Лагранжева система координат

Как и при рассмотрении переноса количества движения, используется лагранжева система координат. На физическую систему накладываются с.ледующие дополнительные ограничения [c.77]

Траектории частиц в вихревом потоке. В лагранжевой системе координат уравнение (6.41) принимает вид [c.339]

Ец. Введем также обозначение r,7 = OS ,7— - OS 0,7. На основании (3.10) в лагранжевой системе координат [c.66]

Тогда уравнения (IV. 186), указанные Е. Крекером, являются трехмерным аналогом уравнений тяготения А. Эйнштейна (IV. 166). Таким образом, инородная материя вызывает появление кривизны в лагранжевой системе координат, с которой связана метрика в деформирующемся теле. [c.535]

Рис. 6.10.2. Пространственно-временная картина режима индукционного зажигания в лагранжевой системе координат (0н=Ю, у=0, >4 р=0,03 а=0,5 й = 0,6)

Рис. 106. Система отсчета ж и лагранжева система координат.

Если обозначить через и — компоненты метрического тензора в лагранжевой системе координат соответственно в начальном и актуальном состояниях, то, как известно, компоненты тензора деформаций вводятся формулами [c.310]

В теории деформирования твердых тел часто рассматривают случай, когда деформации и относительные смещения малы. Если при этом лагранжева система координат выбрана так, что в какой-нибудь момент времени (например, в начальный) она совпадает с системой отсчета, то в дальнейшем она будет мало отличаться от системы отсчета и, очевидно, компоненты любого тензора или вектора в лагранжевой системе координат и в системе отсчета будут отличаться на малую величину. Если в теории учитываются лишь малые первого порядка, то [c.310]

Рассмотрим упругое тело, в котором компоненты тензора деформаций г J, и относительные смещения малы, а в качестве начального состояния, отвечающего метрике °дц (см. 1), выбрано состояние, которое может быть реально осуществлено, т. е. существуют перемещения из состояния, отвечающего метрике в актуальное деформированное состояние. Пусть лагранжева система координат в начальном состоянии выбрана совпадающей с системой отсчета. Тогда координаты ж точек среды в деформированном состоянии представляются в виде [c.319]

В этом случае компоненты всех тензоров в лагранжевой системе координат и в системе отсчета различаются на малые высшего порядка по сравнению с величинами самих компонент. Имея это в виду, дальше будем опускать знак " над компонентами тензоров. [c.319]

Отмеченные три состояния можно рассматривать как непрерывные многообразия, в которых индивидуальные точки определены одними и теми же лагранжевыми координатами Обозначим векторы базисов лагранжевой системы координат Е в этих трех состояниях среды через [c.421]

Из формул (2.1), (2.2) и (2.3) видно, что при таком определении тензоров пластических, упругих и полных деформаций для ковариантных компонент этих тензоров в лагранжевой системе координат верно равенство [c.422]

Замкнутая система уравнений теории пластичности включает в себя следуюш,ие 29 уравнений три дифференциальные уравнения движения (V.18) шесть уравнений связи деформаций с перемещениями (11.35) [в лагранжевой системе координат эти уравнения [c.235]

Уравнение (XIV.36) записано в сопутствующей (лагранжевой) системе координат. Поэтому оно справедливо в любой криволинейной неортогональной системе координат. Если рассматривается мгновенное состояние деформируемого тела, то можно выбрать и прямоугольную декартову систему координат. В этом случае все индексы можно записать внизу, а интегралы по времени опустить. Сказанное справедливо и для всех последующих уравнений этого параграфа. [c.310]

Уравнение (1.1) является записью второго закона Ньютона применительно к элементу сплошной среды. Известно, что законы Ньютона являются инвариантными по отношению к преобразованию Галилея. Легко проверить, что векторное уравнение (1.6) по отношению к этому преобразованию не инвариантно. Если в акустическом случае классическое волновое уравнение оказывается инвариантным по отношению к преобразованию Лорентца, то уравнение движения Ламе не инвариантно и по отношению к этому преобразованию. Причина такого положения в неточности, допуш,енной при вычислении ускорения элемента среды. Производная по времени для данного элемента среды d/dt и производная по времени в данном месте пространства d/dt отличаются между собой. С учетом этого различия указанный парадокс исчезает, однако соответству-юш,ее уравнение движения становится нелинейным. Нелинейные слагаемые имеют тот же порядок малости, что и отброшенные при выводе уравнений (1.1) — (1.3) в лагранжевой системе координат, жестко связанной со средой. [c.17]

Соотношения (1.65) справедливы в общем случае только для компонент тензоров в лагранжевой системе координат (но не в системе отсчета). [c.43]

Кроме лагранжевой системы координат, может быть введена система отсчета в общем случае с криволинейными координатами rf относительно которой рассматриваем движение частиц тела. Координаты, занимаемые частицей в каждом из состояний, обозначим [c.297]

В том случае, когда одна из функций Р или Q в (2.23) или (2.28) равна нулю, т. е. для одностороннего излучения возмущения конечной амплитуды, которое обычно называют простой волной, решением исходных уравнений как в эйлеровой, так и в лагранжевой системе координат будет [c.62]

Отличие акустических радиационных сил от электромагнитных заключается не только в том, что уравнения гидродинамики нелинейны, но также и в том, что в акустическом случае ореда и поверхность препятствия, вообще говоря, совершают колебания под действием волны, в то время как в электродинамике типичным является случай, когда среда или поверхность препятствия неподвижны. Поэтому при рассмотрении акустического радиационного давления существенным является вопрос о том, в каких координатах определяется давление. Как всегда, радиационные силы в эйлеровой системе координат — постоянные силы, действующие на поверхность или объем, фиксированный относительно неподвижного пространства. Радиационные силы в лагранжевой системе координат — постоянные силы, действующие на поверхность или объ- [c.178]

Будем предполагать, что фронт ударной волны есть пря мая в лагранжевой системе координат t, X, причем текущие перемещения частиц x t, X) относительно этой системы являются непрерывными, однако скорости частиц и переменные состояния могут претерпевать разрывы. Можно показать, что на фронте ударной волны должны выполняться следующие условия для скачков [c.155]

Замечание 1.6.1. Применение упругого потенциала в той или иной форме определяется спецификой рассматриваемой задачи и используемой системой координат. Опыт показывает, что в лагранжевой системе координат лучше использовать потенциал в виде скалярной функции алгебраических инвариантов тензора деформации Коши. В эйлеровой системе координат удобнее использовать упругий потенциал, выраженный через инварианты меры деформации Фингера. [c.27]

Здесь Vo — оператор Гамильтона, и, q, п — векторы перемещений, напряжений и внешней нормали к поверхности среды соответственно, определенные в лагранжевой системе координат, ро — плотность материала среды. [c.44]

S = О для лагранжевой системы координат, [c.52]

Осесимметричную деформацию тонкостенных заготовок удобно описывать в лагранжевой системе координат. Обычно динамические нагрузки, применяемые для формообразования без нарушения сплошности заготовок, не являются сильно локализованными. Поэтому в расчетах можно применять безмоментную теорию. Деформация заготовки описывается уравнениями движения, совместности и соотношениями, определяющими механические свойства заготовки. Для тонкостенной осесимметричной заготовки из пластически несжимаемого металла уравнения движения [1, 2] можно привести к виду [c.36]

Поскольку Я. И. Френкель интерпретировал уравненпе (6.6) как записанное в лагранжевой системе координат, он не использовал уравнение сплошности твердой фазы (3.19), и чтобы замкнуть систему, он предложил некоторое соотношение для возмущения пористости [c.54]

Приняв лагранжев спектр турбулентности, Чен рассмотрел стационарный ) случай, когда начальный момент временя о равен — схз. В. лагранжевой системе координат прослеживается путь частицы и отмечаются статистически осредненные характеристики потока II твердой частицы. Первоначальная методика Чена была модифицирована Хинце в отношении определения интенсивностей и коэффициентов диффузии. Эти теоретические методы, а также методы Лью [497], Со/ [721 [, Фрпдлендера [232] II Ксенеди [134] были обобщены Чао [104] путем рассмотрения приведенного выше. лагранжева уравнения движения как стохастического, к которо.му внача.ле при.меняется преобразование Фурье. Излагаемый ниже метод принадлежит Чао. [c.50]

Отметим, что для конечных деформаций это свойство аддитивности не выполняется для компонент с другим строением индексов в лагранжевой системе координат, а также для компонент с любым строением индексов (в том числе и чисто кова-риантных) в системе отсчета. Это связано с тем, что (2.4) связывает комцоненты тензоров в разных базисах, хотя и в одной [c.422]

Для сокращения времени решения на ЭЦВМ была выбрана экономичная для условий данной задачи эйлерово-лагранжева система координат и выполнены экспериментальные исследования на ЭЦВМ, связанные с выбором оптимальных шагов по пространственной координате и по времени для диапазона параметров и частот возмущений, имеющих место в котельных агрегатах. Кроме того, были исследованы различные формы конечноразностной аппроксимации и влияние вариаций экспериментальных зависимостей на граничный массовый расход. [c.53]

Современные математические модели, описывающие кинетику сушки материала в шахтных сушилках, базируются на выделении в качестве ключевого элемента кинетику сушки элементарного (дифференциального тонкого) слоя материала или единичной частицы (микрокинетическая задача). Переход на макроуровень (описание кинетики сушки материала во всем объеме шахтной сушилки) осуществляется с использованием одного из двух подходов, в первом из них используется неподвижная (эйлерова) система координат, которая фиксируется на корпусе аппарата в месте ввода материала, а во втором случае выбирается подвижная (лагранжева) система координат, связываемая с центрами частиц, перемещающихся по аппарату [55, 56]. [c.522]

Движение преднапряженной упругой среды в общем случае описывается линеаризованными уравнениями движения (3.1.1) или (3.2.1) в зависимости от используемой системы координат. Далее, метод решения динамической задачи будем излагать на основе использования эйлеровой системы координат, связанной с начально-деформированным состоянием (идентификационные индексы опущены). Переход к лагранжевой системе координат не представляет принципиальных трудностей. [c.55]

Тождество (23) можно доказать, преобразуя правую часть следующим образом. Наше преобразование допустимо, поскольку, как и раньше, VUVU = 0 jr ), благодаря чему четырехкратный интеграл по пространству и времени сходится абсолютно, и, следовательно, можно менять порядок интегрирования. Прежде всего, воспользовавшись лагранжевой системой координат, дви- [c.217]

В 1954 г. Шамбрэ [235] предложил вывод формулы для скорости плоских волн в двухфазной смеси. Он фактически принял гипотезу о равенстве давлений в фазах и неизменности состава смеси. Последнее, как легко видеть, означает равенство фазовых скоростей. Воспользовавшись лагранжевой системой координат, связанной с частицей неизменного состава, Шамбрэ получил следующее эффективное выражение для скорости звука [c.77]

Так преобразуются векторы базиса в лагранжевой системе координат. Рассмотрим точку и близ1 к ней точку М. [c.214]

Изменение длошади в дродессе деФормадии, Пусть (л- , исходная лагранжева система координат (Рис. 3.4). Рассмотрим точки с координатами [c.220]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...