Лагранжева система

Как и при рассмотрении переноса количества движения, используется лагранжева система координат. На физическую систему накладываются с.ледующие дополнительные ограничения [c.77]

Траектории частиц в вихревом потоке. В лагранжевой системе координат уравнение (6.41) принимает вид [c.339]

Ец. Введем также обозначение r,7 = OS ,7— - OS 0,7. На основании (3.10) в лагранжевой системе координат [c.66]

Тогда уравнения (IV. 186), указанные Е. Крекером, являются трехмерным аналогом уравнений тяготения А. Эйнштейна (IV. 166). Таким образом, инородная материя вызывает появление кривизны в лагранжевой системе координат, с которой связана метрика в деформирующемся теле. [c.535]

Различие между эйлеровой и лагранжевой системами отсчета можно проиллюстрировать на примере описания движения материальной частицы жидкости, текущей в некотором русле относительно неподвижных берегов (рис. 5.2). Пусть оси Оху связаны с берегами неподвижно, а начальное положение движущейся частицы А совпадает с геометрической точкой Ао (. о. о)- При ламинарном течении со скоростью V положение точки А относительно осей Оху определяется координатами j/= i/o, л =A o-fJ у dt, тогда как лагранжевы [c.97]

Рис. 6.10.2. Пространственно-временная картина режима индукционного зажигания в лагранжевой системе координат (0н=Ю, у=0, >4 р=0,03 а=0,5 й = 0,6)

Рис. 106. Система отсчета ж и лагранжева система координат.

Если обозначить через и — компоненты метрического тензора в лагранжевой системе координат соответственно в начальном и актуальном состояниях, то, как известно, компоненты тензора деформаций вводятся формулами [c.310]

В теории деформирования твердых тел часто рассматривают случай, когда деформации и относительные смещения малы. Если при этом лагранжева система координат выбрана так, что в какой-нибудь момент времени (например, в начальный) она совпадает с системой отсчета, то в дальнейшем она будет мало отличаться от системы отсчета и, очевидно, компоненты любого тензора или вектора в лагранжевой системе координат и в системе отсчета будут отличаться на малую величину. Если в теории учитываются лишь малые первого порядка, то [c.310]

Рассмотрим упругое тело, в котором компоненты тензора деформаций г J, и относительные смещения малы, а в качестве начального состояния, отвечающего метрике °дц (см. 1), выбрано состояние, которое может быть реально осуществлено, т. е. существуют перемещения из состояния, отвечающего метрике в актуальное деформированное состояние. Пусть лагранжева система координат в начальном состоянии выбрана совпадающей с системой отсчета. Тогда координаты ж точек среды в деформированном состоянии представляются в виде [c.319]

В этом случае компоненты всех тензоров в лагранжевой системе координат и в системе отсчета различаются на малые высшего порядка по сравнению с величинами самих компонент. Имея это в виду, дальше будем опускать знак " над компонентами тензоров. [c.319]

Отмеченные три состояния можно рассматривать как непрерывные многообразия, в которых индивидуальные точки определены одними и теми же лагранжевыми координатами Обозначим векторы базисов лагранжевой системы координат Е в этих трех состояниях среды через [c.421]

Из формул (2.1), (2.2) и (2.3) видно, что при таком определении тензоров пластических, упругих и полных деформаций для ковариантных компонент этих тензоров в лагранжевой системе координат верно равенство [c.422]

Общие лагранжевы системы. С аналитической точки зрения форма (50) уравнений Лагранжа наводит на мысль рассматривать в виде естественного обобщения системы дифференциальных уравнений типа (50) в предположении, что 2 есть какая угодно функция от аргументов q, q м t. Эти системы обычно называются общими лагранжевыми системами. [c.296]

Предполагая, что функция S не зависит от времени, мы выведем отсюда, что для лагранжевой системы имеет место первый интеграл [c.300]

При распространении на случай общей лагранжевой системы гиростатическими называются те члены функции линейные относительно q, которые влияют на уравнения движения системы, но не входят в обобщенный интеграл энергии. Из сказанного вначале следует, что гиростатическими членами живой силы Т, наверное, будут члены, линейные относительно q во всех тех динамических задачах, в которых как Г, так и потенциал U не зависят от времени. [c.302]

Лагранжева система общая 298 [c.428]

Мы пришли, таким образом, к нормальной системе первого порядка с 2л неизвестными функциями р, q, состоящей из уравнений (1 ), (2 ) эти 2п уравнений можно назвать эквивалентными первоначальной лагранжевой системе (1), так как, с одной стороны, они получаются из уравнений (1) только что указанным однозначным способом, а с другой стороны, обратно, исходя из соотношений (1 ), (2 ), мы возвратимся к уравнениям (1), исключая р посредством уравнений (2). [c.240]

Это и есть, по существу, преобразование Гамильтона системы (1). Остается еще установить одно особенно важное обстоятельство, заключающееся в том, что правые части уравнений (1 ), (2 ) можно выразить посредством одной единственной функции от р, q, t, называемой функцией Гамильтона i) или характеристической функцией, так что система первого порядка (1 ), (2 ) с формальной точки зрения будет столь же простой, как и первоначальная лагранжева система, зависящая от одной только функции 2 ). Функция Гамиль- [c.240]

Отсюда легко вывести, что как при ДфО любую лагранжеву систему можно преобразовать в каноническую систему, так и, обратно, любую каноническую систему, характеристическая функция Н которой имеет отличный от нуля гессиан Aj, можно рассматривать как преобразованную из лагранжевой системы. [c.243]

Заметив это, вспомним, что для лагранжевой системы (1), когда функция й не зависит от t, имеет место (гл. V, п. 43) обобщенный [c.244]

Указанная выше эквивалентность между всякой лагранжевой системой и соответствующей ей канонической системой заставляет нас предполагать, что если функция Гамильтона не зависит явно от t, то уравнение (6) в предположении, что Н выражена в функции от р, q, должно давать интеграл канонической системы. [c.245]

Интегралы этого типа можно называть интегралами обобщенных кинетических моментов или интегралами обобщенных количеств движения отметим еще, что только это указанное обстоятельство совпадает с результатом, полученным в п. 45 гл. V для лагранжевых систем, когда имеются игнорируемые координаты. Действительно, если функция q q f) лагранжевой системы не зависит от одной координаты q , то от этой координаты не будут также зависеть обобщенные импульсы [c.245]

Подобно лагранжевым системам, с одной стороны, и системам Гамильтона— с другой, эта система уравнений зависит тоже от одной-единственной функции SR. Ее можно назвать гамильтоновой относительно переменных 9i. 92,. ... 9m и соответствующих количеств движения р и лагранжевой относительно остальных q. [c.365]

Надо заметить, что, в то время как для гамильтоновой системы уравнение Н=1 является первым интегралом, в котором произвольная постоянная имеет частное значение (интеграл обобщенной энергии), равенство й = 1, которое мы присоединили, не будет первым интегралом для лагранжевой системы. [c.368]

Гамильтона—Якоби, что, как мы знаем, позволяет определить общее решение уравнений движения (предыдущая глава, п. 35), квадратура выполняется. Мы отложим доказательство этого положения до п. 26, где речь будет идти о лагранжевых системах общего вида. [c.404]

Доказательство этого последнего утверждения мы отложим также до п. 26, когда мы обратимся вообще к какой угодно лагранжевой системе с кинетическим потенциалом, не зависящим от времени. [c.410]

Распространение вариационных принципов на общие лагранжевы системы [c.421]

Асинхронная вариация интеграла Гамильтона. Возвратимся к лагранжевой системе (31) общего типа. Выражение (33) вариации 5S относится к переходу от заданного естественного движения а к любому его синхронно-варьированному движению а , даже между различными конечными конфигурациями, если bq не предполагаются равными нулю при i = to и Мы увидим сейчас, какое при- [c.426]

Дальнейшие замечания об обобщении принципа Гамильтона. Если движение о, к которому относится интеграл Гамильтона S, удовлетворяет лагранжевой системе (31), то на основании выражения (39) имеем Л = О, потому что, по предположению, биномы 2, обращаются в нуль с другой стороны, как мы видели в п. 43 гл. V, в качестве следствия из лагранжевых уравнений имеет место соотношение [c.427]

Приняв лагранжев спектр турбулентности, Чен рассмотрел стационарный ) случай, когда начальный момент временя о равен — схз. В. лагранжевой системе координат прослеживается путь частицы и отмечаются статистически осредненные характеристики потока II твердой частицы. Первоначальная методика Чена была модифицирована Хинце в отношении определения интенсивностей и коэффициентов диффузии. Эти теоретические методы, а также методы Лью [497], Со/ [721 [, Фрпдлендера [232] II Ксенеди [134] были обобщены Чао [104] путем рассмотрения приведенного выше. лагранжева уравнения движения как стохастического, к которо.му внача.ле при.меняется преобразование Фурье. Излагаемый ниже метод принадлежит Чао. [c.50]

В момент i = О координаты твердой частицы и элемента жидкости совпадают. В момент 1 t частица оказывается в точке, характеризуемой смеш ением у1, и там она встречает элемент жидкости, имеющий лагранжеву скорость V (а, 1), а исходный элемент жидкости находится в положении Х1, обладая лагранжевой скоростью V (О, 1). Второй возможный вариант развития событий для рассматриваемой системы изображен на фиг. 2.15, б. В течение времени i 1 пути элемента жидкости и твердой частицы совпадают, но поле скоростей в окружающей жидкости не такое, как в случае (а). В положении у = у1 твердая частица встречается с элементом жидкости, имеющил скорость V (Ь, 1), в общем случае не равную V (а, t ). Это означает, что твердая частица встречается с элементохм жидкости, начальное положение которого иное, чем в случае (а). Осредняя по всем реализуемым ситуациям типа а, Ь, с,. .. (т. е. по начальным положениям элементов жидкости, оказывающихся в положении у1 в момент времени t ), получим осредненную скорость, приобретаемую твердой частицей, при условии, что существует некоторая заданная ф5шк-цпя — скорость жидкости в лагранжевой системе V (О, 1). Согласно [230], эта приобретенная скорость выражается математически как условное ожидание величины 11 (у, 1) при заданной V (0, 1) в положении х [c.69]

Отметим, что для конечных деформаций это свойство аддитивности не выполняется для компонент с другим строением индексов в лагранжевой системе координат, а также для компонент с любым строением индексов (в том числе и чисто кова-риантных) в системе отсчета. Это связано с тем, что (2.4) связывает комцоненты тензоров в разных базисах, хотя и в одной [c.422]

То обстоятельство, что спределение переменных гри h m можно свести к интегрированию некоторой лагранжевой системы, в которой уже не осталось никакого следа от т координат <7,.....q , оправдывает название этого метода методом игнорирования координат, которое обычно дается предыдущему приведению. Название игнорирование" применяется здесь потому, что при определении координат при h m можно не знать (игнорировать) остальные координаты, входившие вначале при действительном описании задачи. При этом заметим, что в большинства конкретных задач интегрируемость в квадратурах очень часто является следствием наличия игнорируемых координат. [c.304]

Это доказывается путем, обратным тому, которым мы от лагранжевой системы (1) перешли к канонической системе (5). Именно, отметив, что в силу предположения ДхфО вторая группа уравнений (5) [c.243]

При изучении канонических систем прибегают к геометрическому представлению, аналогичному тому представлению, которое дается прострайством состояний движения для решений лагранжевой системы (гл. VI. п. 2). 2 п канонических переменных р, q истолковываются как декартовы прямоугольные координаты линейного пространства Фдп 2/г измерений, которое, следуя Джиббсу ), называют фазовым пространством. [c.244]

На любое из этих решений а распространяется замечание, вытекающее из теоремы Дирихле для динамического случая, а именно, что возможно указать чисто качественное условие устойчивости, т. е. условие, выражаемое посредством одних только соотношений неравенства. Действительно, таким является в силу уравнений (104) условие, что Н имеет для решения о действительный максимум или минимум (см. п. 7 и гл. VII, пп. 5—6, 17) замечание о лагранжевых системах с кинетическим потенциалом, не зависящим от времени, в конце упомянутого п. 17, гл. VI, таким образом, будет вполне оправдано, так как, как это непосредственно следует из п. 1 той же самой главы, всякая такая лагранжева система определяет каноническую систему с характеристической функцией, не зависящей от t, и обратно. [c.324]

Гамильтоновы преобразования в случае лагран-жевой функции, не зависящей от t и однородной первой степени относительно q. В п. 41 гл. V мы имели случай заметить, что если функция 2 U) является однородной первой степени относительно q, то лагранжева система [c.367]

Случай не нормальной лагранжевой системы. Задача о геодезических линиях. Только что доказанная эквивалентность, как это следует из формального способа, которым она была установлена, имеет место, какова бы ни была лагранжева система (31). Она, в частности, будет иметь место также и тогда, когда функцйя й не будет зависеть от / и будет однородной первой степени относительно 9. В п. 41 гл. V мы видели, что в этом случае соотшетству-ющая система Лагранжа (31) не будет нормальной (т. е. не будет разрешимой относительно я вторых производных от q), так как между левыми частями уравнений (31) существует тождественное линейное соотношение [c.423]

Мы уже видели, что соотношения, не зависящие от f и- вытека-юш,ие из уравнений (36), равным образом определяются вариационным условием 85 = О, которое мы можем взять в форме (34) отсюда следует еще, что это условие равносильно совокупности соотношений, не зависящих от t, которые выводятся из уравнения (36). Если, в частности, возьмем /(g) = .q лагранжева система, определяемая из условия [c.425]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...