Лагранжа подход

В этой главе будет излагаться геометрически нелинейная теория упругости в прямоугольных декартовых координатах [1—6]. При формулировке задач геометрически нелинейной теории упругости необходимо подчеркнуть разницу между пространственными и материальными переменными. Пока не оговорено противное, будем использовать лагранжев подход, в котором координаты точек деформируемого тела выражаются через координаты точек до деформации ). [c.79]

Лагранжев подход, описание акустических волн 48 Локатор акустический 52, 68 [c.275]

Лагранжа подход к описанию движения сплошной среды 23—28 [c.491]

Уравнения обобщенной модели ЭМП получаются с помощью методов теоретической электротехники и теоретической механики или физических законов, определяющих поведение обобщенной модели. Однако физический подход, как правило, требует большой детализации модели. Поэтому здесь используется теоретический подход. Вывод уравнений обобщенной модели базируется на уравнениях Лагранжа второго рода, описывающих поведение неконсервативной системы с сосредоточенными параметрами [73] [c.58]

Другой метод принадлежит Лагранжу. В той же системе отсчета можно выделить в качестве объекта наблюдения определенную индивидуальную порцию материи (вещества). Эта контрольная масса вещества движется относительно системы отсчета х . В разные моменты ее объем в общем случае может быть разным ее граница перемещается в пространстве и деформируется во времени. Важно отметить, что эта граница индивидуальной порции вещества макроскопически непроницаема. Условная графическая интерпретация такого подхода показала на рис. 1.4, где для двух моментов времени показаны пространственное расположение и форма индивидуальной порции вещества, рассматриваемой в качестве объекта анализа. Такой подход называют описанием с точки зрения Лагранжа . Различие подходов состоит в следующем [c.14]

Как видно, зависимость (3-8) сочетает в себе два разных подхода а) подход Эйлера, когда и = Дх, у, z, г) б) подход Лагранжа, когда и = /(t). [c.75]

Исследуем движение системы. Так как в ней имеется только одна серво-Связь, а положение диска 2j зависит только от одного параметра а, то система 2, взятая изолированно, подходит под частный случай 4° (стр. 349). Следовательно, уравнения Лагранжа можно применить отдельно к пластинке 2 мы видим, что масса диска 2, не влияет на движение. Напишем кинетическую энергию пластинки 2 [c.351]

Сравнение векторного и вариационного методов в механике. Векторная и вариационная механики — это два различных математических описания одной и той же совокупности явлений природы. Теория Ньютона базируется на двух основных векторах на импульсе и на силе вариационная теория, основанная Эйлером и Лагранжем, базируется на двух скалярных величинах на кинетической энергии и силовой функции . Помимо математической целесообразности возникает вопрос об эквивалентности этих двух теорий. В случае свободных частиц, движение которых не ограничено заданными связями , эти два способа описания приводят к аналогичным результатам. Однако для систем со связями аналитический подход оказывается более экономичным и простым. Заданные связи учитываются здесь естественным путем, так как рассматриваются движения системы лишь вдоль таких траекторий, которые не противоречат связям. При векторном подходе нужно учитывать силы, поддерживающие связи, а потому приходится вводить различные гипотезы относительно этих сил. Третий закон движения Ньютона ( действие равно противодействию ) не охватывает всех случаев. Он оправдывается лишь в динамике твердого тела. [c.19]

Несмотря на то, что имеется целый ряд вариационных принципов, связанных с именами Эйлера, Лагранжа, Якоби, Гамильтона, все эти принципы взаимосвязаны, и к ним ко всем подходит название принцип наименьшего действия , если понимать этот термин в широком смысле слова. [c.136]

Две основные функции Т я V соответствуют двум величинам, которые приравниваются друг другу в уравнении Ньютона Произведение массы на ускорение равно силе . Это уравнение может быть интерпретировано как баланс между силой инерции и движущей силой. Подобный баланс может быть установлен и при аналитическом подходе путем разделения членов с двумя основными скалярами аналитической механики кинетической энергией Т и силовой функцией и. Уравнения Лагранжа можно записать в виде [c.144]

Впрочем, хотя Лагранж дает основание полагать, что при его методе можно применять координаты любого вида, если только они пригодны для определения положений тел, чрезвычайно интересно, что этот математик никогда не применял иных координат, кроме тех, которые фактически подходят к принципу виртуальных скоростей по крайней мере я не знаю такого примера и полагаю, что его и нельзя найти в работах Лагранжа. В самом деле, если бы для разрешения какой-либо проблемы он попытался воспользоваться некоторыми координатами, недопустимыми при его методе, то весьма вероятно, что заметная ошибка в каком-либо полученном им выводе навела бы его на мысль об ошибочности его формул тогда, конечно, он сам не замедлил бы сделать по этому поводу ясную оговорку, по крайней мере во втором издании своего прекрасного труда. [c.534]

Введение обобщенных импульсов полностью изменяет точку зрения. Как было установлено выше, метод Лагранжа рассматривает координаты системы как независимые величины, определяющие положение системы. Зависимость каждой из этих переменных от времени находится из решения системы дифференциальных уравнений второго порядка, известных под названием уравнений Лагранжа. Другой подход состоит в том, что в качестве независимых величин рассматриваются как. координаты, так и импульсы. Тогда конечной целью любой задачи является нахождение всех этих величин в виде явных функций времени. [c.58]

ДРУГОЙ ПОДХОД К ЗАДАЧЕ ТРЕХ ТОЧЕК ЛАГРАНЖА 589 [c.589]

Научное творчество Лагранжа падает на период, непосредственно предшествовавший Великой французской революции 1789 г., и на время самой революции. Несмотря на то, что лично Лагранж оставался в стороне от политических бурь, сотрясавших не только Францию, но всю Европу, он все же в какой-то мере отразил дух этой замечательной эпохи в своем подходе к осмыслению результатов математических исследований в механике. [c.793]

Для нас в этой блестящей характеристике является важным подчеркивание основного значения математического метода для работы Лагранжа в области механики. И действительно, в силу аналитического (и принципиально аналитического) характера его механики подход Лагранжа к отдельным проблемам теснейшим образом связан с его математическими работами в различных ветвях анализа. Фурье говорит ...Он сводит все законы равновесия и движения к одному принципу, и, что не менее удивительно, он их подчиняет одному методу исчисления, изобретателем которого он сам является ). В самом деле, как известно, с Лагранжа начинается новая эпоха вариационного исчисления. [c.796]

Наконец, знаменитые введения к отдельным главам Аналитической механики представляют собой попытку подойти к обоснованию механических понятий и законов без метафизики . Конечно, это не исключает того, что формальная сторона очень сильна у Лагранжа и что он, как замечает Гаусс, иногда слишком много полагался на символическое вычисление при решении задач, не давая себе достаточного отчета в каждом шаге своих математических выкладок. Именно поэтому чрезвычайно существенно бросить взгляд на подход Лагранжа к обоснованию дифференциального исчисления. [c.799]

При исследовании устойчивости форм равновесия упругих систем первые шаги были сделаны Эйлером. В дальнейшем его подход был развит Лагранжем. По Эйлеру — Лаг- [c.106]

Однако не следует придерживаться той точки зрения, что метод анализа по шагам следует применять во всех случаях. Этот метод возник в результате необходимости рассчитывать системы с учетом нелинейности и начальных несовершенств. Понятно, что многие задачи, легко поддающиеся анализу с позиций классического подхода, решались и будут по-прежнему решаться на основе критерия Эйлера — Лагранжа. Те задачи, где необходимо рассматривать не формы равновесия, а формы движения, будут, очевидно, решаться на основе динамического критерия. [c.149]

П р е д в а р и т е л ь н ы е замечания. Кроме классического подхода к выводу дифференциальных уравнений движения (в частности, колебательного движения) тела, в котором используются уравнения Лагранжа второго рода, можно отметить еще два, обладающих также достаточной общностью. Ниже поясним эти подходы, предварительно отметив некоторые обстоятельства. [c.85]

Особенно интересно выяснить, могут ли такие системы описываться формализмом Лагранжа или Гамильтона, поскольку этот формализм служит весьма удобной основой для квантования. Существуют различные подходы к установлению этого формализма для непрерывных систем. Один из способов, довольно часто применяемый, состоит в том, что, скажем, упругий стержень сначала рассматривают как систему точечных частиц, а затем совершают предельный переход к сплошной системе. Полученный в этом частном случае результат обобщ,ают затем на произвольные системы. Другой способ заключается в выборе в качестве отправного пункта соответствующим образом обобщенного вариационного принципа. Наконец, третий способ, который мы здесь и используем, состоит в том, чтобы использовать вместо Q(x) их фурье-коэффи-циенты в качестве обобщенных переменных. [c.206]

В координатах Лагранжа зависимые переменные относятся к точке, где расположен элемент жидкости, который в невозмущенном состоянии находится в другом месте. Пусть, например, Хо есть равновесное положение элемента жидкости (рис. 5), а х — его мгновенное [ положение, так что смещение этого элемента из положения равновесия будет равно разности = х — х<,. При таком подходе координата х становится функцией Xq и i [c.38]

Существуют два теоретически эквивалентных подхода к решению задач механики сплошной среды лагранжев (материальный) и эйлеров (пространственный). При лагранжевом подходе в качестве основных переменных используются 0, а при эйлеровом — 0, Эйлеров подход применяется в основном в исследованиях по гидродинамике. В настоящей книге, за редким исключением , используется лагранжев подход в двух вариантах [c.21]

Влияние сдвига скорости ветра на горизонтальное рассеяние примесей в приземном слое атмосферы обсуждается также в работах Хегстрема (1964), Смита (1965), Тилдсли и Уэллингтона (1965), где используются численные методы и лагранжев подход при сравнении теоретических результатов с экспериментальными данными. Тот же эффект в применении к простирающемуся до заметно больших высот пограничному слою атмосферы рассмотрел, в частности, Лей (1985). [c.580]

В лагранжевых методах применяемые уравнения получаются на основе наблюдения за фиксированной частицей жидкости и прослеживания ее движения через весь поток. Эти методы противостоят принятым в настоящей книге эйлеровым методам, в которых рассматривается фиксированный объем в пространстве с протекающими через него частицами жидкости. Мы уже отмечали некоторые схемы (скажем, метод частиц в ячейках, разд. 5.5.3), в которых применяется смешанное лагранжево и эйлерово описание. Для одномерных течений лагранжев подход часто является более простым, однако для многомерных течений с большими искажениями расчетной сеткп лагранжевы методы становятся неточными и чрезвычайно сложными ). [c.463]

При решении практических задач этот подход, как правило, непригоден из-за отсутствия явных функциональных выражений ограничений-равенств. ГТоэтому обычно применяют второй подход, использующий классический метод множителей Лагранжа. Он требует построения функций Лагранжа [c.252]

В 1...2 доя составления уравнений движения использовалась система аналитических вычислений REDU E. Эта система позволяет не только получить уравнения движения, но и составить программу их интегрирования на одном из алгоритмических языков. В данном параграфе рассматривается иной подход к анализу уравнений движения, а именно их автоматическое получение и интегрирование численными методами. Приводится описание алгоритма, который позволяет в значительной мере сократить количество выкладок, связанных с получением уравнений движения, и затраты труда на программирование при численном интегрировании уравнений движения. В основе алгоритма лежит реализация второго метода Лагранжа получения уравнений движения с помощью численного определения частных производных. [c.68]

Движение сплошной среды может быть изучено двумя методами, один из которых — метод Лагранжа — является обобщением метода, применявшегося в кинематике одной точки. Движение в методе Лагранжа задается в переменных Лагранжа. Другой метод — метод Эйлера — широко использует концепцию теории поля. При этом движение задается и изучается в переменных Эйлера. При рассмотрении движения сплоп ной среды преимущественно используется полевой подход, базирующийся на методе Эйлера и соответственно использующий переменные Эйлера. [c.208]

Совсем иной подход к решению задачи предложила С. В. Ковалевская. Она впервые в истории механики рассматривала время t как комплексную независимую переменную. Анализируя задачи, рассмотренные Эйлером и Лагранжей, можно заметить, что закон движения твердого тела в этих случаях определяется посредством эллиптических функций времени. Следовательно, на плоскости комплексной переменной t закон движения в двух классических случаях определяется мероморф-ными однозначными функциями. Поэтому, обобшая этот факт, С. В. Ковалевская поставила такую обшую проблему [c.449]

Идея такого подхода связана с принципом виртуальных перемещений (т. е. возможных, допускаемых для данной системы) в механике, который был сформулирован И, Бернулли и применен к расчетам механических систем Лагранжем. Применение и обобщение дан 10го метода для исследования равновесия термодинамических систем было сделано Гиббсом, разработавщим общую теорию термодинамических потенциалов — основной метод современной термодинамики. [c.113]

Задача о движении системы с го-лономными связями формально всегда может быть решена, что частично объясняется возможностью исключения зависимых координат. Однако для задач с неголономными связями общего метода решения не существует. Правда, дифференциальные уравнения неголономных связей можно рассматривать совместно с дифференциальными уравнениями движения и тогда можно исключить зависимые величины с помощью метода множителей Лагранжа, который мы рассмотрим позже. Однако в более специальных случаях неголономных связей требуется индивидуальный подход к каждой задаче. При формальном изложении классической механики почти всегда предполагается, что любая имеющаяся связь является голономной. Это ограничение несколько сужает применимость общей теории, несмотря на то, что в повседневной практике нередко встречаются неголоном-ные связи. Причина этого состоит в том, что связи, наложенные на систему, обычно реализуются посредством различных поверхностей, стенок или стержней и играют заметную роль лишь в макроскопических задачах. Но современных физиков интересуют главным образом микроскопические системы, в которых все объекты (как внутри системы, так и вне ее) состоят из молекул, атомов и еще более мелких частиц, порождающих определенные силы. Понятие связи становится в таких случаях искусственным и встречается редко. Связи используются здесь лишь как математические идеализации, полезные при описании [c.25]

Нетрудно заметить, что эти семь уравнений являются в известной мере очевидными а priori и что их можно было бы написать, не прибегая к принципу виртуальных скоростей. Но Лагранж не ставит себе целью трактовать каждый отдельный вопрос наиболее простым путем он желает лишь показать, каким образом можно сделать ненужным специальное рассмотрение каждого отдельного случая и свести статику к простому механизму исчисления. Впрочем, Лагранж никогда не утверждал и не собирался утверждать, что именно таким путем следует подходить к изучению механики. (Прим. Бертрана.) [c.163]

По поводу приведенного положения Лагранжа следует сделать одно существенное замечание, которое, повидимому, ускользнуло от внимания автора Аналитической механики . Замечание это сводится к тому, что рассматриваемые формулы совершенно не подходят, как это можно было бы предположить, ко всем видам линий или координат 5, тс, а,, хотя эти линии и пригодны для определения положений тел. Приведенные формулы хороши только в том случае, когда эти новые линии (подобно первым р, q, г,. . . ) представляют собою расстояния рассматриваемых тел от каких-либо неподвижных центров или от каких-либо неподвижных плоскостей, как это имеет место в случае обычных координат х, у, г, обозначающих расстояние исследуемой точки от трех непо-jiSatKKUX взаимно перпендикулярных илоскостеш. Вообще, можно сказать, что для того, чтобы эти формулы были верными, требуется, чтобы природа линий Д, тг, а,. .. была такова, чтобы их дифференциалы d-к, d ,. . . выражали виртуальные скорости точки приложения сил S, П,. ....т. е. чтобы [c.526]

На возможное возражение, что группа сама по себе является априорным понятием, можно указать, что понятие группы является результатом абстрагирования от различных подвижных инструментов циркуль, линейка и т. д., являющихся орудием геометрического исследования ). Напомним, что уже в геометрии Евклида неявно предполагалось, что все геометрические построения следует проводить с помощью только циркуля и линейки. Смысл этого требования становится ясен только с точки зрения программы Клейна. Геометрические свойства тел выражаются, таким образом, в терминах инвариантов группы и допускают изоморфную подстановку элементов пространства, в котором реализуется группа, и, следовательно, совершенно не зависят от самих геометрических объектов. Укажем, например, на реализацию геометрии Лобачевского на плоскости, предложенную А. Пуанкаре. Приведенный пример указывает на большую методологическую ценность программы Клейна. Аналогичный подход возможен также и в физике, где различные законы сохранения интерпретируются как свойства симметрии относительно различных групп. Основными группами современной физики являются группа Лоренца, заданная в пространстве Минковского, и группа непрерывных преобразований, заданная в криволинейном пространстве общей теории относительности, коэффициенты метрической формы которого определяют поле гравитации. В релятивистской квантовой механике мы переходим от группы Лоренца к ее представлениям, определяющим преобразования волновых функций. Как было показано П. Дираком, два числа I и 5, задающих неприводимое представление группы Лоренца, можно интерпретировать как константы движения угловой момент и внутренний момент частицы (спин). Иначе говоря, операторы, соответствующие этим инвариантам, перестановочны с гамильтонианом (квантовые скобки Пуассона от гамильтониана и этих операторов равны нулю). Числа, обладающие этими свойствами, называются квантовыми числами. В работах Э. Нетер дается общий алгоритм, позволяющий найти полную систему инвариантов любой физической теории, формулируемой в терминах лагранжева или гамильтонова формализмов. В основу алгоритма положена указанная выше связь между инвариантами группы Ли и константами движения уравнений Гамильтона или Лагранжа. В качестве простейшего примера рассмотрим вывод закона сохранения углового момента механической системы, заданной лагранжианом Г(х, X, (). Вводим непрерывную группу вращения, заданную системой инфи- [c.912]

Могут спросить, в чем значение канонических уравнений движения. Здесь можно сослаться на два обстоятельства. Первое из них заключается в том, что квантовая механика (как старая квантовая механика, так и современная — волновая или матричная) основывается скорее на гамильтоновом формализме, чем на лагранжевом следует отметить, однако, что лагранжев формализм оказывается чрезвычайно полезным для полевой теории. Второе же обстоятельство состоит в том, что формализм Гамильтона особенно удобен для теории возмущений, т. е. для рассмотрения таких систем, для которых невозможно получить точные решения уравнений движения. Поскольку такие системы являются скорее правилом, чем исключением, то очевидно, что для теории возмущений имеется необъятная область применения — как в классической, так и в квантовой механике. Мы вернемся к теории возмущений в гл. 7, но в оставшейся части этой главы и в следующей главе мы подготовим весь формальный аппарат, необходимый для того, чтобы перейти к теории возмущен и1. Наконец, нельзя не упомянуть и тот факт, что статистическая механика широко использует гамильтонов подход 2s-Mepnoe (р, (7)-простраиство в статистической механике называется фазовым пространством. [c.126]

Достаточных оснований, чтобы согласиться с автором [Л. 55], нет. Во-перзых, при рассмотрении межфазо-вого обмена нет никакой необходимости придерживаться подхода Лагранжа, а не Фурье, и следить за поведением G6 [c.66]

Для ф = ф приходим к (4), для ф = Ах, А,, А — к ур-пию (1) в соответствующ11х обозначениях. Вариационный подход позволяет придать теории универсальную форму описания, распространяемую и на описания динамики любых взаимодействий, даёт возможность получать ур-ния для комбиниров. динамич. систем, напр. электромеханических. В частности, для систем с сосредоточенными параметрами, характеризуемых конечным числом степеней свободы, соответствующие ур-ния ваз. ур-ниями Лагранжа — Максвелла. [c.38]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...