уравнений состоит в том, что их вид и число не зависят ни от количества тел (или точек), входящих в рассматриваемую систему, ни от того, как эти тела движутся определяется число уравнений Лагранжа только числом степеней свободы системы. Кроме того, при идеальных связях в правые части уравнений (127) входят обобщенные активные силы, и, следовательно, эти уравнения позволяют заранее исключить из рассмотрения все наперед неизвестные реакции связей. [c.378]

Основная задача динамики в обобщенных координатах состоит в том, чтобы, зная обобщенные силы Qi, Qa, . и начальные условия, найти закон движения системы в виде (107), т. е. определить обобщенные координаты qu q ,. . как функции времени. Так как кинетическая энергия Т зависит от обобщенных скоростей qi, то при дифференцировании первых членов уравнений, (127) по t в левых частях этих уравнений появятся вторые производные по времени qi от искомых координат. Следовательно, уравнения Лагранжа представляют собой обыкновенные дифференциальные уравнения второго порядка относительно обобщенных координат q [c.378]

Функция L от обобщенных координат и обобщенных скоростей, равная разности между кинетической и потенциальной энергиями системы, называется функцией Лагранжа или кинетическим потенциалом. Тогда в случае потенциальных сил уравнения Лагранжа примут вид [c.379]

Из полученного результата следует, что состояние механической системы, на которую действуют потенциальные силы, определяется заданием одной только функции Лагранжа, так как, зная эту функцию, можно составить дифференциальные уравнения движения системы. [c.379]

Уравнениями Лагранжа, как уже указывалось, можно пользоваться для изучения движения любой механической системы с геометрическими или сводящимися к геометрическим (голономными) связями, независимо от того, сколько тел (или точек) входит в систему, как движутся эти тела и какое движение (абсолютное или относительное) рассматривается. [c.379]

Чтобы для данной механической системы составить уравнения Лагранжа, надо 1) установить число степеней свободы системы и выбрать обобщенные координаты (см. 142) 2) изобразить систему в произвольном положении и показать на рисунке все действующие силы (для систем с идеальными связями только активные), [c.379]

Обращаем внимание на то, что для системы с одной степенью свободы составление дифференциального уравнения движения методом Лагранжа сводится по существу к тем же расчетам, что и при использовании теоремы об изменении кинетической энергии. [c.381]

Решение. Система имеет две степени свободы. В качестве обобщенных координат выберем координату х, определяющую относительное движение шарика, и угол поворота ф трубки. Тогда уравнения Лагранжа будут иметь вид [c.381]

Решение. Система имеет две степени свободы (независимы перемещение катка относительно тележки и перемещение самой тележки). В качестве обобщенных координат выберем координату х тележки и координату s центра масс С катка относительно тележки. Тогда уравнения Лагранжа для системы будут [c.382]

К барабану приложена пара сил с моментом Мпр. Составить для системы уравнения Лагранжа и определить частоту колебаний, сопровождающих движение тел системы. [c.383]

Решение. У системы две степени свободы. Выберем в качестве обобщенных координат угол <р поворота барабана и удлинение х пружины ( i=уравнения Лагранжа будут [c.383]

Случай не нормальной лагранжевой системы. Задача о геодезических линиях. Только что доказанная эквивалентность, как это следует из формального способа, которым она была установлена, имеет место, какова бы ни была лагранжева система (31). Она, в частности, будет иметь место также и тогда, когда функцйя й не будет зависеть от / и будет однородной первой степени относительно 9. В п. 41 гл. V мы видели, что в этом случае соотшетству-ющая система Лагранжа (31) не будет нормальной (т. е. не будет разрешимой относительно я вторых производных от q), так как между левыми частями уравнений (31) существует тождественное линейное соотношение [c.423]

Лагранж дает обоснование принципа виртуальных скоростей, строя по аналогии с заменяющей схемой Карно новую заменяющую схему. Действия сил в заданных точках системы Лагранж заменяет натяжением нитей, привязанных к этим точкам, имеющим направление вдоль соответствующей силы. Вместо грузов на свободных концах нитей прикреплены оси подвижных блоков полиспаста (см. рисунки в книге [2, с. 15—18]). В результате такой замены один-единственный груз воспроизводил в заданных точках системы такое же силовое воздействие, как и заданная система сил. Доказательство Лагранжа [4, с. 40—47] принципа виртуальных скоростей хорошо известно, оно неоднократно обсуждалось в историко-методологической и методической литературе по механике, оно излагалось с чертежами (которых нет у автора) в трактатах и учебных курсах по теоретической механике, например В. Л. Кирпиче-вым. Е. Л. Николаи, Г. К. Сусловым и др. Поэтому мы приведем только формулировку и аналитическую запись этого принципа, предложенные Лагранжем [4, с. 42] Если какая-либо система любого числа тел, или точек, на каждую из которых действуют любые силы, находится в равновесии, и если этой системе сообщить любое малое движение, в результате которого каждая точка пройдет бесконечно малый путь, представляющий ее виртуальную скорость, то сумма сил, помноженная каждая соответственно на путь, проходимый по направлению силы точкой, к которой она приложена, будет всегда равна нулю, если малые пути, проходимые в направлении сил, считать положительными, а проходимые в противоположном направлении — считать отрицательными . [c.100]

Пусть в однородной атмосфере происходит точечный взрыв. Обозначим через г — радиальную координату в системе Лагранжа, а через К —в системе Эйлера. Таким образом, г указывает положение частицы в момент i = О, а Д — ее положение по исте- [c.504]

Итак, если д ( ) удовлетворяет уравнениям Лагранжа, то (Р ( ), в (0) УДОвлетБоряет уравнениям Гамильтона. Обратное доказывается аналогичным образом. Итак, системы Лагранжа и Гамильтона эквивалентны, ч. т. д. [c.62]

Таким образом, согласно общему уравнению динамики, в любой момент движения сиетемы с идеальными связями сумма элементарных работ всех активных сил н сил инерции точек системы равна нулю на любом возможном перемещении системы, допускаемом связями. Общее уравнение динамики (24) час го называю г объединенным принципом Да-ламбера Лагранжа. Его можно назвать лакже общим уравнением механики. Оно в случае равновесия системы при обращении в нуль всех сил инер щи точек системы переходит в нринцин возможных перемещений старики, только пока без доказательства его достаточности для равновесия системы. [c.400]

Рассмотрим доказательство теоремы Лагранжа- Дирихле для системы с п степенями свободы и, следовательно, с [c.424]

Механическая система с одной степенью свободы имеет одну обо6п1енную координату q, и ее движение описывается одним уравнением Лагранжа [c.425]

Дифференциальное уравнение собс1венных линейных колебаний системы. Для вывода из уравнения Лагранжа (1) линейного уравнения малых собственных колебаний следуез кинетическую и потенциальную энергии разложить в ряды в окрестности положения равновесия системы, где = 0. [c.426]

Подсгавляя эти значения производных в уравнение Лагранжа (1), получим следующее дифференциальное уравнение малых собсгвенных колебаний системы с одной степенью свободы [c.428]

Приняв лагранжев спектр турбулентности, Чен рассмотрел стационарный ) случай, когда начальный момент временя о равен — схз. В. лагранжевой системе координат прослеживается путь частицы и отмечаются статистически осредненные характеристики потока II твердой частицы. Первоначальная методика Чена была модифицирована Хинце в отношении определения интенсивностей и коэффициентов диффузии. Эти теоретические методы, а также методы Лью [497], Со/ [721 [, Фрпдлендера [232] II Ксенеди [134] были обобщены Чао [104] путем рассмотрения приведенного выше. лагранжева уравнения движения как стохастического, к которо.му внача.ле при.меняется преобразование Фурье. Излагаемый ниже метод принадлежит Чао. [c.50]

С произвольным распределением скорости жидкости в тангенциальном направлении, но без учета тангенциального ускорения частиц. Крайбел [4381 рассматривал эту задачу, полагая, что схема газового потока соответствует модели вращения твердого тела. Свободновихревое движение жидкости при одинаковой осевой скорости обеих фаз, но без учета изменений тангенциальной и радиальной скоростей частиц в осевом направлении исследовалось в работе [343]. Так как во всех этих работах рассчитывались только траектории частиц, то использовалась система координат Лагранжа, что само по себе исключительный случай в гидромеханике. Во всех этих исследованиях не учитывалось распределение плотности и скорости отложения частиц. [c.339]

Из полученного результата вытекает следующий принцип Даламбера — Лагранжа при движении механической системы с идеальными связями в каждый момент времени сумма элементарных работ всех приложенных активных сил и всех.сил инерции на любом возможном пережщении системы будет равна нулю. [c.367]

Указанным путем уравнения Лагранжа составляются независимо от того, рассматривается ли абсолютное (по-отношению к инер-циальной системе 01счета) или относительное движение механической системы. Но в последнем случае возможен и другой путь, а именно кинетическую энергию системы определять в ее относительном движении, но зато при нахождении обобщенных сил присоединить к силам, действующим на систему, переносные силы инерции (чего при использовании первого пути делать не надо). [c.380]

Когда все приложенные к системе силы являются потенциальными, уравнения Лагранжа можно составлять в вйде (129). При этом вместо вычисления обобщенных сил надо определить потенциальную энергию системы, выразив ее через обобщенные координаты, и затем, определив еще и кинетическую энергию, составить функцию Лагранжа (128). [c.380]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...