Координаты эйлеровы

Решение. Система имеет три степени свободы. Вводя в качестве обобщенных координат эйлеровы углы 0, ф и координату центра масс Z, получим лагранжиан [c.205]

Выше (в 16.11) мы уже встречались с примером натуральной, но неортогональной системы, допускающей разделение переменных такой системой являлся вращающийся волчок. Выбирая в качестве координат эйлеровы углы и считая функцию V зависящей только от 0 (как это имеет место в обычных условиях, когда волчок движется под действием силы тяжести, а ось Oz направлена вертикально вверх), получаем систему, в которой переменные разделяются. В этой задаче обе координаты ф и г ) являются циклическими, что весьма существенно для вопроса о возможности разделения переменных. [c.356]

Конечно, далеко не все перечисленные уравнения используются при решении конкретной краевой задачи. Для каждой задачи выбирается своя замкнутая система уравнений, в зависимости от того, какие величины нужно найти, в какой системе координат—эйлеровой или лагранжевой решается задача, какой метод выбран для ее решения. [c.235]

Первые слагаемые — обычные заданные массовые силы (тяжести и др.), вторые же представляют пондеромоторные силы электромагнитного поля. Например, вектор рРэ дан формулами (22.18), и компоненты его в декартовых координатах эйлерова пространства имеют выражения через Е, Н [c.268]

Отложение частиц и их распределение при вихревом движении. Чтобы найти распределение частиц и проанализировать течения с хаотическим движением частиц, предлагается следующее решение. Из уравнений (6.32) и (6.41) с учетом сделанных ранее упрощений в эйлеровой системе координат получаем [c.341]

Теперь, когда углы ср и г)з фиксированы, у тела остается лишь одна степень свободы не меняя этих углов, можно повернуть тело вокруг линии узлов. Чтобы фиксировать и этот поворот, введем в рассмотрение еще один угол G между осью г и осью Этот угол называется углом нутации. Задание трех углов г ), ф и 6 полностью определяет положение греческой системы относительно латинской, т. е. полностью определяет положение тела. Вместе с тем эти три угла независимы в том смысле, что каждый из них можно менять без изменения двух остальных углов. Поэтому углы г 5, ф, 0 могут служить обобщенными координатами тела с неподвижной точкой О. Углы эти называются эйлеровыми углами. [c.189]

Разумеется, эйлеровы углы —не единственно возможный выбор обобщенных координат. В динамике полета, например при исследовании движения самолета или ракеты, используется иногда иной выбор обобщенных координат в качестве трех углов, характеризующих положение летящего тела, принимают угол отклонения горизонтальной оси самолета от заданного курса (угол рыскания), угол поворота вокруг горизонтальной оси, проходящей перпендикулярно курсу, например вдоль крыльев, и характеризующей отклонение от горизонтали (угол тангажа), и наконец, угол поворота вокруг продольной оси самолета (угол крена). [c.189]

При изучении движения тела с неподвижной точкой мы в качестве обобщенных координат будем брать эйлеровы углы, т. е. считать, что [c.189]

Составим уравнения Лагранжа для эйлерова угла ф, т. е. обобщенной координаты q . Фигурирующая в уравнениях Лагранжа частная производная dT/dq равна [c.192]

Предположив, что начала координат в системах Q tiS и Ox z совпадают, мы можем определить положение твердого тела тремя эйлеровыми углами. Если ОК есть прямая пересечения плоскостей 0 ti, Оху, называемая линией узлов, то углы эти следующие (рис. 80) 1) угол ф между ОК и Ох, 2) угол 11) между 0 и ОК и 3) угол 9 между и Oz. При этом все углы берутся между положительными направлениями осей. [c.93]

Координаты X/ (i=l, 2, 3) точек тела в недеформированном состоянии называют также лагранжевыми координатами точек тела. Координаты Xi (i==, 2, 3) — это декартовы координаты тех же самых точек, но после деформации тела. Их называют эйлеровыми координатами. Соотношение (1.124) определяет положение [c.30]

С другой стороны, если деформация или течение тела задается уравнением вида (1.125), то независимыми переменными являются координаты Xi и время t. Такой способ описания деформации и течения называется эйлеровым. Это описание позволяет проследить обратную картину развития деформации от конечного состояния Xi к начальному xj при U-В методе Эйлера материальная частица для деформированного состояния в момент времени t может быть выбрана также в форме прямоугольного параллелепипеда. Рассматривается бесконечно малое за время [c.31]

Таким образом, относительные удлинения и сдвиги материальных волокон при конечных деформациях определяются формулами (3.21), (3.27) в случае лагранжевых и (3.22), (3.28) в случае эйлеровых координат. [c.67]

Аналогично можно поставить задачу об определении главных значений и направлений деформаций в эйлеровых координатах. Поэтому в дальнейшем ради простоты записи буквенные индексы L и 3 в тензорах конечных деформаций опустим. [c.69]

Здесь относительные деформации Ец вновь сопровождены индексами L я Э, поскольку в общем случае они не равны в лагранже-вых и эйлеровых координатах материальные волокна, направленные до деформации вдоль осей хь после деформации будут направлены не обязательно вдоль осей Xi (i=l, 2, 3). Вследствие этого, вообще говоря, при малых деформациях [c.72]

Если предположить, что кроме градиентов перемещений малы сами перемещения (ц 0), то разница между лагранжевым и эйлеровым координатами весьма мала и на основании (1.120) можно считать Xi = Xi. В этом случае тензоры е,/, определяемые по формулам (3.67), (3.68), можно считать совпадающими, что характерно для массивных тел. [c.73]

Из определения интегральных инвариантов видно, что такими преобразованиями являются преобразования, переводящие некоторую траекторию изображающей точки в смежную траекторию. Этим преобразованиям соответствует изменение начальных условий для движения изображающей- точки. Заметив это, можно прийти к двум различным способам определения положения изображающих точек в их многообразии. Первый из них основывается на выборе начальных значений х координат в многообразии изображающих точек как независимых переменных. Величины x аналогичны известным из гидродинамики лагранжевым переменным. Можно также пользоваться функциями хц входящими в уравнения (11.379), как координатами изображающих точек. Величины Хц очевидно, аналогичны эйлеровым переменным М. [c.386]

Пусть теперь задано поле некоторой скалярной (типа температуры) или тензорной величины f = f x, t) как функции эйлеровых переменных и пусть требуется вычислить скорость изменения этой величины для конкретной физической частицы, находящейся в данный момент времени t в данной точке х пространства. При решении этого вопроса х константой считать нельзя, так как координаты частицы меняются во времени, и, следовательно, f = f(x(t), t). Производная этой функции по времени [c.6]

Для установления зависимостей между косинусами углов, образованных осями подвижной системы (связанной с твердым телом) с осями неподвижной системы, и эйлеровыми углами можно воспользоваться также формулами сферической тригонометрии. Опишем вокруг точки О сферу единичного радиуса и отметим на поверхности сферы точки пересечения ее с осями координат и линией узлов (рис. 182). Соединяя эти точки дугами больших кругов, получаем сферические треугольники, решая которые находим искомые соотношения между косинусами углов, образуемых координатными осями, и тригонометрическими функциями эйлеровых углов. [c.266]

Чтобы определить положение твердого тела в пространстве, зададим прежде всего положение какой-нибудь одной его основной точки , или полюса О (рис. 193), при помощи вектор-радиуса Го этой точки или ее координат хо, I/o, 2о). Тело может вращаться около фиксированного положения полюса О, поэтому для определения положения тела в пространстве нужно еще задать три эйлеровых угла тела по отношению к системе оси кото- [c.281]

В формулах (7) х, у, г — постоянные координаты выбранной в теле точки координаты той же точки в неподвижной системе X, у, г будут выражаться через х, у, г по формулам перехода (2). В последних формулах направляющие косинусы и, 12,. .. выражаются известным уже нам образом через эйлеровы углы, заданные в функции от времени. [c.285]

Положение системы п материальных точек определяется совокупностью Зп декартовых координат х, уи 2[, Х2, t/2, 22,. ... .., Хп, Уп, г этих точек. Положение твердого тела задается тремя координатами хо, уо, Zq одной из его точек, принятой за полюс, и тремя эйлеровыми углами ф и 0 ( 64). Если система состоит из нескольких твердых тел, то для определения положения такой системы в пространстве достаточно задать координаты полюсов и значения эйлеровых углов для каждого из тел. [c.301]

Для определения положения точки в пространстве пользуются также криволинейными координатами ( 47) положение твердых тел можно задавать не только эйлеровыми углами, но и другими параметрами, играющими аналогичную роль. Таким образом, для определения положения материальной системы в пространстве применяют самые разнообразные приемы. Любая совокупность параметров, достаточная для определения положения системы в пространстве, называется обобщенными координатами системы. При этом не предрешается вопрос о том, все ли координаты необходимы для указанной цели, нельзя ли определить положение системы при помощи только части этих параметров или вообще меньшего числа параметров. [c.301]

Так, например, положение системы п материальных точек, абсолютно жестко связанных между собой, может быть задано при помощи Зя декартовых координат (л , г/i, 2,) с другой стороны, поскольку точки системы образуют абсолютно твердое тело, для этой цели могут служить шесть параметров три координаты полюса (хо, Уо, 2о) и три эйлеровых угла (i[5, ф, 0). При этом две совокупности координат связаны следующими соотношениями [c.301]

Пусть /(г, f)—степень расширения среды, или якобиан преобразования от лагранжевых к эйлеровым координатам [c.142]

При постановке задач для преднапряженных сред сохраняется присущее нелинейным задачам различие в их описании в лагранжевой и эйлеровой системах координат. Заметим, что с точностью до отбрасываемых в процессе линеаризации членов, описание динамических процессов в системе координат Эйлера совпадает с описанием этих процессов в системе координат, связанной с НДК. Ниже, разлртчие между системами координат эйлеровой и НДК не проводится. [c.43]

Аналитическое определение положения абсолютно твердого тела. Эйлеровы углы. Покажем, каким образом можно задать шесть независимых параметров, однозначно определяющих положение абсолютно твердого тела. Пусть есть неподвижная прямоугольная система координат (основная система отсчета) и пусть абсолютно твердое тело неизменно связано с некоторой другой, подвижной, прямоугольной системой Oxyz (рис. 79). Координаты начала О под- [c.92]

В общем случае, когда начала обеих систем координат различны, можно определить положение твердого тела тремя числами а. Ь, с и эйлеровыми углами, определяющими положение подвижной системы Oxyz относительно третьей, промежуточной, системы координат начало которой совпадает с началом подвижной системы, а оси параллельны осям неподвижной. [c.94]

В классической линейной теории упругости твердое тело считается идеально упругим. Это означает, что в любой момент времени t в данной точке тела напряжения ст,/ зависят только от деформаций ец в этой же точке в тот же момент времени при той же температуре Т. Рассеяние W предполагается равным нулю. Перемещения Uh и их градиенты dukidxu считаются малыми. В этом случае лагранжевы и эйлеровы координаты можно считать совпадающими (х,=л ,). Для деформаций имеем выражение [c.112]

Для установления зависимостей между косинусами углов осей координат и эйлеровыми углами применим следующий прием. Введем, кроме единичных векторов осей координат , /,. к, V, У, к, на рис. 181 опущенных, еще единичные векторы следующих осей (рис. 181), п — линии ) ЗЛОВ ON П — оси ON, перпендикулярной к оси ON и лежащей в плоскости хОу, п — оси OjVI, перпендикулярной к оси ON и лежащей в плоскости х Оу. [c.264]

Уравнения переносного движения получим, фиксируя в равенствах (2) величины х, у, г. При этом поскольку координаты полюса АГо, уо, 2о известны как функции времени, а направляющие косинусы 11, 12,. .. выражаются согласно формулам (2) ГЛ. XIII через эйлеровы углы, которые в свою очередь также заданы как функции времени, то уравнения переносного движения сведутся к уравнениям движения твердого тела. [c.300]

Уравнения сохранения двухфазной среды в односкоростном приближении в лагранжевых переменных. Выведем дифференциальные уравнения сохранения масс фаз, импульса и энергии двухфазной смеси в лагранжевых декартовых координатах г (/с = 1, 2, 3), так что г (г , г , г ) определяет положение частицы среды в начальный момент времени. Текущее положение частицы среды определяется ее эйлеровыми координатами х плп концом вектора х(.г , х ), для которг.тх имеется уравнение перемещения [c.141]

Запишем полученные уравнения для нестационарного движения. определяемого одной пространст] енной координатой г (лаг-ранжева координата) или х (эйлерова координата), т. е. для [c.143]

Уравнения неразрывности, импульса и притока тепла (см. 2 гл. 1) в сферическп-симметричном случае, когда имеется только радич1 ьпое движение и когда все параметры зависят только от эйлеровой координаты г (расстояние до центра) и времени t, с учетом действия вязкости по закону Ньютона и теялопроводности [c.175]

Задачу об одномерном нестациэнарном движении односкорост-ной среды проще решать в лаграпжевых координатах (г, t), где г — расстояние материальной частицы от начала отсчета в начальный момент времени t = 0. ]начения параметров при t = Q будут снабжаться индексом О вн 1зу. В частности. ро = р( , 0) = = Ра(г) — плотность смесп при t= 0. Текущее положение частицы среды характеризуется эйлерово координатой х г, t), причем [c.48]

Здесь г(х, g) определяет эйлерову радиальную координату, или положение той микрочастиюы газа (в пузырьке с центром, имеющем координату х), которая в невозмущенном состоянии о находилась на расстоянии от гентра пробного пузырька. В невозмущенном состоянии о имеем г = . [c.86]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...