Вариационное исчисление

Решение этой задачи сыграло выдающуюся роль в истории математики. Оно привело к созданию новой ветви математики — вариационного исчисления. [c.334]

Задача Б представлена в форме общих задач вариационного исчисления. В зависимости от вида функционала Яо и компонентов вектор-функционала Н задачи вариационного исчисления имеют различные формы и различные методы их решения [60]. Выбор той или иной формы задачи во всех случаях обусловлен удобством и эффективностью решения. Методы решения вариационных задач делятся на две большие группы аналитические и прямые (численные). [c.76]

К прямым методам вариационного исчисления относятся все методы, которые непосредственно не используют необходимые и достаточные условия оптимальности. Прямые методы основаны на различных формах аппроксимации (t) некоторой заданной системой функций. [c.76]

Попытка максимизировать быстродействия и КПД с помощью аналитических методов сделана в [15]. Задача быстродействия решена на основе принципа максимума для линейной зарядной системы второго порядка при пренебрежении индуктивностью в зарядной цепи. Задача о КПД решена методами классического вариационного исчисления также для системы второго порядка при пренебрежении инерционностью обмотки возбуждения и отсутствии корректного учета граничных условий. Допущения, сделанные в обоих случаях, сильно ограничивают практическую применимость полученных результатов. Поэтому в данном примере обе задачи решаются поисковыми методами, не требующими указанных выше допущений. [c.220]

Для дальнейшего обсуждения первых интегралов уравнений движения (законов сохранения) требуется использовать аппарат вариационного исчисления, который нужен нам также и для иных целей, связанных с изучением движений в потенциальных полях. Поэтому в следующем параграфе будут кратко изложены элементы вариационного исчисления, а затем, применяя соответствующий аппарат к теории движения в потенциальных полях, мы вернемся, в частности, к вопросу об общей теории первых интегралов уравнений движения. [c.271]

Элементы вариационного исчисления. [c.271]

Если локальному подходу соответствовал аппарат дифференциальных уравнений, то глобальному подходу соответствует аппарат вариационного исчисления. В связи с тем, что основы вариационного исчисления обычно незнакомы студентам к моменту, когда изучается классическая механика, автор вынужден предпослать изложению вопросов, связанных с глобальным подходом, некоторые сведения о вариационном исчислении, ограничиваясь лишь самыми необходимыми фактами мы рассмотрим к тому же не общий, а лишь частный, недостаточный для наших целей случай, когда сравниваются кривые, принадлежащие одному и тому же однопараметрическому семейству (пучку). [c.272]

В вариационном исчислении устанавливается следующая теорема, определяющая необходимые условия стационарности функционала. [c.274]

Уравнения (46) были получены Эйлером и носят название уравнений Эйлера вариационного исчисления. [c.274]

Мы приводим здесь эту основную теорему вариационного исчисления без доказательств, так как нам предстоит доказать ее в следующем параграфе. [c.274]

Пример 62. Задача о брахистохроне. В 1696 г. И. Бернулли поставил и решил следующую задачу материальная точка, имеющая начальную скорость, равную нулю, движется под действием силы тяжести по некоторой кривой, соединяющей две заданные точки. Найти такую кривую, при движении по которой время движения будет наименьшим. Эта задача получи-л а название задачи о брахистохроне н положила начало вариационному исчислению. [c.235]

В этом периоде братья Якоб и Иоганн Бернулли, исследуя аналитически движение тяжелой точки по различным кривым, положили начало вариационному исчислению. Кроме того, Иоганну Бернулли принадлежит точная формулировка одного из основных принципов механики — принципа виртуальных перемещений (1717 г.). [c.13]

Будем теперь искать такую кривую, двигаясь по которой точка пройдет путь АВ в кратчайшее время аналитически эта задача сводится к нахождению такой функции z(x), которая обращала бы функционал (43) в минимум. Кривая, обладающая таким свойством, называется брахистохроной (от греческих слов рра што —кратчайший и xP vo —время). Задача о брахистохроне была впервые поставлена и решена в 1696 г. Иоганном Бернулли, который тем самым положил начало вариационному исчислению — отделу анализа, посвященному нахождению экстремумов функционалов. [c.416]

Так как функция (х) произвольна и на пределах интеграла обращается в нуль (ибо вариации 6z в точках А я В равны нулю), то в силу основной леммы вариационного исчисления подынтегральное выражение равно нулю. т. е. [c.418]

Эти задачи решают методом вариационного исчисления, применение которого в механике позволяет решать, в частности, задачи расчета оптимальных космических траекторий, расчеты на оптимальность в автоматике, экономике и т. д. [2]. [c.377]

И. Бернулли поставил задачу, которую считают исторически первой конкретной задачей вариационного исчисления. Он предложил найти среди кривых, соединяющих две точки А и В, не ле-д жащие на одной вертикали, та- [c.438]

Мы докажем это из элементарных соображений, не обращаясь к общим теоремам вариационного исчисления 1). [c.438]

Найденное выражение Т — функционал ). Задача заключается в определении такой кривой, соединяющей точки А и В, чтобы функционал (Ь ) имел минимум при произвольных Хо и Хх. Эта задача решается посредством применения общих методов вариационного исчисления. Мы решим ее менее строго, применив элементарные методы. [c.439]

Конечно, приведенное здесь решение задачи о брахистохроне нельзя считать достаточно строгим. Вполне строгое исследование вопроса о брахистохроне возможно при использовании основных теорем вариационного исчисления ). [c.440]

Отсылаем читателя к курсам вариационного исчисления и подробным руководствам по аналитической механике ). [c.198]

Более подробно эти вопросы рассматриваются в курсах дифференциальной геометрии и вариационного исчисления. [c.207]

Возникает вопрос о непосредственном применении вариационных принципов механики для определения закона движения системы материальных точек без интегрирования соответствующей системы дифференциальных уравнений движения. Ответ на этот вопрос можно найти в прямых методах вариационного исчисления. Не рассматривая этот вопрос подробно, так как такое рассмотрение выходит за пределы содержания этой книги, остановимся на некоторых частных случаях непосредственного применения принципа Гамильтона — Остроградского к решению задач динамики. [c.210]

Заметим, что при приближенном решении задач (2.425) и минимизации функционала (2.427) второму из условий удовлетворять не обязательно если эти задачи решены точно, то, как только что установлено, второе из условий (2.422) удовлетворяется автоматически. Условия такого типа в вариационном исчислении называются естественными. Условия типа (2.405), которые необ- [c.113]

Прежде всего рассмотрим возможности классических или аналитических методов оптимизации, основанных на применении средств дифференциального и вариационного исчислений для определения экстремума функции цели. Эти методы позволяют определить лишь необхо-. димые признаки относительного или локального экстремума, для чего используются частные производные функции цели по параметрам. Применение классических методов возможно только при условии дифференцируемости указанной функции. Как известно, в точке экстремума все частные производные функции обращаются в нуль, т. е. [c.149]

Для решения задач поиска оптимальных алгоритмов управления находят применение методы вариационного исчисления. Наибольшей простотой характеризуется прямой вариационный метод [10], существо которого состоит в следующем. [c.222]

Методы классического вариационного исчисления позволяют определять экстремумы функционала вида [c.223]

Однако применение методов классического вариационного исчисления при отыскании оптимального управления существенно ограничивается по следующим причинам [c.224]

Если действительное перемещение ёг точки есть дифференциал функции г=г (1), определяющей закон движения этой точки, то возможное перемещение 8г той же точки является по своему смыслу вариацией функции г=г (1), ибо вариацией функции, как это известно из вариационного исчисления, называется элементарное изменение ее значения за счет изменения вида самой функции при неизменном значении аргумента ). В самом деле, возможное перемещение точки мы искали именно при остановленном времени 1, а изменение вида функции г=г (I) у нас заключалось в том, что мы допускали любые законы воображаемого бесконечно малого перемещения точки, совместимое с наложенными на нее в данный момент связями. [c.756]

Отсюда при закрепленных по д, концах ) из принципа Гамильтона обычными приемами вариационного исчисления получаем следующие дифференциальные уравнения движения ) [c.217]

Предлагаемая вниманию читателя книга В. Прагера — одного из основоположников теории оптимального проектирования конструкций (широко известного также своими фундаментальными работами в теории пластичности), посвящена результатам в данной области, полученным за последнее десятилетие. Главная их часть основана на использовании в оптимальном проектировании конструкций классических вариационных принципов. Непосредственное применение методов вариационного исчисления к оптимальному проектированию конструкций приводит лишь к необходимым условиям стационарности оптимизируемого параметра, не гарантируя его локальной или глобальной минимальности (или максимальности). Достаточные условия оптимальности в ряде случаев можно получить, используя для рассматриваемого класса конструкций соответствующий вариационный принцип. [c.5]

Лаврентьев М. А., Люстерник Л. А. Курс вариационного исчисления. Москва, Ленинград. Государственное издательство техникотеоретической литературы. 1950. [c.176]

Блисс Дж. Лекции по вариационному исчислению/ Пер. с англ.— М. ИЛ, 1950.—348 с. [c.715]

Поэтому принцип Журдена, как и принцип Даламбера — Лагранжа, следует отнести к вариационным соотношениям , а принцип Гаусса — к вариационным принципам механики ). Впрочем, эта детализация терминов не получила общего признания ), хотя она соответствует содержанию вариационного исчисления. [c.189]

Рещение лагранжевых уравнений движения требует знакомства с некоторыми основными выводами вариационного исчисления поэтому сейчас мц не будем эаиимагься этим вопросом. [c.155]

Принцип максимума явпяг1ся расширением классического вариационного исчисления для случаев, когда управляющие воздействия имеют ограничения и описываются кусочно-непрерывными функциями. Он распространяется и на случай, когда на координаты состояния объекта накладываются ограничения типа неравенств [10]. Однако сложность математического описания ЭМУ приводит к существенным вычислительным трудностям при реализации принципа максимума. [c.224]

Вариационные принципы механики (1965) -- [ c.18 ]

Механика сплошных сред (2000) -- [ c.267 ]

Введение в теорию упругости для инженеров и физиков (1948) -- [ c.574 ]

Метрология, специальные общетехнические вопросы Кн 1 (1962) -- [ c.574 ]

Математическая теория упругости (1935) -- [ c.20 , c.183 , c.515 ]

Применение метода конечных элементов (1979) -- [ c.376 ]

Машиностроение Энциклопедический справочник Раздел 1 Том 1 (1947) -- [ c.0 , c.251 ]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...