Эйлера подход

Лагранжев и эйлеров подходы [c.21]

В классической механике основными определениями массы являются определения И. Ньютона и Л. Эйлера. Однако можно отметить, что в этих определениях на первое место выступают определения массы методами механики, а определение физического смысла понятия. массы остается до известной степени в стороне. Собственно, прямых возражений против определения массы как величины, характеризующей количество вещества в теле, до XX в. не выдвигалось, так как оно соответствует нашей ежедневной практике. Однако единственная возможность определения этого количества механическими средствами и невозможность, по крайней мере до XX в., найти новый подход к этому вопросу делали это определение массы мало содержательным. Отождествление массы и вещества на основании определения Ньютона принципиально ошибочно. [c.227]

Таким образом, если напряжение к моменту потери устойчивости достигло предела пропорциональности, то расчетное значение критической силы, полученное по формуле Эйлера, окажется соответственно в полтора раза завышенным против истинного. Отсюда просматривается и подход к оценке пределов применимости формулы Эйлера. Пользуясь этой формулой, необходимо следить, чтобы критическое напряжение не приближалось к пределу про- [c.151]

Второй характерный случай применения вариационного подхода — это получение дифференциальных уравнений и граничных условий рассматриваемой задачи как уравнений Эйлера соответствующего функционала. Такой путь оказывается оправданным для тел сложной формы и структуры (например, многослойные оболочки и др.), а также при переходе от одной системы координат к другой (от декартовой системы к полярной, криволинейной и другим системам). [c.57]

При решении большинства инженерных задач необходимо знать, с какими скоростями различные частицы жидкости проходят через определенные элементы конструкций или инженерных сооружений или подходят к ним. Поэтому способ описания движения Эйлера принят основным. [c.36]

Как видно, зависимость (3-8) сочетает в себе два разных подхода а) подход Эйлера, когда и = Дх, у, z, г) б) подход Лагранжа, когда и = /(t). [c.75]

При неустановившемся движении жидкости в трубопроводе могут быть поставлены те же задачи на его расчет, что и при установившемся, однако чаще всего на практике приходится решать задачи первого или второго типа. Для простого трубопровода задача расчета сводится к одному обыкновенному дифференциальному уравнению, как правило, не сводящемуся к квадратурам или системе из двух уравнений. Для численного решения этой задачи можно воспользоваться известными из курса математики методами Эйлера или Рун-ге — Кутта. Последний метод обычно реализуется в математическом обеспечении машины в качестве стандартной программы. При проведении гидравлических расчетов трубопроводов на ЭВМ, особенно для неустановившихся течений жидкости, расчетное уравнение целесообразно привести к безразмерному виду, чтобы основные слагаемые имели порядок величины, равный единице. При таком подходе существенно уменьшается вероятность получения в процессе вычислений машинного нуля или переполнения. [c.138]

Сравнение векторного и вариационного методов в механике. Векторная и вариационная механики — это два различных математических описания одной и той же совокупности явлений природы. Теория Ньютона базируется на двух основных векторах на импульсе и на силе вариационная теория, основанная Эйлером и Лагранжем, базируется на двух скалярных величинах на кинетической энергии и силовой функции . Помимо математической целесообразности возникает вопрос об эквивалентности этих двух теорий. В случае свободных частиц, движение которых не ограничено заданными связями , эти два способа описания приводят к аналогичным результатам. Однако для систем со связями аналитический подход оказывается более экономичным и простым. Заданные связи учитываются здесь естественным путем, так как рассматриваются движения системы лишь вдоль таких траекторий, которые не противоречат связям. При векторном подходе нужно учитывать силы, поддерживающие связи, а потому приходится вводить различные гипотезы относительно этих сил. Третий закон движения Ньютона ( действие равно противодействию ) не охватывает всех случаев. Он оправдывается лишь в динамике твердого тела. [c.19]

Несмотря на то, что имеется целый ряд вариационных принципов, связанных с именами Эйлера, Лагранжа, Якоби, Гамильтона, все эти принципы взаимосвязаны, и к ним ко всем подходит название принцип наименьшего действия , если понимать этот термин в широком смысле слова. [c.136]

При исследовании устойчивости форм равновесия упругих систем первые шаги были сделаны Эйлером. В дальнейшем его подход был развит Лагранжем. По Эйлеру — Лаг- [c.106]

Однако не следует придерживаться той точки зрения, что метод анализа по шагам следует применять во всех случаях. Этот метод возник в результате необходимости рассчитывать системы с учетом нелинейности и начальных несовершенств. Понятно, что многие задачи, легко поддающиеся анализу с позиций классического подхода, решались и будут по-прежнему решаться на основе критерия Эйлера — Лагранжа. Те задачи, где необходимо рассматривать не формы равновесия, а формы движения, будут, очевидно, решаться на основе динамического критерия. [c.149]

Рассмотрим систему, состоящую из балки, опирающейся на три пружины, работающие на кручение, и три пружины, работающие на растяжение (рис. 4.27). Один из классических подходов к исследованию этой системы состоит в том, что используются дифференциальные уравнения и задаются переменные, определяющие решение для каждого пролета балки, после чего из условий, реализующихся в точках присоединения каждой из пружин, определяются произвольные постоянные. Например, для определения собственных частот и нормальных форм свободных колебаний однородное уравнение Бернулли — Эйлера имеет вид [c.173]

Такой подход предоставляет возможность записать модифицированное уравнение Эйлера (2.5) в системе относительных единиц также в виде баланса напоров [c.21]

При математическом описании движения жидкости возможно два различных подхода, предложенных Лагранжем н Эйлером. По Лагранжу в жидкости выделяется определенная фиксированная частица и задается ее траектория следующей системой уравнений [c.21]

Кратко рассмотрим понятие поля параметров. При анализе задач гидромеханики удобно определять параметры движущейся жидкости в зависимости от пространственных координат, и, следовательно, поле параметров определено, если в каждой точке пространства, занятого течением, известны значения этих параметров. Таким образом, например, функция р х, у, г,() определяет давление в точке Q(x, у, г) для частицы жидкости, попадающей в эту точку в момент времени I. В лагранжевых координатах давление отдельной частицы / определяется функцией р — р1 1). Другими словами, при подходе Лагранжа не требуется задавать фиксированную систему координат, как при подходе Эйлера, поскольку система координат движется вместе с частицей. Основные законы движения жидкости справедливы только для системы, имеющей постоянную массу, как в подходе Лагранжа, но они выражаются в фиксированной системе координат, как в подходе Эйлера. Поэтому необходимо найти со-отнощение, связывающее оба этих подхода, и это соотношение [c.345]

При использовании такого подхода, известного как метод Эйлера, наблюдатель отмечает характеристики течения е окрестности фиксированной точки пространства при Прохождении через нее отдельных жидких частиц. Описание полного поля течения по существу заключается в установлении мгновенных картин распределения скоростей и ускорений. [c.53]

Такой подход открывает возможности использования для построения решений Х Р) различных и хорошо исследованных схем интегрирования начальных задач. Простейшая из этих схем, схема метода Эйлера, приводит к следующему алгоритму [c.15]

Приведенная в инвариантной форме полная система соотношений для определения всех характеристик движения элемента упругого тела при практическом использовании привязывается к определенной системе координат. В современных представлениях о возможности описания движения тела или его частей выделяются четыре различных подхода [131]. В механике сплошной среды наибольшее распространение в историческом аспекте получили подходы Лагранжа и Эйлера, или в рамках терминологии работы [131] — отсчетный и пространственный. Поскольку мы далее будем говорить [c.16]

Подходы Эйлера и Лагранжа к исследованию задач механики сплошных сред. Введем декартову систему координат и рассмотрим в сплошной среде частицу т с координатами it = 1, 2, 3) в начальный момент времени и с координатами Хг в текуш,ий момент времени. Пусть точки среды за время t получили перемещения, определяемые вектором смещения с проекциями щ. Считаем, что проекции Ui в каждый момент времени представляют собой непрерывно дифференцируемые функции координат Тогда координаты рассматриваемой частицы в момент времени t определяются в выбранной декартовой системе по формулам [c.7]

Этот тензор соответствует подходу Лагранжа.) При рассмотрении этой задачи с точки зрения Эйлера d i надо выразить через dxj (и подставить в (14.7)). Тогда до- [c.12]

Деформации будем считать малыми и, поскольку в этом случае подходы Эйлера и Лагранжа совпадают, для компонент напряжений и деформаций будем пользоваться [c.37]

Как уже указывалось выше, в условиях полной линеаризации подходы Эйлера и Лагранжа совпадают. [c.43]

Сейчас следует особо подчеркнуть, что поскольку в эйлеров-ском подходе речь шла о единственности решения для параметров внутреннего состояния, то это само собой подразумевало, что в реально проявляющемся эффекте выпучивания значение внешних действующих сил оставалось неизменным. Поэтому и в данном случае такой подход требует постоянства силы Р и, следовательно, о. Далее, приращения Да мы должны рассматривать как результат перехода из исходного в побочное состояние а , и, следовательно, можно отождествить Аоа с бесконечно малым приращением doa, фигурирующим в определяющем уравнении. [c.13]

Существуют два теоретически эквивалентных подхода к решению задач механики сплошной среды лагранжев (материальный) и эйлеров (пространственный). При лагранжевом подходе в качестве основных переменных используются 0, а при эйлеровом — 0, Эйлеров подход применяется в основном в исследованиях по гидродинамике. В настоящей книге, за редким исключением , используется лагранжев подход в двух вариантах [c.21]

В этом случае можно использовать эйлеров подход, описанный в лервом параграфе настоящей главы, когда уравнение (2.6) становится точными. [c.210]

Точно такой же общий подход был распространен на неньютоновские жидкости Уайтом и Метцнером [5]. В этом случае нельзя, вообще говоря, написать уравнения, аналогичные уравнению (7-1.12), и вся аргументация, основанная на отношениях порядков величин, представляется значительно более неопределенной. Тем не менее выводы, сделанные выше (но не сами уравнения), все-таки приближенно справедливы и для неньютоновских жидкостей, для которых физическая интуиция вновь подсказывает, что можно представить себе такие ситуации, когда уравнение Эйлера нарушается лишь в тонком слое, прилегающем к твердым границам. Уравнение движения в направлении х принимает тогда вид [c.259]

Движение сплошной среды может быть изучено двумя методами, один из которых — метод Лагранжа — является обобщением метода, применявшегося в кинематике одной точки. Движение в методе Лагранжа задается в переменных Лагранжа. Другой метод — метод Эйлера — широко использует концепцию теории поля. При этом движение задается и изучается в переменных Эйлера. При рассмотрении движения сплоп ной среды преимущественно используется полевой подход, базирующийся на методе Эйлера и соответственно использующий переменные Эйлера. [c.208]

Теория устойчивости упругих систем была заложена трудами Л. Эйлера в XVHI в. В течение долгого времени она не находила себе практического применения. Только с широким использованием во второй половине XIX в. в инженерных конструкциях металла вопросы устойчивости гибких стержней и других тонкостенных элементов приобрели практическое значение. Основы устойчивости упругих стержней излагаются в курсе сопротивления материалов. Поэтому в настоящей главе рассматривается только теория устойчивости упругих пластин и оболочек как в линейной, так и нелинейной постановке. Интересующихся более глубоко вопросами устойчивости стержней мы отсылаем к книгам [5, 6, 7]. Критический подход к самому понятию упругой устойчивости в середине XX в. явился наиболее важным моментом в развитии теории устойчивости и позволил к настоящему времени сформировать единую концепцию устойчивости упругопластических систем, описанную в 15.1 настоящей главы. [c.317]

Совсем иной подход к решению задачи предложила С. В. Ковалевская. Она впервые в истории механики рассматривала время t как комплексную независимую переменную. Анализируя задачи, рассмотренные Эйлером и Лагранжей, можно заметить, что закон движения твердого тела в этих случаях определяется посредством эллиптических функций времени. Следовательно, на плоскости комплексной переменной t закон движения в двух классических случаях определяется мероморф-ными однозначными функциями. Поэтому, обобшая этот факт, С. В. Ковалевская поставила такую обшую проблему [c.449]

В заключение этого параграфа укажем на два обстоятельства. Во-первых, в современной специальной литературе разработаны методы теоретического определения критического напряжения (Тег для сжатых стержней при А < А. Постановка задачи оказалась существенно более сложной, нежели в подходе Эйлера. Поэтому этот вопрос обычно не включается в курс сопротивления материалов. Во-вторых, экспериментально найденные значения сгсг оказываются обычно несколько меньше соответствующего теоретического прогноза. Это связано с уже упоминавшимися несовершенствами реальной инженерной конструкщ1И. [c.284]

Лишь после опубликования работ Ф. Шенли, выдвинувшего новый подход к рассмотрению процесса потери устойчивости при упруго-пластической деформации сжатого стержня (1946 г.), стало возможным обобщение формулы Эйлера и на неупругую область. Рассматривая потерю устойчивости как процесс, происходящий в движении при непрерывном возрастании сжимающих сил, Шенли по существу вновь возвратился к считавшейся неверной первоначальной формуле Энгессера (27.18) с касательным модулем упругости Ei (поскольку при малом искривлении оси стержня в момент потери устойчивости возрастание сил Р на величину ДР снимает разгрузку волокон на выпуклой стороне вследствие дополнительного сжатия). [c.462]

Вплоть до работ Шенли [25.16] (1946) и [25.17] (1947) использование критерия приведенно-модульной критической нагрузки не. подвергалось сомнению, а решения, основанные на гипотезе отсутствия разгрузки, не вызывали доверия. Шенли при испытании шарнирно опертого стержня путем замера деформаций заметил, что после достижения касательно-модульной нагрузки стержень изгибается и что одновременно растет и сжимающая сила. Таким об]разом, была подтверждена касательномодульная нагрузка. Анализ этого эксперимента, проведенный с помощью модели Ридера (двух жестких стержней, соединенных двумя одинаковыми упругими стержнями) послужил основанием для формулировки концепции продолжающегося нагружения и пересмотра классического подхода Эйлера — Энгессера. Концепция продолжающегося нагружения позволяет значительно упростить решение устойчивости оболочек, поскольку при этом нет необходимости определять границу раздела зон разгрузки и догрузки. [c.303]

Последнее замечание следует сделать относительно выбора координат. В предложенных к настоящему времени методах комбинированного анализа используется система координат Эйлера x,t), поскольку она применяется при рассмотрении контрольного объема. Можно применять и другие системы координат, а именно лагранжевы и псевдолагранжевы. Если сравнивать с этими двумя системами, то использование эй.теровых координат приводит к более громоздким расчетам при анализе одномерного нестационарного течения [66]. Как будет показано ниже, метод характеристик и метод узлов на самом деле связывают подходы Эйлера и Лагранжа, и связывающее соотношение можно найти, исходя из понятия поля параметров. Однако в данный момент мы определим различные координаты для одномерной системы. В рамках подхода Эйлера рассматривается постоянный объем в пространстве, и параметры рабочего тела, мгновенно занимающего этот объем, определяются таким образом, что нет необходимости следить за отдельными частицами газа. При использовании подхода Лагранжа рассматриваются отдельные частицы и прослеживаются их траектории в поле течения. В одномерной системе рассматривается слой газа (а не отдельные частицы) и переменная л заменяется другим параметром (скажем, а для данного слоя газа), который равен величине х при = 0, и, следовательно, значение а будет изменяться от частицы (слоя) к частице (слою). Псевдолагран-жева координата т данного слоя газа обозначает массу газа, содержащегося в объеме между этим слоем и исходным слоем при = о, и поэтому каждый слой имеет свое значение т, ко- [c.344]

Читателям, желающим освоить усоверщенствованные методы анализа рабочего процесса, происходящего в двигателе Стирлинга, следует очень внимательно отнестись к соотнощению (3.97), поскольку изучение имеющихся методов показа.то, что часто не делают различия между производными д/д1 и 0/01, а также одновременно применяют подходы Лагранжа и Эйлера без учета связи между ними. [c.346]

В рамках метода конечных элементов метод продолжения решения впервые был применен, по-видимому, в работе [529]. На основе идеи последовательных нагружений предложено для определения приращений обобщенных координат строить касательную матрщу жесткости с использованием полученных на предыдущем шаге значений координат и усилий. Этот подход, по существу, равносилен интегрированию задачи Коши по параметру нагрузки методом Эйлера. [c.184]

Некоторые модификации явных схем интегрирования началыюй задачи. по параметру, связанные с уточнеююм традиционной схемы метода последовательных нагружений, предложены в работах [231, 256,321]. В первый из них, по существу, предлагается процесс интегрирования по методу Эйлера дополнить одной итерацией метода Ныотона-Рафсона. Позже такая модификация шагового процесса использовалась в [290]. В статье [256] обратнзпо матрицу Якоби линеаризованной пошаговой задачи предлагается строить также путем продолжения на основе разложения ее в ряд Тейлора в окрестности предыдущего значения параметра. Такой подход позволяет не обращать матрицу Якоби на каждом шаге интегрирования. [c.185]

При линейной постановке задачи квадратичные нелинейные члены отбрасываются, и тензоры Альманси и Грина совпадают (т. е. в линейной постановке, как уже говорилось, подходы Лаграня а и Эйлера приводят к одному и тому же результату). [c.13]

Замечание. Выше установлена связь между напряжениями и деформащтями упругой среды при подходе Лагранжа. Можно доказать (см., например, [1, 2, 8]), что при подходе Эйлера связь меяеду тензором истинных напряжений и тензором деформаций Альманси в упругой среде определяется формулой Мурнагана [c.32]

В 1822 и 1823 гг. великими Навье и Коши были представлены в Парижскую академию научные трактаты, или, как их тогда называли, мемуары, положившие начало двум подходам к рассмотрению механических свойств твердых тел. Первый, основанный на рассмотрении тела как системы взаимодействующих между собой молекул, привел к довольно строгим физическим теориям механических свойств кристаллов различного строения. Второй же, так называемый континуальный подход, заключался в замене реального тела воображаемой сплошной средой, непрерывно заполняющей пространство. Уравнения равновесия ее были получены Коши с помощью предложенного Эйлером метода выделения элементарного объема и рассмотрения действующих на него сил. Для описания поведения сплошной среды постулируются определяющие уравнения. Полученная модель такой среды считается пригодной для расчета процессов в некоторых реальных телах, если результаты этого расчета с достаточной точностью соответствуют результатал макроскопического эксперимента, в ходе которого измеряются механические величины, входящие в уравнения. Такие модели называются феноменологическими, они составляют основу механики сплошных сред. [c.34]

Второй подход, развитый Эйлером, в качестве объекта изучения принимает неподвижное пространство наблюдателя (или его фиксированную часнь), заполненную движущейся средой. Различные величины, характеризующие движение, считаются фуккциями точки и времени, т. е. функциями трех аргументов Xi и времени t, называемых переменными Эйлера. [c.92]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...