Обобщение принципа Гамильтона

J 2.4J ОБОБЩЕНИЕ ПРИНЦИПА ГАМИЛЬТОНА 51 [c.51]

Обобщение принципа Гамильтона на неконсервативные и неголономные системы. Принцип Гамильтона можно обобщить, по крайней мере формально, и на неконсервативные системы при этом мы придем к уравнениям Лагранжа в форме (1.50). Обобщенный таким путем принцип записывается следующим образом [c.51]

ОБОБЩЕНИЕ ПРИНЦИПА ГАМИЛЬТОНА [c.53]

Отсюда видно, что уравнение (2.17) представляет обобщение принципа Гамильтона в форме (2.2), приводящее к уравнениям Лагранжа для случая неконсервативных сил. [c.53]

ОБОБЩЕНИЕ ПРИНЦИПА ГАМИЛЬТОНА 55 [c.55]

Обобщение принципа Гамильтона 51 Обобщенная сила 28 Обобщенный импульс 61 [c.413]

Если q = О, Д / = 0, Д- = О, то мы имеем ASj = 0 это равенство представляет обобщение принципа Гамильтона ( 105). Если крайние конфигурации и переменны, то мы будем иметь [c.277]

Дальнейшие замечания об обобщении принципа Гамильтона. Если движение о, к которому относится интеграл Гамильтона S, удовлетворяет лагранжевой системе (31), то на основании выражения (39) имеем Л = О, потому что, по предположению, биномы 2, обращаются в нуль с другой стороны, как мы видели в п. 43 гл. V, в качестве следствия из лагранжевых уравнений имеет место соотношение [c.427]

Обобщение принципа Гамильтона, принадлежащее Гельмгольцу [c.452]

Мы не прибавим ничего другого к этому указанию, ограничиваясь напоминанием, что важные следствия из этого обобщения принципа Гамильтона были даны Пуанкаре ). [c.454]

Обобщение принципа Гамильтона, изложенное в п. 31, приводит к каноническим уравнениям. Гельмгольц указал также новую форму обобщения того принципа Гамильтона, которая, наоборот, приводит к уравнениям Лагранжа. Пусть 2 есть какая-нибудь функция от 2я +1 аргументов Яь Як > Чп 22. 2 , и пусть [c.461]

Используя тензорное исчисление в большей степени, чем это делалось до сих пор, можно записать полученные результаты в форме, отличной от той, которая была приведена в предыдущем разделе. Исходным пунктом служит здесь то обстоятельство, что скалярную величину т, т. е. собственное время, можно рассматривать как обобщение переменного t, потому что последнее является скаляром в нерелятивистской механике. Тогда обобщенный принцип Гамильтона примет вид [c.145]

Было установлено, что свойства непрерывных сред можно суммарно выразить в форме обобщенного принципа Гамильтона [c.153]

Уравнения движения являются следствием обобщенного принципа Гамильтона — Остроградского. Законность применения этого принципа, по существу, не рассматривается и он вводится посредством формального определения. Поэтому, быть может, и возникли термины лагранжев и гамильтонов формализм . [c.11]

В работе Y.-Y. Yu [3.174] (1965) построена линейная теория оболочек на основе обобщенного принципа Гамильтона—Остроградского и метода степенных рядов. На основе вариационного принципа в криволинейных ортогональных координатах выводится обобщенное вариационное уравнение движения упругой среды. Затем компоненты вектора перемещений и тензора деформаций представляются в виде бесконечных рядов и подставляются в вариационное уравнение [c.185]

В 1848 г. были опубликованы исследования М. В. Остроградского, содержащие некоторые обобщения принципа Гамильтона, в частности, распространение принципа Гамильтона на системы, функция Лагранжа которых может зависеть не только от координат, скоростей и времени, но и от ускорений любого порядка ). Однако в настоящем курсе мы не будем рассматривать обобщения М. В. Остроградского. [c.246]

Покажем, как исходя из принципа Гамильтона — Остроградского, получить уравнения Лагранжа второго рода. Пусть qi(t), <72(0. . (О обобщенные координаты, соответствующие прямому пути консервативной голономной механической системы. Рассмотрим окольный путь, определяемый функциями г+б г,. ... .., js- 6qs. Тогда, с точностью до членов первого порядка малости по сравнению с бдт и б т, будем иметь [c.215]

Результат (8.13) также называют принципом Гамильтона — Остроградского, однако следует иметь в виду, что это уже не вариационная формулировка, а лишь утверждение, что этот интеграл равен нулю. В самом деле, выделяя в обобщенных силах консервативные силы [c.222]

Принцип Гамильтона справедлив только для консервативных систем, то есть для систем, находящихся под действием потенциальных или обобщенно потенциальных сил. Неконсервативные механические системы подчиняются принципу Остроградского. [c.615]

Тем самым в изучаемом принципе начальный и конечный моменты времени (в отличие от принципа Гамильтона) не фиксированы, но связаны значением обобщенного интеграла энергии. [c.617]

Заметим, что принцип Гамильтона — Остроградского допускает обобщение на случай сил, не принадлежащих потенциальному силовому полю. [c.103]

Принцип Гамильтона позволяет очень просто вывести дифференциальные уравнения движения в обобщенных координатах Лагранжа q Пусть, как раньше, голономные связи определены уравнениями [c.214]

Вывод уравнений Лагранжа из принципа Гамильтона.— Предположим, что система имеет к степеней свободы и что ее положение определяется при помощи к обобщенных координат 1, При переходе из положения Р ) [c.222]

Принцип Гамильтона в случае, когда существует силовая функция.—Принцип Гамильтона принимает особенно простую и изящную форму, когда имеется силовая функция и, которая может содержать также и время. При этом силовая функция может существовать только для обобщенных координат. Это значит, что при переменных и вариациях произвольных и для Ь постоянного имеем [c.224]

Теперь мы можем сформулировать интегральный принцип Гамильтона для консервативных систем (в более широком смысле, т. е. допускающих обобщенные потенциалы) истинное движение системы в промежутке от /, до /2 таково,. что интеграл [c.43]

Можно показать, что в случае, когда силы Qj имеют обобщенный потенциа л, уравнение (2.19) приводится к принципу Гамильтона в обычной форме. Действительно, интеграл от виртуальной работы будет тогда равен [c.52]

Преимущества вариационной концепции. Хотя принцип Гамильтона в форме (2.2) можно распространить на случай неконсервативных систем и неголономных связей, однако практически этот принцип наиболее полезен тогда, когда можно составить лагранжиан из независимых координат. Вариационный принцип Гамильтона в компактной форме содержит в себе всю механику консервативных голономных систем. Кроме того, этот принцип имеет то достоинство, что в его формулировке фигурируют только такие физические величины, которые не связаны с частной системой обобщенных координат (кинетическая и потенциальная энергии). Поэтому этот принцип автоматически инвариантен относительно преобразования обобщенных координат системы. [c.58]

Возможны, однако, и другие обобщения классической механики, порождаемые более тонкой аналогией. Мы видели, что принцип Гамильтона дает возможность компактно и инвариантно сформулировать уравнения механического движения. Подобная возможность имеется, однако, не только в механике. Почти во всех областях физики можно сформулировать вариационные принципы, позволяющие получить уравнения движения , будь то уравнения Ньютона, уравнения Максвелла или уравнения Шредингера. Если подобные вариационные принципы положить в основу соответствующих областей физики, то все такие области будут обладать в известной степени структурной аналогией. И если результаты экспериментов указывают на необходимость изменения физического содержания той или иной теории, то эта аналогия часто показывает, как следует произвести подобные изменения в других областях. Так, например, эксперименты, выполненные в начале этого века, указали на то, что как электромагнитное излучение, так и элементарные частицы обладают квантовой природой. Однако методы квантования были сначала развиты для механики элементарных частиц, описываемой классическими уравнениями Лагранжа. Если электромагнитное поле описывать с помощью лагранжиана и вариационного принципа Гамильтона, то методами квантования элементарных частиц можно будет воспользоваться для построения квантовой электродинамики (см. 11.5). [c.60]

Форма этого равенства показывает, что t можно рассматривать как (п+ 1) Ю обобщенную координату, а Н — как соответствующий ей обобщенный импульс ). Поэтому модифицированный принцип Гамильтона можно записать также в виде [c.269]

Эту форму и подразумевают обычно, когда говорят о принципе Гамильтона она справедлива (см. стр. 135) для консервативных систем. Напротив, формулу (33.11) мы называем принципом Гамильтона, обобщенным для случая неконсервативных систем . [c.246]

Обобщение принципа Гамильтона. При доказательстве предыдущей теоремы мы фиксировали не только концевые точки, но также и начальный и конечный моменты времени. Первое из этих требований несущественно, что же касается второго, то оно связано с серьезными неудобствами. Однако если налон ить на систему соответствующие ограничения, то можно получить вариационный принцип, в котором начальный и конечный моменты времени будут изменяться желаемым образом. [c.537]

Замена независимой переменной. Важное и существенное свойство вариационных принципов заключается в том, что их легко можно выразить в любых выбранных координатах. Это обстоятельство уже отмеча1лось нами ранее (в 6.3) при выводе уравнений Лагранжа из принципа Гамильтона. Обобщение принципа Гамильтона (26.6.2) дает возможность пойти дальше в этом направлении и произвести замену независимой переменной. Введем вместо t новую независимую переменную 0, связанную с t соотношением [c.537]

Такими процессами можно апроксимировать тепловые движения, исследуя их с помощью обобщенного принципа Гамильтона. Найденные аналоги не принесли сколько-нибудь нового и перспективного понимания тепловых явлений, в то время как статистическая механика вскрыла глубокий смысл необратимости в учении о вероятности состояния системы и о флуктуациях, представление о которых чуждо классической механике. Однако рассмотренное направление дало ряд результатов, которые обогатили физическую науку обобщение принципа Гамильтона, теорию цикли- [c.852]

Сопоставление принципа Гамильтона с принципом наименьшего действия Эйлера—Лагранжа показывает, что первый допускает более широкое обобщение. Принцип Гамильтона является наиболее общей и абстрактной формой изложения физической сущности лгеханики. Почти для всех разделов физики можно найти вариационные принципы, которые приведут к соответствующим уравнениям движения при таком построении теории этих отделов физики будут характеризоваться известной структурной аналогией, имеющей серьезную познавательную ценность. [c.865]

Горак выводит для склерономной и реономной неголономных систем в голономных и неголономных координатах, а также в склерономных параметрах обобщенные уравнения Ньютона, Лагранжа — Эйлера и Аппеля — Гиббса. Из этих уравнений получаются как частные случаи уравнения Больцмана, Чаплыгина — Воронца, Ценова и др. Из уравнений Горака можно получить также обобщенный принцип Гамильтона — Остроградского и обобщенные уравнения неголономной динамики в канонической и естественной формах. С целью упрощения установленных им уравнений 3. Горак строит неголономное многообразие со специальной метрикой — вселенную системы. Во вселенной системы, как оказывается, уравнения Лагранжа—Эйлера и Аппеля — Гиббса получают весьма простой вид. Во вселенной обобщаются также вариационные принципы механики — принципы Гаусса — Герца наименьшей кривизны и Гамильтона — Остроградского наименьшего действия. 3. Горак показывает, что принцип Гамильтона — Остроградского эквивалентен уравнениям линии вселенной . Рассматривая время как временной параметр и вводя понятие пространственно-временной силы , 3. Го-раку удалось значительно упростить выражения дифференциальных урав- 105 нений движения неголономной системы. [c.105]

Вывод дифференциальных уравнений движения ОТС основан на обобщенном принципе Гамильтона-Остроградского с учетом нерастя-жимости троса [c.407]

В заключение необходимо подчеркнуть, что создание аналитической механики неголономных систем по аналогии с тем, что имеет место для голономных систем, натолкнулось на ряд и сейчас непреодоленных препятствий. Характерным примером могут служить трудности, возникшие лри обобщениях метода Гамильтона — Якоби на неголономные системы. После теории приводящего множителя С. А. Чаплыгина, относящейся к 1902 г., последующие работы, по существу, ничего не прибавили, Неудач-ность этих попыток получила объяснение в работах И. С. Аржаных (1965 и др.), где указаны необходимые и достаточные условия применимости метода Гамильтона — Якоби к неголономным системам и из которых следует, что этот метод в общем случае к неголономным системам неприменим, а его обобщения далеко не элементарны, и по-видимому, мало эффективны. С неудачей попыток обобщения метода Гамильтона — Якоби тесно связана неприменимость и отсутствие прямых обобщений принципа Гамильтона. Уже Герц на примере катящегося без скольжения шара обнаружил неприменимость принципа Гамильтона к неголономным системам. Предпринимаемые затем попытки обобщения (при этом не имеются в виду формальные обобщения типа тех, которые были предложены Гельде-ром или Гамелем), как известно, не привели к успеху. В качестве одной жз работ, обосновывающих неуспехи обобщений, можно указать работу И. Л. Хмелевского (1960). Обобщения принципа Гамильтона и метода Гамильтона — Якоби, а также ряд других вопросов аналитической механики неголономных систем рассматривались в работах В. С. Новоселова (1957—1962), Г. С, Погосова, М. А. Хохлова и Ю. П. Бычкова (1965), [c.176]

Существенным является обоснование распространения вариационных принципов Даламбера — Лагранжа, Журдена, Гаусса, Гамильтона — Остроградского на механику сплошной среды. Даны примеры применения принципа Гаусса в теории соударения твердых тел, в обобщенной термомеханике, в механике плит и оболочек, а также обобщенного принципа Гамильтона — Остроградского в континуальной теории сред с дефектами внутреннего строения вещества, к термоупругой среде при конечной скорости распространения тепла. Принцип Гамильтона — Острогралского также позволил составить обобщенные уравнения Лагранжа второго рода механики сплошной среды. [c.4]

Как инструмент для изучения произвольных голономных систем материальных точек получены уравнения Лагранжа второго рода и канонические уравнения Гамильтона [66]. Дается понятие о лагран-жевом формализме [1, 36]. Изучается поведение полной энергии системы в зависимости от структуры обобщенных сил и кинетической энергии. Дается метод циклических координат [5, 58]. Устанавливается, что для голономных систем интегргипы количества движения, кинетического момента и обобщенный интегргия энергии Якоби [70] всегда могут быть представлены как следствие существования соответствующих циклических координат. Указывается на возможность использования аппарата теории групп для поиска интегралов движения [5]. Изложение вариационных принципов Гамильтона и Мопертюи-Лагранжа-Якоби [17, 38, 70] выполнено в соответствии с современной теорией оптимальных процессов [2, 5, 13]. Геометрически наглядная трактовка придана теории малых колеба- [c.12]

Этот принцип содержится в работах У. Гамильтона, опубликованных в 1834—1835 гг. (см. сборник Вариационные принципы механики , М., 1959, стр. 239). При этом Гамильтон предполагал, что исходная система склерономна (он исходил из представления кинетической энергии Г в виде квадратичной формы от обобщенных скоростей). Для общего с.1учая нестационарных связей этот принцип был сформулирован и обоснован М. В. Остроградским в 1848 г. (там же, стр. 770—771, 829). В связи с этим данный принцип иногда называют принципом Гамильтона—Остроградского. [c.105]

Принцип Гамильтона можно распространить и на неголо-номные системы. При выводе уравнений Лагранжа из принципа Гамильтона или из принципа Даламбера мы использовали требование голономности связей только на последнем этапе, когда считали вариации 6qj независимыми. В случае неголономной системы ее обобщенные координаты не являются независимыми и не могут быть связаны друг с другом уравнениями связи вида f(q,, q2,. .., qn, t) — Q. Однако рассмотрение неголономных систем оказывается возможным, если уравнения их связей можно представить в виде [c.53]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...