Условие Вейерштрасса

Необходимые условия оптимальности для задачи (8.1) — (8.4) строятся с помош,ью необходимого условия Вейерштрасса сильного минимума функционала I. [c.190]

Принцип максимума обобщает известные необходимые условия экстремума функционала в классич. вариационном исчислении и в случае отсутствия ограничений типа неравенств эквивалентен условию Вейерштрасса. [c.509]

Условия Вейерштрасса и Лежандра (достаточные условия экстремума). [c.672]

Таким образом, каждой экстремали соответствует слабый минимум (см. стр. G74), если выполняется условие Якоби (63). Однако, поскольку выпуклость функции F для данных значений л, у, г, т. е. для данного п, направлена вниз при всех х, у, то из геометрического истолкования условия Вейерштрасса следует, что минимум является сильным. [c.676]

Если ы81< 1, то принцип максимума совпадает с необходимым условием Вейерштрасса [2], если же 1ив 1, то классическое условие Вейерштрасса становится непригодным. [c.705]

Достаточное условие равномерной сходимости (признак Вейерштрасса) если для всех х [а, Ь] где с — общий член [c.102]

Используя в этом условии формулу прибавления периода о-функ-ций Вейерштрасса, [c.110]

Достаточное условие равномерной сходимости признак Вейерштрасса) если для всех х е. [а, Ь] имеем (х) < С , п = О, 1, где С — общий член сходящегося числового ряда, то ряд (4.15) сходится на [а, Ь] равномерно. [c.99]

В некоторых случаях выполнение достаточных условий определяется знаком величины (П2.42) при 6V> О функция К(д ) сообщает функционалу (П2.33) минимум, а при SV<0 максимум. В других случаях требуются более сложные исследования на основе достаточного условия К.Вейерштрасса. [c.272]

Задача построения математически непротиворечивой теории оболочек, являющейся корректно разрешимой и обеспечивающей выполнение всех независимых физических краевых условий, связана с необходимостью отказа от всех упрощающих физических и геометрических гипотез и использованием математически строгих методов редукции уравнений теории упругости. Сюда можно отнести проекционный метод уменьшения размерности дифференциальных уравнений в частных производных, основанный на том, что любую непрерывную функцию можно равномерно приблизить полиномами (теорема Вейерштрасса). Он представляет собой обобщение классических приближенных методов (метода моментов, метода Бубнова—Галеркина и др.) в рамках функционального анализа [75]. [c.8]

На последнем заседании Академии г. Фукс прочитал свою работу, которая, кажется, замечательно хороша. Я ее не читала, так как она еще не появилась в печати, но я познакомилась с нею частью по рассказам Кронекера и частью по рассказу самого Фукса. Представьте себе, что Фуксу удалось найти необходимые и достаточные условия для того, чтобы нелинейное дифференциальное уравнение обладало основным свойством линейных уравнений, именно чтобы критические точки его интегралов не зависели от начальных данных. Не правда ли, что это замечательно Особенно замечательно то, что Фукс никому никогда не рассказывал об этой работе, и еще за несколько дней до заседания он говорил, что сделает свое сообщение против желания. Странный человек этот Фукс. Теперь ясно, что Вейерштрасс прав и что в Фуксе гораздо больше материала , чем можно было предполагать. .. [c.21]

Обозначим через С (У") класс функций, аналитических в области С К . Множество М С V назовем ключевым (или множеством единственности) для класса если любая аналитическая функция, равная нулю на М, тождественно обращается в нуль всюду в V. Таким образом, если аналитические функции совпадают на М, то они совпадают на всем V. Например, множество точек интервала Д С К является ключевым для класса С (Д) в том и только в том случае, когда оно имеет предельную точку внутри Д. Достаточность этого условия очевидна, необходимость вытекает из теоремы Вейерштрасса о бесконечном произведении. Отметим, что если М — множество единственности для класса функций СР У) (О р оо), то М плотно в V. [c.179]

Здесь уместно вспомнить, что по определению гильбертово ( -пространство является полным. Это означает, что любая последовательность подчиняющаяся сильному условию Коши, т. е. Н / — -> О, является в этом пространстве сильно сходящейся. Однако гильбертово пространство обладает полнотой также и в слабом смысле ([947], т. 1, стр. 71). Множество векторов называется компактным, если во всякой принадлежащей ему последовательности содержится сильно сходящаяся подпоследовательность множество векторов называется слабо компактным, если из каждой последовательности, входящей в это множество, можно выделить слабо сходящуюся подпоследовательность. Часто оказывается полезным то обстоятельство, что любое ограниченное (в сильном смысле) множество в гильбертовом пространстве является слабо компактным ([947], стр. 79). Это утверждение— слабый аналог теоремы Больцано — Вейерштрасса, которая не справедлива для гильбертова пространства в сильном смысле. Верно и обратное утверждение каждая слабо сходящаяся последовательность является ограниченной в сильном смысле ([947], стр. 71). [c.163]

Кроме того, известно, что функция Вейерштрасса удовлетворяет условиям [c.359]

Решение вариац. задачи (1), (2) необязательно должно быть непрерывно дифференцируемым. В общем случае оптимальное решение х (/) может быть кусочно дифференцируемой ф-цией. Тогда в угл. точках х(1) должны вьшол-няться необходимые условия Вейерштрасса—Эрдмана, обеспечивающие непрерывность при переходе через угл. точку выражений Fi и F—xF , а на отрезках между соседними угл. точками ф-ция (/) должна удовлетворять [c.496]

Л. у. Кусочно гладкие линии, составленные из кусков экстремалей и удовлетворяющие в угл. точках условиям Вейерштрасса—Эрдмана, наз. ломаными экстремалями. [c.496]

Помимо Э.— Л. у. и условий трансверсальности оптимальное решение вариац. задачи должно удовлетворять и др. необходимым условиям [условию Клебша (Лежандра), условию Вейерштрасса и условию Якоби). [c.497]

Еще в 1878 г. Ф. А. Слудский высказал без доказательства теорему о том, что необходимым условием общего соударения свободных материальных точек, взаимно притягивающихся по закону Ньютона, является аннулирование всех постоянных интегралов площадей в движении системы относительно ее центра инерции. Подобную мысль высказал и К. Вейерштрасс Он показал, что при отличной от нуля нижней границе минимума взаимных расстояний точек системы координаты этих точек являются голоморфными функциями времени в полосе комплексной i-плоскости, ограниченной двумя симметричными относительно действительной оси прямыми. Исследуя вопрос о существовании соответствующих начальных условий движения, он пришел к заключению, что по крайней мере для задачи трех тел такие начальные условия не только существуют, но и представляют собой общий случай, в то время как парное и, тем более, общее соударение точек в конечный момент может произойти только при особых условиях. Вейерштрасс без доказательства также заметил, что координаты точек системы разлагаются в окрестности момента парного соударения t = в ряды по целым положи-J тельным степеням (fj — i) и зависят от бге — 2 произвольных постоянных. Эту теорему доказал П. Пенлеве . Он показал также, что если движение в классической задаче п тел, регулярное до момента ti, в этот момент нарушает регулярность, то минимум взаимных расстояний точек при t-у ti стремится к нулю. Если п = 3, то единственной особенностью движения может быть только парное или общее соударение тел в момент Если и 3, могут быть и такие особенности, когда некоторые из взаимных расстояний, не стремясь ни к каким определенным пределам при t ti, осциллируют в каких угодно границах. П. Пенлеве установил, что начальные условия движения, соответствующие парному соударению, должны удовлетворять определенным аналитическим соотношениям, однозначным относительно координат и алгебраическим относительно скоростей, если по крайней мере массы трех точек отличны от нуля. Найти эти условия удалось Т. Леви-Чивита и Г. Бискончини . Однако эти условия выражаются очень сложными рядами и могут быть использованы непосредственно только в случае, когда соударение происходит через весьма малый промежуток времени после начального момента. [c.112]

Как и в случае конечномерных динамических систем, в области задач об оптимальном управлении системами с распределенными параметрами сохраняют полную работоспособность усовершенствованные методы классического вариационного исчисления. При этом и здесь основное внимание было уделено составлению необходимых условий минимума для экстремальных задач со связями, трактуемыми как проблема Майера — Больца. Главным образом это было сделано для задач, связанных с уравнениями эллиптического типа. Было показано, что в таких типичных задачах, возникающих из проблем оптимального управления, необходимые условия стационарности (уравнение Эйлера и естественные граничные условия, а также условия Вейерштрасса Эрдманна) составляются при помощи обычных приемов. Критерии опираются снова на множители Лагранжа которые здесь зависят уже обычно от пространственных координат, а соответствующие дифференциальные уравнения снова конструируются исходя из подходящих форм функции Гамильтона. Условия стационарности дополняются необходимым условием Вейерштрасса сильного относительного минимума. Разумеется, это условие, которое записывается через условие экстремальности функции Гамильтона на оптимальных решениях, имеет смысл, аналогичный соответствующему условию принципа максимума. Важно, однако, заметить, что при работе с модификациями классических методов вариационного исчисления в случае уравнений с частными производными проявляются некоторые новые черты. В результате получаются условия оптимальности, более сильные, нежели известные в настоящее время обобщения принципа максимума на системы, описываемые уравнениями в частных производных. Упомянутые черты проявляются, в частности, в связи с тем обстоятельством, что приращение минимизируемого функционала при изменении объемного управления (за счет варьирования от оптимального управления) в пределах области достаточно малой меры зависит не только от вариации управления и меры области, но также существенно определяется и предельной формой области варьирования. Таким образом, получается, что при изменении формы области, определяющей вариацию, могут, получаться более или менее широкие необходимые условия экстремальности. Как отмечено выше, эффект анизотропии варьирования пока был получен только классическими методами. Причины этого, по-видимому, различны некоторые работы, посвященные принципу максимума, относятся к таким задачам, где этот эффект вообще не проявляется, в других случаях эффект анизотропии исключался вследствие ограничения при исследованиях лишь вариациями специального вида. Полезно также заметить, что описываемый эффект анизотропии расширяет возможность управления и оптимизации в обширном классе случаев независимо от типа исходных уравнений. Эффективность классических методов вариационного исчисления была проверена на конкретных типах задач. В частности, таким путем была исследована задача об оптимальном распределении проводимости электропроводной жидкости (газа) в канале магнитодинамического генератора электрической энергии. Эта задача как раз доставляет пример вариационной проблемы, где эффект анизотропии варьирования играет существенную роль. Развитию классических методов исследования посвящены работы К. А. Лурье. [c.239]

Если вектор управления и х) претерпевает конечные разрывы в некоторых точках х = а., х = ат......х = аь, принадлежащих отрезку [лго, >С1], то для существования ломаной экстремали (экстремали, каждое звено которой также является экстремалью) необходимо, чтобы выполнялось условие Вейерштрасса — Эрдмана. [c.703]

Условие Вейерштрасса — Эрдмана. В точках разрыва в угловых точках) множители Лагранжа (х), (л ),. .. [c.703]

Аналитически условие Вейерштрасса — Эрдмана в форме, удобной для задачи Майера, выражается неравенством [20] [c.704]

Уран 72. 187—191, 193—195, 494—499, 504—507, 538, 667 Условие Вейерштрасса — Эрдмана 703 [c.861]

ЛИ (рис. 7) удовлетворяются хорошо известные условия Вейерштрасса — Эрдманна. Наконец, дуга окружности ничего не прибавляет к интегралу (18), так как функция и к = (г + А) в подынтегральном выражении обращается вдоль этой дуги в силу (2г) в нуль. [c.231]

Второй метод заключается в использовании ряда параметров (множителей) Лагранжа и решении задачи как задачи типа Майера. Этот метод непосредственно дает ряд дополнительных дифференциальных уравнений и конечных условий. Связи между экстремалями различных типов обычно определяются с помощью так называемых угловых условий Вейерштрасса—Эрдманна. Если при этом остаются еще какие-либо сомнения в правильности синтеза оптимальной траектории, то они обычно устраняются, как это будет показано на примерах, путем применения сильного вариационного критерия Вейерштрасса. Обычно достоверность максимума или минимума исследуемых характеристик достаточно ясно определяется физической интуицией, поэтому это дополнительное и достаточно трудное доказательство оказывается излишним. В частных случаях, исследованных в работе [4], это доказательство носит элементарный характер. [c.747]

Угловые условия Вейерштрасса—Эрдманна требуют, чтобы множители Лагранжа и функция V были непрерывными. Это следует из того, что в любых угловых точках мы будем иметь [c.772]

Полученная система (9.21) является необходимым условием экстремума функционалов (9.15), (9.16). Однако для суждения о максимуме или минимуме экстремума необходимо знать знак второй вариации. Для этого используются условия Лежандра — Клебша и Вейерштрасса, которые являются дополнительными необходимыми условиями экстремума и определяют его вид. [c.180]

Разумеется, для окончательного исследования ( зункционала на экстремум необходимо использовать достаточные условия, однако составление функции Вейерштрасса для нашей задачи приводит к большим трудностям. [c.158]

Изучая условия общего соударения в задаче п тел, Ж. Шази пришел к заключению, что при приближении к моменту удара отношения взаимных расстояний стремятся к определенным пределам, зависящим от отношений масс, и что нри этом существуют предельные конфигурации системы. Заключение Шази основывается на постулате, который ему удалось доказать только для п — 3 и п = 4. Для задачи п тел Шази доказал теорему Слудского — Вейерштрасса, а также исследовал параболические траектории этой задачи. Ж. Шази 2 принадлежат обобщения метода Сундмана на случай взаимного притяжения обратно пропорционально кубам расстояний и установление классификации движения при неограниченном возрастании времени в классической задаче трех тел. [c.114]

Дальнейшее развитие проблемы п тел принадлежит Ю. Д. Соколову многочисленные исследования которого посвящены изучению особых траекторий системы свободных материальных точек, взаимно притягивающихся или отталкивающихся с силами, пропорциональными произвольной функции взаимных расстояний. Соколов обобщил на случай произвольных сил взаимо-114 действия в задаче п тел теорему Пенлеве о минимуме взаимных расстояний, теорему Шази о парном соударении в неизменяемой плоскости, теорему Дзио-бека о движении точек в неподвижной центральной плоскости при аннулировании кинетического момента системы относительно ее центра масс и теорему Слудского—Вейерштрасса об общем соударении тел. Он установил нижнюю границу радиусов сходимости разложений координат точек системы около момента регулярного движения. Обобпщв уравнение Лагранжа — Якоби, он исследовал поведение квадратичного момента инерции при стремлении t к некоторому особому моменту ti или оо. Соколов изучил траектории парного соударения в общей задаче трех тел, исследовал характер особых, Точек интегралов прямолинейного движения. Рассматривая ограниченную задачу трех тел в обобщенной постановке, он исследовал поведение искомых функций и доказал существование решения задачи, установил инвариантное соотношение, характеризующее условие соударения. Результаты этих исследований Соколов успешно применил к решению задач о притяжении к неподвижному и равномерно вращающемуся центрам. [c.114]

Яг-и г+ь Як по теореме Вейерштрасса ) она достигает при условиях (15.16) своего наименьшего значения которое, как сказано выше, дЬлжно быть положительным. Таким образом, при условиях (15.16) и при = е справедливо неравенство V > 0. Рассмотрев все значения I от 1 до к, получим положительные числа Уи Уи Выберем еще одно положительное число Уо, меньшее каждой из этих величин — это всегда можно сделать, ибо число к степеней свободы системы конечно. [c.430]

И Вейерштрасс потребовал от своей ученицы представления серьезного исследования, которое давало бы ей право при всяких условиях работать в высшей школе. Таким сочинением и был написанный С. В. мемуар о прохождении света через кристаллы. Это было обширное и серьезное исследование правда, придет время, и эту работу раскрити- [c.14]

Аналогичные соотношения были выведены и для задач об оптимизации систем, описываемых уравнениями с разрывными функциями / и фь. При этом условия Эрдмана — Вейерштрасса дополняются еще соотношениями, связанными с выходом оптимальных движений на поверхности разрыва функций fs и Также были исследованы задачи с ограничениями на фазовые координаты хг ( ), задачи оптимизации функционалов, включающих функции зависящие от промежуточных значений 1 ) фазовых координат, задачи с условиями разрыва этих координат и т. д. Последние задачи отличаются от подробно рассмотренной выше основной задачи оптимизации с ограничениями только на управления тем, что здесь могут иметь место разрывы непрерывности лагранжевых множителей и функции Н. Поэтому при решении таких задач возникает необходимость преодо ления некоторых дополнительных трудносте . Общие уравнения и соотношений были применены к исследованию оптимальных режимов в линейных системах автоматического управления, при решении задач о накоплении возмущений и при определении наихудшего периодического воздействия на колебательную систему и т. д. Общие критерии оптимальности, выведенные для разрывных систем, были использованы для решения задач оптимизации режимов работы вибротранспорта, для задач оптимизации движений многоступенчатых ракет и т. д. [c.191]

Найдя экстремаль, необходимо исследовать, дает ли она действительно экстремум и что именно — максимум или минимум. В диферен-циалыюм исчислении для решения аналогичной задачи исследуется знак- второй производной в В. и. прежде математики (Якоби) шли путем изучения второй вариации (второй производной по а при а = 0). Но Вейерштрасс показал, что т. о. мы еще не получаем достаточных условий экстремума он дал теорию, основанную на непосредственном сравнении и [c.183]

Рис. 6. Геочетрическое истолкование условия сильного минимума Вейерштрасса.

Необходимое условие п-кратного соударения теорема Вейерштрасса — Слудского — Зундмана) [5], [6], [61]. Необходимым условием м-кратного соударения в задаче п тел в конечный вещественный момент времени является равенство нулю момента количества движения с системы. [c.819]

Так как в силу (4.3) функция 2 — Двоякопериодична, необходимо выполнить лишь условия периодичности 2. Учитывая соотношения (4.3), (4.4) и периодичность функции Вейерштрасса (г), легко получим [c.197]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...