Вектор смещения

Наряду с вектором г рассмотрим вектор смещения s=.r—Го = 8(/ , Го), (141.22) [c.220]

Используя равенство (141.31), запишем вектор смещения в виде [c.221]

Это ра-венство определяет вектор смещения различных точек среды, попадающих в момент времени i в точку пространства г. Чтобы найти смещение какой-либо точки среды, занимающей положение Г1 в момент времени /ь дадим времени приращение А/. Тогда точка сместится на расстояние [c.221]

Вектор ускорения через вектор смещения, используя формулу (141.24), можно записать в виде [c.222]

Обобщенный Закон Гука для упругих сплошных сред тоже получают как линейную зависимость между тензором напряжений П и тензором деформаций 5, компоненты которого выражаются по формулам (36), только вместо вектора скорости и используется вектор смещения и, характеризующий деформацию сплошной среды. Тензор деформаций и обобщенный закон Гука для упругих сплошных сред подробно рассматриваются в теории упругости и курсах сопротивления материалов с элементами теории упругости. Здесь ограничимся только краткими сведениями, относящимся к обобщенно.му закону Гука. [c.556]

ВЕКТОР СМЕЩЕНИЙ, ТЕНЗОР ДЕФОРМАЦИЙ [c.499]

Вектор смещений, тензор деформаций и тензор скоростей деформаций [c.499]

Здесь вектор и (х ) называется смещением элемента среды М х ) при ее деформации, х — координаты элемента в недеформированной среде. Очевидно, деформируемая среда есть поле вектора смещения и х ). [c.500]

Обозначим вектор скорости смещения частицы деформируемого тела через V. Тогда вектор смещения частицы и за достаточно малый промежуток времени А/ можно приближенно представить равенством [c.502]

Если система координат х криволинейна, то величины w не будут компонентами вектора смещения. Лишь в то.м случае, когда координаты х являются декартовыми, можно положить [c.503]

Рассмотрим подобласть Qi области S3 достаточно малых размеров (по сравнению с й) и две точки М и iV в Qi. Пусть радиус-вектор точки М = а, N = a- -t a. Определим вектор смещения точки N относительно точки М с точностью до величии [c.10]

Заданное поле тензора деформаций не может быть совершенно произвольным. Действительно, три компонента вектора смещения удовлетворяют системе шести дифференциальных уравнений [c.12]

Пусть область 2 — односвязна и пусть М- (х, , xj, г )—некоторая точка области Q, в которой разыскивается вектор смещений и = и(хи х и xf). Соединим точки Mq и Mi некоторой кривой, лежащей целиком в Q. Если бы частные производные (5ы,/5ху были известны, то компоненты искомого вектора перемещения можно было бы определить криволинейным интегралом [c.12]

Замечание. В настоящее время интенсивно развивается так называемая теория дислокаций, в которой выполнение условий совместности не имеет места. Возможные случаи невыполнения условий совместности были впервые рассмотрены Вольтерра, который разработал теорию внутренних напряжений, образующихся в результате вырезания и выбрасывания части упругого тела и последующего соединения краев разреза. Вообще говоря, при такой операции возникают сингулярности, в которых поле напряжений возрастает до бесконечности. Вольтерра показал, что для образования непрерывных однозначных полей напряжений без сингулярностей должны быть выполнены два условия а) разрез должен пересекать рукав многосвязного тела б) края разреза должны быть жестко смещены друг относительно друга (на постоянный вектор смещения плюс вектор поворота). [c.14]

Плотность вещества р Вектор смещения U [c.8]

Часто бывает удобным пользоваться компонентами тензора деформации не в декартовых, а в сферических или цилиндрических координатах. Приведем здесь для справок соответствующие формулы, выражающие эти компоненты через производные от компонент вектора смещения в тех же координатах. В сферических координатах г, 6, ф имеем [c.12]

Остановимся на частном случае плоской деформации, при которой во всем теле одна из компонент вектора смещения равна нулю иг = 0), а компоненты и , Uy зависят только от х, у. При этом тождественно обращаются в нуль компоненты и , . Uyz тензора деформации, а с ними и компоненты уг тензора напряжений (но не продольное напряжение а , существование которого должно обеспечить постоянство длины тела вдоль оси 2). [c.32]

Пусть — однородное поле напряжений, которое имело бы место во всем пространстве при отсутствии полости при чистом сдвиге = 0. Соответствующий вектор смещения обозначаем как и< > и ищем искомое решение в виде и = = u< > + и , где обусловленная наличием полости функция u i> исчезает на бесконечности. [c.38]

Выберем систему координат с началом в какой-нибудь точке нейтральной поверхности и осью г, направленной по нормали к ней. Плоскость х, у совпадает с плоскостью недеформированной пластинки. Обозначим вертикальное смещение точек нейтральной поверхности, т. е. их 2-координату, посредством С (рис. 2). Что касается компонент смещений этих точек в плоскости х, у, то они являются, очевидно, величинами второго порядка малости по сравнению с и потому могут быть положены равными нулю. Таким образом, вектор смещения точек нейтральной поверхности [c.60]

Отсюда интегрированием (с помощью выражений (1,8) для компонент в полярных координатах) можно найти вектор смещения [c.73]

Предварительно выведем выражение для тензора деформации, определяющего растяжение пластинки (рассматриваемой как поверхность), подвергнутой одновременному изгибу и растяжению в своей плоскости. Пусть и есть двухмерный вектор смещения (с компонентами при чистом растяжении t, по-прежнему [c.76]

Перейдем теперь к изучению деформаций тонких стержней. Этот случай отличается от всех ранее рассматривавшихся тем, что вектор смещения и может быть большим даже при слабой деформации, т. е. при малом тензоре Uik ). Так, при слабом сгибании тонкого длинного стержня его концы могут значительно переместиться в пространстве, даже если относительные смещения соседних точек в стержне малы. [c.86]

В монохроматической упругой волне вектор смещения имеет вид [c.127]

Решение. При отражении под произвольным углом возникают как продольная, так и поперечная отраженные волны. Из соображений симметрии заранее ясно, что вектор смещения в поперечной отраженной волне будет лежать целиком в плоскости падения (рис. 20 Пс, nj, п( — единичные векторы вдоль направлений падающей, продольной и поперечной отраженных волн, а Uo, u , Uf — соответствующие векторы смещений). Полное смещение в теле равно сумме (общий множитель для краткости опускаем) [c.128]

Решение. Волна отражается в виде поперечной же и продольной волн, причем 0( = 00, t sin 0 = sin 0o. Полный вектор смещения [c.129]

Этим уравнением определяется зависимость частоты волны от волнового вектора об этой зависимости говорят как о законе дисперсии волн, а определяющее его уравнение называют дисперсионным. Уравнение (23,3) — третьей степени по со . Оно имеет три, вообще говоря, различных корня и = со/ (к) — три, как говорят, ветви закона дисперсии. Подставляя поочередно каждый из этих корней обратно в уравнения (23,2) и решая их, мы найдем направления вектора смещения и в этих волнах, — как говорят, направления их поляризации (в силу своей однородности, уравнения (23,2) не определяют, конечно, абсолютной величины век- [c.131]

Истинный вектор деформации и в волне является суммой векторов Uj и U,, компоненты каждого из которых удовлетворяют уравнению (24,1) со скоростью с = С для U и с = i для Ui. В случае объемных волн в неограниченной среде эти две части представляют собой две независимо распространяющиеся волны. В случае же поверхностных волн такое разделение на две независимые части оказывается (благодаря наличию граничных условий) невозможным. Вектор смещения и должен быть определенной линейной комбинацией векторов и, и По поводу этих последних надо также отметить, что они отнюдь не имеют теперь наглядного смысла [c.134]

Условие (27,1) означает, другими словами, что при наличии дислокации вектор смещения является неоднозначной функцией координат, получающей заданное приращение при обходе вокруг линии дислокации. Физически, разумеется, никакой неоднозначности нет приращение Ь означает дополнительное смещение точек решетки на один из периодов, что вообще не меняет ее состояния. В частности, тензор напряжений сг а, характеризующий упругое состояние кристалла, является однозначной и непрерывной функцией координат. [c.151]

Вычисление смещений As точек среды снова возвращает нас к переменным Лагранжа, где начальное положение точек определяется для даиного момента пространством переменных Эйлера. Однако смещения As в переменных Эйлера будут бесконечно малыми в отличие от вектора смещения s в переменных Лагранжа, который может быть конечной величиной. [c.221]

Заметим, что если вектор смещения s мал (что, например, имеет место в упругих телах), то будут малы скорости dsjdt точек сре- [c.222]

В области линейной деформации, характерной малыми смеще-НИЯМ1Г, вектор ускорения а определяется через вектор смещения s [см. формулу (141.37)] [c.241]

Уравнение Ламе равносильно системе трех линейных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами относительно проекций вектора смещення. [c.241]

Если имеют место уравнения несовместности (IV. 186), то поле вектора смещений нельзя определить по полю тензора деформаций, так как условиями интегрируемости равенств (IV. 69) относительно компонент вектора смещений является выполнение условий совместности. Это физически объясняется также тем, что инородная материя, характеризуемая тензором г),й, определяет дополнительное поле некоторого тензора деформаций. В этом случае увеличивается количество функциональных степенен свободы сплошной среды. Вместо трех степеней, определяемых компонентами вектора смещений, среда получает шесть степеней свободы, определяемых кохмпонентами тензора деформаций в трехмерном пространстве. Введение четвертого измерения также подлежит отдельному рассмотрению. [c.535]

Вектор U называют вектором деформации (или вектором смещения). Координаты x l смещенной точки являются, конечно, функциями от координат Xi той же точки до ее смещения. Прэтому и вектор деформации является функцией координат Xt. Задание вектора U как функции от Xt полностью определяет деформацию тела. [c.9]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...