Уравнение гиперболического типа

Для интегрирования системы нелинейных уравнений гиперболического типа широко используется метод характеристик. Решение рассчитывается с помощью характеристической сетки, выстраиваемой в процессе счета. Этот метод позволяет детально изучить физическую картину течения. Но его трудно применять при расчете сложных сверхзвуковых течений, когда внутри потока содержатся интерферирующие ударные волны, тангенциальные разрывы и другие особенности. [c.267]

Из соотношения (1.60) следует, что уравнение (1.59) имеет две характеристики, и, следовательно, является уравнением гиперболического типа, если М >-1. Уравнение (1.59) имеет одну характеристику и относится к параболическому типу при М = 1. Действительные характеристики отсутствуют при М < 1, в этом случае уравнение (1.59) относится к эллиптическому виду. [c.31]

Отметим, что классическим представителем уравнений гиперболического типа является волновое уравнение [c.128]

Уравнения гиперболического типа [c.236]

Перейдем к рассмотрению решения методом сеток задачи Коши для простейшего уравнения гиперболического типа — волнового уравнения [c.180]

Нетрудно заметить, что при решении уравнений гиперболического типа методом сеток основное значение приобретает параметр а. Действительно, зная решение в узлах двух рядов на участке ограниченной протяженности, можно определить решение в третьем ряде в меньшем (на единицу с каждой стороны) числе узлов — таким образом удается заполнить узлы в треугольной области. С другой стороны, известно, что для волнового уравнения область влияния есть треугольник со сторонами, наклоненными к осям под углами л/4 (что соответствует а=1). Поэтому условие а 1 (называемое условием Куранта) есть необходимое условие сходимости последовательности (lim h, 1- 0) приближенных решений к точному. [c.181]

Заметим, что иногда уравнения гиперболического типа решают численно, исходя из их представлений в характеристических переменных. [c.183]

Рассмотрим уравнение (2.17) при v=0. При iWуравнение Лапласа, т. е. классическое уравнение эллиптического типа при уИ>1 — волновое уравнение, т. е. классическое уравнение гиперболического типа. [c.36]

Важно отметить, что уравнениями газовой динамики в стационарном случае являются уравнения эллиптического типа при дозвуковых скоростях (Afd), уравнениями гиперболического типа при сверхзвуковых скоростях (М>1) и уравнениями параболического типа при трансзвуковых скоростях (М 1). Нестационарные уравнения газовой динамики при всех М являются уравнениями гиперболического типа. Таким образом, при решении уравнений газовой динамики приходится иметь дело с основными типами уравнений математической физики. [c.36]

Краевые задачи для уравнений гиперболического типа. Задача Коши. В плоскости Ют] дана кривая АВ, не являющаяся характеристикой (фиг. 162). [c.244]

Численное интегрирование уравнений гиперболического типа. Дана система двух уравнений [c.245]

Исключая одну из неизвестных, например V, придём к уравнению гиперболического типа, отнесённому , к характеристикам [c.245]

Как известно, дифференциальные уравнения, описывающие газодинамический процесс в трубопроводе, могут быть сведены к системе квазилинейных дифференциальных уравнений гиперболического типа [6] [c.96]

Входной информацией алгоритма являются значения Qi, Q2, параметры трубы, численные значения констант, а также величины, используемые при проверке критериев (например, давление газа в конце трубы). Если расчет необходимо проводить с прямоугольной сеткой [5], то 1 = 1 если необходимо выполнение рассматриваемого далее критерия упорядочения произвольной сетки, то 2 = 1. Вычисление значений коэффициентов уравнений гиперболического типа вынесено в нестандартный блок, что обеспечивает возможность его замены и расширяет область использования данной программы. [c.97]

Выше отмечалось (см. гл. 4), что уравнения (5.8)—(5.10), позволяющие рассчитать основные характеристики несущей и дискретной фаз, являются квазилинейными уравнениями гиперболического типа. Соотношения (5.10), (5.11) отражают поведение потока вблизи границ и сформулированы на основе физических соображений с учетом характеристических свойств системы уравнений. Отметим, что взаимосвязь уравнений (5.8), (5.9) реализуется через правые части, не содержащие дифференциальных членов, что позволяет считать исходные уравнения независимыми при анализе их характеристических свойств [132]. [c.172]

Уравнение (4-53) является уравнением гиперболического типа, характеризующим распространение волн упругой деформации в двухфазных средах. По сравнению с волновым уравнением для гомогенных сред оно является более общим и имеет более высокий порядок. [c.94]

Уравнение (5.4) имеет два вещественных корня, если —y u - -v >й(т. е. имеют место сверхзвуковые скорости потока). Следовательно, математически подтвержден факт существования характеристик двух семейств с положительным и отрицательным знаками перед радикалом. В рассматриваемом случае уравнение (4.40) является уравнением гиперболического типа. При с—а (в потоке звуковых скоростей) уравнение (5.4) имеет два одинаковых (вещественных) корня, т. е. одно семейство характеристик, расположенных под углом а—л12 к вектору скорости ( 2.2), а уравнение (4.40) становится параболическим. При с<а (дозвуковые течения) уравнение (5.4) не имеет вещественных корней, характеристики отсутствуют, а уравнение [c.111]

Важнейшим уравнением гиперболического типа является волновое уравнение, или уравнение струны, [c.108]

З ача Римана. Это начальная характеристическая задача, в которой в отличие от задачи Коши рассматриваются решения уравнений гиперболического типа у границ, совпадающих с характеристиками (линии скольжения BF и BD на рис. 125, б). В связи с этим в задаче Римана [c.288]

Решение системы уравнений гиперболического типа тесно связано с характеристическими линиями, определяемыми дифференциальными уравнениями (4) и покрывающими плоскость х, у криволинейной сеткой. [c.313]

Интеграл (157) можно рассматривать как сверхзвуковой ана.тог потенциала скоростей возмущений от распределения источников вдоль положительной части оси Ох, в случае несжимаемой жидкости (Моо = О, со = —1) представленного равенством (72). Между этими двумя гидродинамическими образами имеется принципиальное различие, с математической стороны выражающееся в том, что соответствующий потенциал скоростей в несжимаемой жидкости удовлетворяет уравнению эллиптического типа (уравнению Лапласа), а потенциал (160) — уравнению гиперболического типа — волновому уравнению (156). С физической стороны это различие заключает- [c.328]

Рассмотрим нелинейное уравнение гиперболического типа с постоянными коэффициентами, близкое к линейному [c.160]

МЕТОД РЕШЕНИЯ НЕКОТОРЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА И РАСПРОСТРАНЕНИЕ СЛАБЫХ УДАРНЫХ ВОЛН [c.314]

Допустим, что в некоторой сплошной среде, описываемой определенной реологической моделью, распространяется математический разрез с заданным законом Движения его конца l = i t) 0. Чему равна величина удельных энергозатрат Yo = Yo(0 в этом случае На этот вопрос можно ответить при помощи (5.1) и (5.6) для расчета достаточно одного главного члена асимптотического разложения решения вблизи края разреза. Вид этого члена обычно можно найти заранее, не решая задачи в целом, методом сингулярных решений (гл. III) он определяется с точностью до нескольких произвольных констант или произвольных функций (последнее имеет место, например, для некоторых уравнений гиперболического типа). Эти константы (или функции) могут быть найдены только из решения задачи в целом. Предположим, что первый член асимптотического разложения известен, и будем стягивать контур С в точку О. Как следует из (5.6), форма контура С несущественна, поэтому ее можно выбирать произвольно, руководствуясь соображениями удобства. [c.223]

Уравнение (VIII.6) относится к уравнению гиперболического типа, и его решение может существовать лишь в области, ограниченной конусом возмущения. [c.186]

Для уравнений параболического типа f=aidid%, а для уравнений гиперболического типа Т = а2д 1дх (fli, — константы). В эллиптических уравнениях f = 0. [c.9]

В научной литературе встречается много приближенных уравнений, описывающих колебания вырожденных систем [8, 22, 23, 30], которые основаны на тех или иных предпосылках физического характера о поведении продольных и поперечных усилий по сечению в вырожденной системе и других механических величин. Затем появились различные уточнения классических уравнений колебаний, зачастую не согласующиеся между собой. В последние годы для вывода приближенных уравнений колебаний вырожденных систем стали применяться математические подходы, основанные на приближенном решении точной трехмерной задачи теории упругости или вязкоупругости с заданными начальными и граничными условиями, характеризующими как геометрию вырожденной системы, так и условия закрепления границ этих систем [22, 23, 43]. Однако каким бы из подходов не пользоваться, всегда должно выполняться очевидное условие — приближенные дифференциальные или инте-гродифференциальные уравнения колебаний должны принадлежать к уравнениям гиперболического типа [8]. [c.226]

Если посмотреть на это с теоретической точки зрения, то можно отметить следующее. Напомним, что на ба,/ из (3.15) мы наложили требования о равновесии. Если материал упрочняющийся, мы приходим к уравнениям эллиптического типа при отсутствии упрочнения, а также при удовлетворении некоторых других условий мы получаем уравнения гиперболического типа[17,23]. Гиперболичность означает, что решение уравнений существует только на некоторых кривых (или поверхностях). С физической точки зрения это равносильно тому, что образуются линии скольжения или линии Людерса, имеющие существенно более сложный характер по сравнению с теми, которые возникают в простых испытаниях на растяжение, что объясняется более сложной геометрией образцов, предназначенных для исследования разрушения. С вычислительной точки зрения это значит, что вариационную теорему, использованную в приложении [(А.5), (А.6)], необходимо заменить другой, которая будет нечувствительной к изменению типа дифференциальных уравнений от эллиптического к смешанному эллиптически-гипер-болическому. Этот подход был рассмотрен только недавно [34,35] он оказался вполне работоспособным. Короче, существует реальная возможность моделирования материалов, деформационное упрочнение которых меняется от нуля до некоторого положительного значения, однако следует пользоваться специальными мерами предосторожности в предельном случае нулевого упрочнения, т. е. в случае так называемой идеальной пластичности. [c.335]

Как уже отмечалось в предыдущем параграфе, решение задачи с условиями типа (43), (44) для уравнений гиперболического типа может быть построено методом ха рактеристических рядов, которые, по крайнем мере, в окрестности точки ж = t = О сходятся. Нетривиальным является вопрос о возможности применения аналогичных степенных рядов для построения решения уравнения (45) с условиями (43), (44) в области, ограниченной полуосью t О и некоторой кривой х = ao(t), которая описЫ вает движение фронта фильтрации по области нулевого давления. Хотя формально такие степенные ряды довольно легко построить, главным и принципиальным вопро сом при этом является вопрос о сходимости таких рядов. Ведь простейшие примеры представления решения задачи Коши для линейного уравнения теплопроводности [c.233]

Хотя ряды при решении нелинейных краевых задач используются чрезвычайно широко, далеко не всегда они обладают перечисленными свойствами. Так, ряды Тейлора зачастую сходятся медленно и при этом в небольших областях, применение рядов Фурье для нелинейных уравнений приводит, как правило, к бесконечным системам нелинейных уравнений для определения коэффициентов, которые необходимо обрезать и решать затем приближенно. В то же время наличие точных методов нахождения коэффициентов рядов позволяет даже при небольшой области сходимости и медленной скорости сходимости ряда применять современную технику аналитических продолжений (например, аппроксиманты Падэ), ускорения сходимости, определять характер особенностей. Разумеется, каждый конкретный ряд позволяет получить аналитическое решение в какой-либо области в предположении, что в ней отсутствуют разрывы. Тем не менее, при построении обобщенных решений, в частности уравнений гиперболического типа, выделяя линии разрывов решений или каких-либо их производных, можно с помощью операций сшивок рядов получать конструктивные описания решений и в этих случаях. [c.238]

Для случая линейных гиперболических систем разработан [3] метод решения задачи Коши при помощи сходящихся разложений на бегущие волны, когда члены рядов имеют в качестве множителей обобщенные функции, содержащие при увеличении номера члена ряда все более слабые особенности, а коэффициенты при обобщенных функциях определяются из обыкновен ных дифференциальных уравнений. Доказательство сходимости таких рядов сведено к теореме существования Коши-Ковалевской [4]. Однако не видно, как можно перенести эти результаты на случай нелинейных уравнений гиперболического типа. [c.317]

Изложенный здесь подход к решению волновых задач с условиями на движущихся границах тесно связан с методом iJ-конформных отображений для уравнений гиперболического типа [3.25]. К настоящему времени математическая теория iJ-конформных отобра- [c.95]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...