Задача изопериметрическая

Эта задача изопериметрического типа (см. гл. II, п. 14). Видоизмененным интеграл имеет вид [c.106]

Задача 1. Найти функцию а у), реализующую минимум функционала (2.6) при изопериметрических условиях (2.8) и (2.9), при дифференциальных связях (2.п) и (2.15), при заданных величинах уа, Уь, I -1/)(, X VI функциях А ), в(У), о( ). при условии [c.70]

Задача 2. Найти функции а(у) и у>(у), из которых а[2 ( )] как функция от ф принадлежит классу 0, а <р[у ф) кусочно непрерывна, реализующие минимум функционала (2.6) при изопериметрических условиях (2.7)-(2.9), при дифференциальной связи (2.16), при заданных величинах Уд, уь, (1 -ь ) . и функциях А( ), ), >ро( ) и при условии [c.70]

При выполнении равенств (3.5)-(3.7) и изопериметрических условий задачи вариация 6х имеет вид [c.90]

Задача 3. Найти функцию а(ф), принадлежащую классу и реализующую минимум функционала (3.24) при изопериметрических условиях (3.25), (3.26), дифференциальных связях (3.27), (3.28), при заданных функциях ф), А ф), в ф), 1р ф) = <Ра ф), заданных величинах Уо> УЬ) -У, С, граничных условиях (3.29), (3.30) и условиях (3.31) в случае непрерывности функций а, 1 в точке с. [c.97]

Задача 4. Найти функции а ф) и p ф), из которых а ф) принадлежит классу о, а (р ф) кусочно непрерывна, реализующие минимум функционала (3.24) при изопериметрических условиях (3.25), (3.26), дифференциальных связях (3.27), (3.28), условии [c.97]

В важном частном случае г(1 - и) - О (осесимметричные течения или плоские течения без ограничения подъемной силы профиля) из (6.24), (6.25) вытекает неравенство Ug < О при дополнительных условиях ii О, (т > 0. Равенство (6.21) показывает, что в этом случае увеличение ст уменьшает величину J°, которая при выполнении изопериметрических условий и дифференциальных связей задачи 6 отличается от х на постоянную величину. Иными словами, сопротивление любого контура может быть уменьшено, если U < О и если вариация 6а > О допустима. [c.153]

Задача 7. Найти функции а ф), o (V ). из которых a(V>) принадлежит классу d, а а -ф) принадлежит классу Е, реализующие минимум функционала (6.7) при изопериметрических условиях (6.8), (6.9) дифференциальных связях (6.10), (6.11), условии (6.27), при заданных величинах уа, уь, Фа, С, X, фаничных условиях (6.12), (6.19) и условиях (6.14)-(6.16), если разрыв функций в точке с обусловлен только головной ударной волной. Во всяком случае разрывы функций a ip), должны принадлежать классу. [c.154]

Изопериметрическую задачу переформулируем так требуется найти такую кривую у" (экстремаль), что Ф = О для любой вариации 6, обращающей в нуль значение Ф. Пусть задана соверщенно произвольная вариация 6. Тогда вариация 6 может быть получена по формуле [c.604]

Теорема 8.11.3 обосновывает метод множителей Лагранжа для изопериметрических задач (сравните с замечанием 4.6.2). Рецепт решения задач по этому методу состоит в том, что ищется безусловный экстремум функционала Ф -I- АФ. Его экстремаль 7 будет зависеть от скалярного параметра А. Параметр А находится из условия, что Ф(7 ) = с. [c.605]

Эйлер (1707—1783). Эйлер внес очень существенный вклад в развитие теоретической механики. При изучении вращения твердого тела он впервые использовал кинематические переменные, введя в качестве вспомогательных переменных три компоненты угловой скорости. Замечательны его пионерские работы в области вариационной механики. Эйлер начал систематическое изучение вариационных задач иногда называемых изопериметрическими . Эти задачи на максимум-минимум привлекали к себе внимание лучших умов — таких, как Ньютон.. Лейбниц. Яков и Иоганн [c.389]

Здесь можно также привести подробности открытия, о котором я раньше известил Академию полное интегрирование дифференциальных уравнений, составленных Лежандром, от которых зависит существование максимума или минимума в изопериметрической задаче. Метод, которым я пользуюсь, есть новое и замечательное приложение известного метода вариации произвольных постоянных он основывается в принципе на важных свойствах [c.289]

Я. Бернулли решил не только задачу о брахистохроне, но показал также, как могут быть решены аналогичные более трудные задачи. Из таких задач наибольшую известность получила изопериметрическая задача (в узком смысле слова), т. е. задача об определении той линии из всех простых замкнутых линий, имеющих данную длину, которая охватывает наибольшую площадь. [c.787]

Поставленная задача относится к числу изопериметрических задач вариационного исчисления. [c.226]

Введем для решения этой задачи функции q и т, что бьши введены в 3.3 и 3.4. Тогда получим простейшую изопериметрическую задачу, вполне аналоги иую той, которая была рассмотрена в 3.4. [c.81]

Таким образом дифференциальные уравнения всех изопериметрических задач, в которых под знаком данного интеграла находятся только первые производные, имеют форму [c.131]

Изопериметрическую задачу можно свести к общей задаче на условный экстремум, полагая [c.51]

Для того чтобы функции Уп были допустимыми в рассматриваемой задаче, необходимо удовлетворить граничным, изопериметрическим н другим условиям. Если граничные условия однородны, то проще всего выбирать и координатные функции удовлетворяющими этим условиям. Тогда для любых [c.21]

Отметим, что рассматриваемая схема задачи охватывает случаи разбега (и = 0, р О), торможения афО, р = 0), рабочего перемещения (а = 0, р = 0), перехода с одной скорости на другую (афО, фО). Искомый закон движения должен быть определен из условия минимума функционала (11.15) при наличии изопериметрического условия (11.16), граничных условий (11.17) и (11.18). [c.30]

При постановке задач оптимизации формы поперечного сечения дебалансов предъявляют разные требования и ставят различные дополнительные условия и ограничения. Как правило, эти задачи являются изопериметрическими вариационными. Наиболее часто возникают три задачи [4, 5] [c.255]

Сказанное иллюстрирует рис. 2 кривые РР (штриховые линии) и ЗР (отрезки сплошных линий 1) построены для двух волнолетов (кривые 1 соответствуют изопериметрической задаче с Су = [c.674]

Рассмотрим решения задачи (3), отвечающие трем способам задания константы во втором изопериметрическом условии. При первом (I) указанная константа рассчитывается с использованием значений необходимых параметров, реализующихся в задаче (2) при 7 = 90°, при втором (II) 7 = 80° и при третьем (III) 7 = 7 . Результаты численных расчетов К (г, е, т) Су (г, ае, 7) волнолетов с геометрическими параметрами, определенными при решении задачи (3), представлены соответственно на рис. 1 и рис. 3. Сплошными линиями 1-4 нанесены данные расчетов, отвечающие решениям задачи (3) в случае I (для Су = yi, г = 1-4) сплошными линиями 1 -4 (рис. 1) и штриховыми линиями 1-4 (рис. 3) — в случае II штрих-пунктирными линиями К1-К4 — в случае III. Начала кривых, соответствующих случаям II и III, отмечены точками 1. Линии К1 и К2 практически совпадают с линиями 1 и 3 (рис. 1). Описанные кривые однопараметрических семейств К(т, 7) и (7 (г, 7) (ае G (11.3°, 15.1°)) [c.677]

В целом предложенная методика перехода от изопериметрической задачи (2) к задаче (3) в условиях гиперзвукового вязкого взаимодействия и на режимах обтекания У-образного крыла — нижней поверхности волнолета с присоединенной на передних кромках ударной волной позволила провести анализ аэродинамического качества во всей области допустимых значений угла раскрытия крыла и установить, что в случае непрерывной зависимости К от параметров замена плоской нижней поверхности волнолета на У-образное крыло может приводить к увеличению К не на 18% [1], а более чем на 25%, а в области бифуркации — более чем на 35%. Максимальные значения К достигаются в окрестности звуковых режимов течения на передних кромках крыла. [c.679]

Большое число изопериметрических задач, относящихся к проблеме кручения, рассмотрено в монографии [c.921]

Принцип максимума энтропии стационарного состояния динамической системы под действием случайных сил приводит, как показано выше, к изопериметрической вариационной задаче. В качестве дополнительных условий выступают моментные соотношения, образующие в общем случае бесконечную связанную систему уравнений. Для. построения приближенного решения естественно использовать последовательность усеченных систем. [c.57]

Второе дополнительное условие состоит в требовании равновесности процесса роста трещины. Иными словами, весь поток энергии, возникающий в связи с возможным приращением длины трещины, целиком затрачивается только на разрушение. При этом трещина при медленном возрастании пли падении внешней нагрузки будет медленно и устойчиво распространяться вдоль искомой траектории. Ванчно, чтобы внешняя нагрузка соответствующим образом уменьшалась в области падающей зависимости внешнего усилия от длины трещины в предельном состоянии равновесия. Итак, это дополнительное условие может быть представлено в виде dl/dl = 0. Вместе с тем в изопериметрической задаче вариационного исчисления при наличии условия типа [c.203]

Лагранж (1736—1813). Достижения Лагранжа, этого величайшего математика XVIII века, во многих отношениях параллельны работам Эйлера. Лагранж вполне независимо от Эйлера получил решение изопериметрических задач, сделав это совершенно новыми методами. Он разработал для этой цели новое, вариационное исчисление. Он также понял преимущество вариационных принципов в связи с той свободой, которую мы получаем, описывая положение механической системы при помощи выбираемой по нашему усмотре-ншо совокупности параметров ( обобщенные координаты ). Если принцип виртуальных перемещений и принцип Далам-бера позволили рассматривать механическую систему как нечто целое, не разбивая ее на изолированные частицы, то уравнения Лагранжа добавили еще одно, чрезвычайно важное свойство — инвариантность относительно произвольных преобразований координат Это позволило выбирать системы координат, удобные для данной конкретной задачи. В своей Аналитической механике (1788) Лагранж создал новое, необычайно мощное оружие для решения любых механических задач при помощи чистых вычислений, без каких бы то ни было физических или геометрических соображений, при условии, что кинетическая и потенциальная энергии заданы в абстрактной аналитической форме. Относясь к этому выдающемуся результату со своей обычной скромностью. Лагранж писал в предисловии к своей книге Читатель не найдет в этой книге рисунков. Развитые мною методы не требуют ни каких бы то ни было построений, ни геометрических или механических аргументов — одни только алгебраические операции в соответствии с последовательными едиными правилами . Лагранж таким образом создал программу и основания аналитической механики. [c.390]

В письме от 28 января 1741 г. Даниил Бернулли спрашивал Эйлера, может ли он решить проблему центральных сил методом изопериметров. Эйлер нашел решение этой задачи в марте 1743 г. В 1744 г. оно было опубликовано им в приложении Об определении движения брошенных тел в несо-противляющейся среде методом максимумов и минимумов к знаменитой книге Метод нахождения кривых линий, обладающих свойствами максимума или минимума, или решение изопериметрической задачи, взятой в самом широком смысле . Эйлеру, как правильно указывает Серре ), принадлежит исторически первая отчетливая идея математического содержания, которое вкладывается наукой в принцип наименьшего действия. Именно Эйлер в 1744 г. в указанном приложении показал, что для траекторий, описываемых под действием центральных сил, интеграл vds, где v — скорость, всегда равен минимуму или максимуму. Эйлер не дал этому выражению какого-либо специального наименования. [c.788]

Функщ1я Ляпунова, построенная в [37], предполагает фиксированный момент количества движения, не зависящий от формы движения. Задача в [37] - изопериметрическая с фиксированным моментом количества движет я. Поэтому построить функцию Ляпунова в том случае, когда момент количества движения зависит от радиуса свободной поверхности, невозможно. [c.64]

Из (4.64) и (3.31) видно что в соответствии с принципом взаимности изопериметрических задач семейство экстремалей в обоих уравнениях одинаково. Но при этом энергия оказьтается неизвестной. Она может быть задана только в неустойчивом состоянии, а переход от него к устойчивому состоянию, т. е. гидравлический прыжок второго рода, происходит при постоянном значении полного импульса, так как в теории прыжка, равно как и в теории Бенджамина, внешние силы не учитываются. Но если импульс остается постоянным, в прыжке неизбежны потери энергии, и то значение энергии, которое будет после прыжка, меньше того, которое было в исходном неустойчивом состоянии. Поэтому можно со всей определенностью сказать, что принцип экстремума импульса Бенджамина для устойчивого состояния верен, но бесполезен энергия, при которой достигается экстремум импульса, наперед не известна и может быть определена только после использования уравнения количества движения и нахождения потерь энергии в прыжке. Необходимо добавить также, что основная идея, высказанная Бенджамином о том, что взрыв вихря представляет собой переход от неустойчивого состояния вращающегося потока к устойчивому его состоянию, бесспорна. [c.81]

В задачах с. неподвижндми концами для определения постоянных интегрирования используем граничные условия (1.4) или (1.5). В задачах с подвижными концами для этой цели привлекаются условия трансверсальности. Неопределенный множитель X определяется из изопериметрического условия (1.10). К достоинствам этого точного метода относится то, что оптимальный закон движения выбирается из класса функций, удовлетворяющих минимальному количеству дополнительных условий (непрерывности, граничным и изопериметрическим условиям), т. е. только дополнительным условиям первой группы. Следовательно, имеются основания полагать, что найденный таким образом закон движения сообщает поставленной задаче наиболее сильный оптимум в допустимом классе функций. [c.20]

Формулировка Мопертюи принципа наименьшего действия была еще весьма несовершенна. Первая научная формулировка принципа была дана Эйлером в том же 1744 г. в сочинении Метод нахождения кривых линий, обладающих свойствами максимума либо минимума, или решение изопериметрической задачи . Он сформулировал свой принцип следующим образом интеграл J mvds имеет наименьшее значение для действительной траектории, рассматривая последнюю в группе возможных траекторий, имеющих общие начальное и конечное положения и осуществляющихся с одним и тем же значением энергии. Эйлер дает своему принципу точное математическое выражение и строгое обоснование для одной материальной точки, подчиненной действию центральных сил. На протяжении 1746—1749 гг. Эйлер написал несколько работ о фигурах равновесия гибкой нити, где принцип наимень шего действия получил применение к задачам, в которых действуют упругие силы. Дальнейшее продвижение здесь было достигнуто трудами Ж. Лагранжа. [c.185]

В свете последнего замечания рассмотрение случая tf > tq начнем с постановки задачи на искомой траектории для плоского поршня и So = onst. Работу А возьмем в форме (1.8), а изопериметрическое условие — задание разности координат поршня [c.319]

Представляет интерес вариационная задача, в которой ищется максимум г-го функционала при изопериметрических условиях, получающихся при задании остальных Kjфi Такова, например, задача о построении магнитогидродинамического генератора заданной мощности при минимальной джоулевой диссипации. Составим функцию [c.609]

Решение рассматриваемой изопериметрической задачи при постоянных параметрах потока, даже в классе V-образных крыльев с заданным углом 7, сталкивается со значительными трудностями, обусловленными не столько необходимостью проведения массовых параметрических расчетов обтекания крыльев на разных и заранее неизвестных в силу условия Су = onst режимах, сколько из-за не-разрешенности вопросов существования и единственности. Поэтому г и Су не задаются, а рассчитываются для некоторой последовательности волнолетов с плоской нижней поверхностью (7 = тг/2) [1]. Такой подход позволил при 7 G [тг/2, 7 ] получить зависимости К ) (рис. 1, штриховые кривые 1-4) и сравнить аэродинамическое качество V-образного крыла с аэродинамическим качеством эквивалентного плоского треугольного крыла на режимах обтекания с присоединенной на передних кромках ударной волной. [c.674]

Отметим, что интервал изменения угла 7 ограничен минимальным значением 7 , до которого проводился расчет Х(т, 7) [1]. При 7 1т ухудшалась сходимость итераций по а при отыскании корня изопериметрического условия Су т 7, а) = onst, причина чего будет ясна из дальнейшего. Таким образом, согласно результатам [1] поиск зависимости К ) в рамках изопериметрической задачи с заданными т ж Су при 7 < 7 стандартными приемами оказался затруднительным и потребовал создания специальных подходов. [c.674]

В тех случаях, когда не удается подобрать систему координатных функций, удовлетворяющих всем граничным условиям, в методе Релея — Ритца и Тимошенко можно потребовать, чтобы ряд (2.1) в целом удовлетворял граничным условиям. Полученные дополнительные условия вместе с минимизацией энергии или усилия приводят к изопериметрической задаче. В эгом случае используется метод неопределенных множителей Лагранжа [6.26]. [c.81]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...