Градиент места

Тензор называется тензором градиента места, F — тензором градиента деформации, Q — обратным тензором градиента места, G — обратным тензором градиента деформации. В общем случае они несимметричны и связаны соотношениями [c.24]

Градиент места. Основными тензорами, характеризующими кинематику сплошной среды в нелинейной теории упругости, являются градиенты места [c.15]

В соответствии с определениями базисных векторов и набла-операторов в отсчетной и актуальной конфигурациях градиенты места в общем случае имеют представления [c.15]

Тензоры напряжений Пиола и Кирхгофа, с одной стороны, являются удобными вспомогательными тензорами, непосредственно не определяю-ш,ими реальное напряженное состояние. Определение последнего всегда требует возвращения к истинному тензору напряжений Коши. С другой стороны, тензоры Пиола и Кирхгофа играют важную роль в нелинейной теории упругости при построении определяющих соотношений, в частности, в представлении уравнений состояния для гиперупругих, т. е. имеющих упругий потенциал, сред, поскольку тензор Пиола сопряжен тензору градиента места, а тензор Кирхгофа — тензору деформации Коши-Грина. [c.20]

Представление упругого потенциала как скалярной функции градиента места частицы в деформированном состоянии = х(С) является наиболее простым, так как позволяет определить тензор Пиола П как производную функции X по тензорному аргументу С и записать закон состояния материала среды в виде [c.20]

В формулах (1.4.1)-(1.4.4) функция х в обш,ем случае анизотропной среды представляется в виде скалярной функции, зависящей от компонент одного из тензоров деформации, меры деформации или градиента места. В случае изотропной среды упругий потенциал представляется как функция инвариантов соответствующих тензоров. В зависимости от того, какие инварианты и каких тензоров используются в представлении потенциальной энергии, имеют место различные формы закона состояния гиперупругой среды. [c.21]

Участвующий в представлениях (1.4.1)-(1.4.4)упругий потенциал в общем случае для анизотропных сред представляется в виде скалярной функции (1.4.5), которая зависит от компонент тензора градиента места, тензора меры деформации или тензора деформации Коши-Грина. Для изотропных сред используется представление через инварианты тензора одной из мер деформации или тензора деформации. [c.28]

Градиент места точки в возмущенном состоянии после деформации определяется выражением [c.35]

Далее используем формулу перехода от дифференцирования по градиенту места к дифференцированию по тензору деформации S [c.36]

Конвективная производная тензора Пиола. II вариант. В литературе иногда используется иное по форме представление конвективной производной тензора Пиола [17]. Для его построения вернемся к выражению (2.1.15), но производную тензора Пиола будем вычислять не по градиенту места, а по мере деформации [c.37]

Понятие градиента места постоянно используется во всем дальнейшем. Другое наименование, применяемое в зарубежной литературе,— градиент деформации ). [c.16]

Градиент места как всякий неособенный тензор, можно представить его полярным разложением (I. 12.1) [c.21]

В выражениях мер деформаций градиенты места УН, Уг заменяются их представлениями [см. (3.12)] [c.23]

Дифференцирование инвариантов /, (0) по аргументу С осуществляется по формулам (11.3.2), а по градиенту места по (II.3.5) [c.28]

Формула обобщается на дифференцирование по градиенту места любого тензора. По (II.4.11) и (1.15.3) [c.29]

Градиенты места в 9 . По (4) и (5) получаем /о х о о /о. о о [c.31]

Были использованы также выражения градиентов места (3.1) и сверток (1.15.4) изотропных тензоров с тензором второго ранга. Приходим к соотношению [c.37]

Производная по времени градиента места, заданного его полярным представлением (6.1), определяется по (10.7) [c.38]

Формулы преобразования градиентов места, поскольку отсчетная конфигурация не преобразуется, представляются выражениями [c.44]

В предшествующем тексте отсчетная конфигурация была отнесена к началу отсчета времени 1=0, на что указывалось в обозначении градиента места (3.1). Но ничто не препятствует принять за отсчетную актуальную конфигурацию в момент т, указывая на это в обозначениях. Тогда формулам (3.1), (6.5) пришлось бы придать вид [c.47]

При явном указании на отсчетную конфигурацию градиенты места представляются формулами [c.47]

Применение тензоров аффинной деформации позволяет избежать введения символов Кристоффеля в представлениях дифференциальных операций над тензорами. Исходными соотношениями служат формулы дифференцирования градиентов места [c.54]

Применение тензоров аффинной деформации позволяет связать дифференциальные операции над функциями градиента места или мер деформации с производными по этим мерам. Например, для скаляра [c.55]

Дифференциальное уравнение (12) для градиента места, записываемое в форме системы уравнений первого порядка [c.55]

Заменив в (12) градиенты места их полярными представлениями, получим [c.75]

Воспользовавшись теперь полярным представлением градиента места (1.6.1) [c.84]

Градиенты места в актуальной конфигурации теперь представляются формулами [c.90]

Возникает вопрос о разыскании таких преобразований отсчетной конфигурации, которые оставляли бы неизменной функциональную зависимость тензора, напряжений от градиента места, [c.90]

КОННЫ в предположении, что вариация градиента места 6VR — независимая величина. Об этом см. гл. 7. [c.105]

Использовав представление градиента места (1.3.11) и производной тензора по тензорному аргументу (II.4.4), приходим [c.120]

Здесь рассматриваются аналоги уравнений линейной теории упругости в перемещениях , получаемых после замены тензора напряжений его представлением через линейный тензор деформации, а последнего— выражением через вектор перемещения. В нелинейной теории дело осложняется возможностями определения напряженного состояния несколькими тензорами (Коши, Пиола) и множественностью их представлений через меры деформации (Коши — Грина, Фингера, Альманзи) или градиент места. Вектор перемещения предпочтительно заменить вектором места в актуальной конфигурации. [c.123]

Заменив теперь градиент места его координатным представлением, придем к трем уравнениям движения [c.123]

Соотношение (4.17.5) позволяет определить градиент места Имеем [c.165]

По (5.5.12) теперь определяется градиент места [c.212]

Термины прашый и левый условны, так как, например, если вместо F базовым несимметричным тензором деформаций был бы принят тензор градиента места то термины правый и левый пришлось бы поменять местами. Для тензоров деформаций, являющихся функциями правого тензора кратностей удлинений U, часто используются термины материальный или лагранжев , а для тензоров деформаций, являющихся функциями левого тензора кратностей удлинений V, — пространственный или эйлеров . Эти термины искажают механический смысл тензоров деформаций, так как все они по своей сути материальные [63]. [c.35]

При построении п выборе вида определяющих уравнений или реологических законов для описания больших деформаций сред с учетом иеупругих свойств могкио выделить несколько подходов, различающихся способом разложения полных деформаций и скоростей деформаций на упругие, пластические и вязкие аддитивное — с помощью метрического тензора разгруженной конфигурации [167] или мультипликативное — с помощью разложения градиента места [138]. [c.21]

Далее будем рассматривать среды, ршеющие упругий потенциал, — скалярную функцию градиента места частицы в деформированном состоянии, тензора деформации или одной из мер деформации, описывающую потенциальную энергию, накапливаемую телом в процессе нагружения. Существование множества различных форм уравнений состояния определяется как возможностью представления потенциальной энергии в виде скалярной функции одной из мер деформации или одного из тензоров деформации, так и множественностью определения напряженного состояния одним из тензоров напряжений. [c.20]

Начальное напряженное состояние Будем предполагать, что существует некоторая равновесная начально-деформированная конфигурация (НДК) упругого тела, заданная радиус-вектором Ri = [Х1, Х2, Х ), которая в векторном базисе естественной конфигурации определяется градиентом места l = VqRi. Напряженно—деформированное состояние среды в НДК задается тензором Пиола IIi = II( i). [c.34]

Поскольку конфигурация тела определяется градиентом места деформации, то естественно этот тензор принять за основу при варьировании напряженного состояния. С учетом правил дифференцрфования произведения тензоров по следовательно получаем [c.36]

В общем случае изучение механических процессов в начально-деформированных телах необходимо проводить в рамках нелинейной теории упругости. Однако, множество процессов, происходящих в начально-деформированных телах, можно рассматривать в рамках линеаризованной теории наложения малых деформаций (возмущений) на конечные деформации (начальное состояние) в предположении, что возмущения малы. Традиционно [30, 41, 42] различают три состояния тела естественное (ненапряженное) состояние (ЕС), начально-деформированное состояние (НДС) и актуальное (возмущенное по отношению к НДС) состояние. При этом особое значение приобретает выбор системы координат, которая может быть связана либо с естественной конфигурацией (система координат Лагранжа или материальная система координат), либо с актуальной конфигурацией (система координат Эйлера) [30, 41, 42]. Линеаризованные уравнения движения существенным образом зависят как от выбора системы координат, так и от выбора определяющих соотношений, поскольку имеет место возможность определения напряженного состояния различными тензорами (Коши, Пиола, Кирхгофа и т.д.) и множественность их представления через меры деформации (Коши-Грина, Фингера, Альманзи) или градиент места. Более детально с особенностями постановки задач для преднапряженных тел можно ознакомиться в монографиях А. И. Лурье [41], А. Лява [42] и А. Н. Гузя [30]. [c.290]

Мера Коши —Грина неиндифферентна, Фингера —индифферентна. Следствием из этого и формул (6.4) является неиндифферентность левого, индифферентность правого тензора искажений. К этому же можно прийти, основываясь на полярном представлении градиента места [c.44]

Замечание 1. Уравнения (4) можно получить вариационным путем, если в выражение потенциальной энергии упругой среды включить вторые градиенты места (Тупин, 1964) это несовместимо с принимаемым далее ограничением, что упругая среда принадлежит к классу простых материалов (гл. 3, 1). Доказано также (Гертин, 1965), что теория непростых материалов второго порядка требует во избежание противоречий с принципами термодинамики учета моментных напряжений. [c.73]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...