Динамические уравнения Лагранж

Так как уравнения (124 ), помимо произвольных постоянных, содержат аргументы р, q, то их можно рассматривать как п интегралов канонических уравнений, между тем как уравнения (124") вместе с q содержат q и потому представляют собой п первых квадратичных интегралов для первоначальных динамических уравнений Лагранжа, эквивалентных канонической системе. [c.342]

Используя динамические уравнения Лагранжа, мы получим вместо системы (1) уравнения движения в следующем виде [c.379]

Выражение в квадратных скобках в уравнении (1-7.12) представляет собой, очевидно, субстанциональную производную скорости выкладки, приводящие к уравнению (1-6.7), можно без труда повторить с заменой ноля плотности р полем скорости v. Подставляя выражение (1-7.12) в уравнение (1-7.10), получаем динамическое уравнение в форме Лагранжа [c.45]

Итак, построение динамической модели состоит в приведении сил (определение Ml ) и в приведении масс (определение / F). Подчеркнем при этом, что динамическая модель должна быть обязательно построена.так, чтобы было выполнено уравнение (4.1) иначе сам переход от заданного реального механизма к его модели становится бессмысленным. Выполнение же уравнения (4.1), как следует из уравнения Лагранжа II рода, будет обеспечено в том случае, если при приведении сил будет соблюдено условие равенства элементарных работ, а при приведении масс — условие равенства кинетических энергий. [c.145]

Такие решения с применением систем уравнений Лагранжа второго рода являются приближенными не только из-за численных методов решения дифференциальных уравнений, но и потому, что трение в кинематических парах здесь можно оценить лишь весьма приближенно, а упругость звеньев и зазоры в кинематических парах не учитываются вообще. Поэтому при разработке опытных образцов ПР применяют экспериментальные методы динамического исследования ПР, позволяющие с помощью соответствующих датчиков и аппаратуры записать осциллограммы перемещений, скоростей и ускорений звеньев и опытным путем учесть как неточности теоретического расчета, так и влияние ранее неучтенных факторов. [c.338]

Пусть в старых координатах динамическая система имеет лагранжиан L q, dq/dt, i), и пусть qj tj q , 4 ), / =1, п,— решение соответствующих уравнений Лагранжа, В пространстве q, t эти решения определяют семейство кривых. В пространстве q, t им соответствует новое семейство кривых. [c.280]

Кроме динамических уравнений Эйлера, можно решать задачи с помощью уравнений Лагранжа, отнесенных к обобщенным координатам —углам Эйлера. [c.542]

Применяя общие теоремы динамики, дифференциальное уравнение вращения твердого тела вокруг неподвижной оси, дифференциальные уравнения плоского движения твердого тела, динамические уравнения Эйлера, уравнения Лагранжа, часто в число рассматриваемых сил ошибочно включают силы инерции. Следует помнить, что силами инерции следует пользоваться только в случае применения [c.544]

Пример 1.10. Составим уравнение движения динамически симметричного маховика относительно корпуса летательного аппарата (см. пример 1.8), используя форму уравнений Лагранжа второго рода (1.111). [c.48]

Заметим, что, используя приведенную формулу для Г, кинематические уравнения Эйлера и уравнения Лагранжа второго рода, можно получить динамические уравнения Эйлера. [c.181]

Механизмы, подверженные колебаниям, можно моделировать механической системой с конечным числом степеней свободы, движение которой описывается уравнениями Лагранжа второго рода. Предположение о малости колебаний приводит к линейным динамическим системам с постоянными коэффициентами. Эти уравнения интегрируются в общем )зиде, что позволяет полностью исследовать явления, которые они описывают. [c.200]

Уравнения Лагранжа в форме (92) представляют собой но существу правила составления динамических дифференциальных уравнений движения системы в обобщенных координатах. Уравнения движения составятся, если выполнить все операции над кинетической энергией, указанные в уравнениях (92), и вычислить выражения обобщенных сил согласно условиям той или иной задачи. [c.365]

Динамические уравнения движения несвободной материальной системы, ограниченной двусторонними идеальными (голономными или неголономными) связями, называются уравнениями Лагранжа первого рода. 2. Уравнения голономных связей не содержат никаких производных от координат. [c.20]

Уравнения Лагранжа второго рода в форме (11.31) или (П. 32) при некоторых обобщающих предположениях о составе функции Е могут описывать различные физические процессы. Здесь мы не будем углубляться в этот вопрос, а заметим лишь, что почти все сказанное дальше в этом параграфе об обобщенном интеграле энергии остается справедливым и для более общих случаев физических процессов. Теряют смысл лишь заключения, основанные на разложении функции I на кинетическую и потенциальную энергии. Если такое разложение возможно, система называется динамической. [c.134]

Указания к составлению уравнений движения и уравнений для определения динамических реакций. Уравнения движения составляются в форме уравнений Лагранжа 2-го рода. Рассматриваемые механические системы имеют две степени свободы. В качестве [c.128]

Как было показано, принцип Даламбера позволяет записывать динамические уравнения движения в виде уравнений равновесия, так как при добавлении сил инерции к активным силам и силам реакций связен, действующим на систему, получается уравновешенная система сил. Но если система сил уравновешена, то к ней применим принцип возможных перемещений. Последовательное применение этих принципов к движущейся механической системе, на которую наложены идеальные стационарные голономные удерживающие связи, позволяет сформулировать принцип Даламбера— Лагранжа если к движущейся механической системе, на которую наложены идеальные стационарные голономные удерживающие связи, условно приложить силы инерции всех ее точек, то в каждый момент времени сумма элементарных работ активных сил и сил инерции равна нулю на любом возможном перемещении системы, т. е. [c.288]

В 3—6, наоборот, мы будем исходить из деления сил на активные силы и реакции связей и покажем, в предположении отсутствия трения, как и в этом динамическом случае принцип виртуальной работы позволит исключить из дифференциальных уравнений движения в самом общем виде неизвестные реакции. Мы придем таким образом к классическим уравнениям Лагранжа ( 6) и посредством ряда дополнительных выводов, и конкретных примеров покажем их огромную важность как в теоретических вопросах, так и для при- ложений ( 7—9). [c.256]

Наконец, даже не составляя на самом деле уравнений Лагранжа, можно придти к тому же заключению, замечая, что по отношению к координатам s, С живая сила (63) и потенциал (64) нашей точки тождественны с живой силой и потенциалом свободно падающего тяжелого тела, отнесенного, в вертикальной плоскости, содержащей начальную скорость, к осям 9 и С, вторая из которых совпадает с вертикалью, направленной вниз. Мы имеем здесь, таким образом, второй пример динамической эквивалентности (п. 38). [c.311]

Исследование динамической устойчивости, изложенное для одной точки в гл. II, 6, и последующее изучение малых колебаний около положения устойчивого равновесия можно распространить, пользуясь уравнениями Лагранжа, на случай какой угодно голономной системы. [c.352]

В теории малых колебаний мы исходили из уравнений Лагранжа, которые представляют собой уравнения второго порядка. Здесь же мы имеем уравнения первого порядка, и поэтому при определении устойчивости нужно иметь в виду, что малость г означает как малость самого отклонения, так и малость скорости динамической системы. Рассмотрим, например, простой случай, когда х представляет лагранжеву координату динамической системы с одной степенью свободы и первое из уравнений (19.3.1) имеет вид х = у. Особые точки х , 0) дают конфигурации х = Xq, при которых система может находиться в покое при этом требование малости величины г = [c.370]

Это — уравнения движения в форме Гамильтона их называют также каноническими уравнениями. Переход от лагранжевых уравнений к уравнениям Гамильтона — чисто математический процесс, не имеющий никакого отношения к исходной динамической системе. Для любой системы, описываемой уравнениями Лагранжа в форме (46.18), будут иметь место уравнения Гамильтона в [c.129]

Уравнения движения МА, работающего в режиме редуцирования и в фазе вынужденного движения, получены на основе представления ИВ в виде двухмассовой динамической модели (рис. 1) и применения уравнения Лагранжа II рода с неопределенными множителями [3, 4] при этом приняты следующие координаты [c.80]

Возможны иные пути учета динамических явлений в приводных двигателях машинных агрегатов. Можно, например, ввести обобщенные координаты (причем некоторые из них будут относиться к электрическим или гидравлическим, другие — к механическим величинам). Далее методами, основанными на использовании уравнений Лагранжа второго рода, нетрудно получить систему дифференциальных уравнений движения машинного агрегата [109]. [c.8]

Уравнения двин еиия динамической системы, определяемой зависимостями (10.1)—(10.6), запишем в форме дифференциальных уравнений Лагранжа второго рода с множителями 69] [c.172]

Уравнения движения динамической системы (г—р—q—/), используя выражение (4.17) для функции Лагранжа, представим в форме дифференциальных уравнений Лагранжа второго рода [c.131]

Легко заметить закономерность в индексах инерционных и квазиупругих коэффициентов первый индекс отвечает номеру уравнения, а второй — номеру обобщенного ускорения или обобщенной координаты, при которых стоит данный коэффициент. Таким образом, систему (2.16) можно без труда воспроизвести, не прибегая каждый раз к подстановке кинетической и потенциальной энергий в уравнения Лагранжа. Практика инженерных расчетов показывает, что использование инерционных и квазиупругих коэффициентов приводит к разумному автоматизму в деятельности инженера-расчетчика, резко сокращая трудоемкость выкладок и число возможных ошибок на этом весьма ответственном этапе динамического исследования системы. [c.61]

Для снижения колебаний натяжения в проводе при изготовлении обмоток можно применить натяжное устройство полиспастного типа. В настоящей работе проводится динамическое исследование этого устройства с использованием уравнения Лагранжа второго рода. [c.249]

Второе обобихение связано с понятием натуральных и ненатуральных динамических систем и с возможностью при построении новых неклассических) механик аксиоматически вводить в рассмотрение уравнения Лагранжа в форме (29) с лагранжианом L, уже не обязательно равным разности кинетической и потенциальной энергии. [c.157]

При составлении уравнений Лагранжа или канонических уравнений Гамильтона выбор обобщенных координат был ироизволен в том смысле, что за такие координаты можно было выбрать любые s независимых между собой величин, однозначно определяющих положение рассматриваемой динамической системы. Формальный вид этих уравнений не зависит от той системы обобщенных координат, которая выбирается. Это значит, что если от каких-либо обобщенных координат Q, Q2,. ... Qs перейти к новым обобщенным координатам q, q i,. . по формулам [c.137]

Для того чтобы полностью определить закон движения твердого тела, системы динамических уравнений Эйлера недостаточно. Эту систему следует допо.пнить кинематическими соотношениями ( 6.2). В целом получается система дифференциальных уравнений, исследование свойств решения которой часто сопряжено со значительными трудностями. Ниже будут рассмотрены три случая, когда для этой системы аналитически может быть построено общее решение. Это — случай Эйлера, когда момент внешних сил отсутствует, а также случаи Лагранжа-Пуассона и Ковалевской, когда движение вокруг неподвижной точки происходит под действием параллельного поля силы тяжести. [c.466]

Составим уравнения движения саней, используя динамические уравнения движени я в обобщенных координатах с множителями Лагранжа [c.322]

Указания к определению реакций связей. Если уравнения движения составлялись с помощью общих теорем динамики, то полученную систему динамических уравнений нужно разрещить относительно искомых реакций. Если уравнения составлялись в форме уравнения Даламбера — Лагранжа, то для определения реакций связей рекомендуется освободить соответствующее звено от связей и с помощью общих теорем динамики составить такие уравнения, куда вошла бы искомая реакция. [c.94]

Описание задания. Цель расчета — приобретение опыта составления и исследования уравнений движения голономных ме.ханиче-ских систем в форме уравнений Лагранжа 2-го рода. Аналитически определяют положение равновесия системы, с помощью ЭВМ находят ее движение относительно этого положения, определяют динамические реакции. [c.121]

Рассмотрим динамическое поведение системы однс атомных молекул. Допустим, что силы, действующие на систему молекул, консервативны, а связи отсутствуют. Тогдг, как известно из классической механики, движение системы, имеющей п степеней свободы, определяется совокупностью уравнений Лагранжа [c.6]

Динамика промышленных робртов. В отличие от копирующих манипуляторов с ручным приводом промышленные роботы представляют собой механическую сис[гему, в которой динамические нагрузки (нагрузки от сил инерции) могут быть значительными. Эти нагрузки определяются из решения системы уравнений движения. Для составления уравнений движения пространственного механизма с несколькими степенями свободы применяются два метода метод уравнений Лагранжа второго рода и кинетостатический метод. Поясним оба метода на примере простейшего промышленного робота с тремя степенями свободы при цилиндрической зоне обслуживания (рис. 149). [c.272]

Динамическое осуществление связей и сервомоторных сил. Удаляясь несколько от прямых приложений уравнений Лагранжа, [c.318]

Динамический случай. Обращение теоремы Дирихле. Оставим пока общие рассуждения предыдущих пунктов, чтобы показать, как они связываются с задачей о малых колебаниях голономной системы около некоторой конфигурации устойчивого равновесия, изученной уже нами в 3 при помощи уравнений Лагранжа. [c.387]

Алгебраические первые интегралы. Случай Гесса. В случаях Эйлера, Лагранжа и Ковалевской последний из первых интегралов, приводящий к интегрированию посредством квадратур уравнений движения тяжелого твердого тела с одной закрепленной точкой (п. 24), является, как и интегралы живых сил и моментов, алгебраическим относительно неизвестных функций. Поэтому естественно, что предпринимались общие исследования вопроса о том, допускают ли и в каких случаях динамические уравнения тяжелого твердого тела, закрепленного в одной точке, помимо двух классических интегралов, какой-нибудь новый алгебраический интеграл, относительно переменных р, 1 f, Yu Тэ> Ifs Однако глубокое исследование Гюссона ), выполненное в более изящной форме Бургаттив), привело к заключению, что, помимо рассмотренных ранее случаев Эйлера, Лагранжа и Ковалевской, не существует других алгебраических интегралов, кроме интегралов живых сил и моментов. [c.168]

При этом все другие параметры, как, например, скорости, должны быть получены из этих обобщенных координат. Таким образом, принцип, оставаясь механическим по своему происхождению, охватывает другие области физики. Первостепенную роль в этом расширении сферы действия принципа играет аналогия, ибо хотя по содержанию обобщенные координаты могут существенно отличаться от координат механики х, у, z, но формы связи их между собой и скоростями их изменений совпадают с соответствующими формами механики. В сущности, значение принципа Гамильтона в классической неполевой физике сводится к весьлш простому обстоятельству. Исследуется какая-либо физическая система, о которой а priori нельзя утверждать, что она удовлетворяет уравнениям Лагранжа. Непосредственно подставлять значения соответствующих функций в эти уравнения не всегда лшжно во-первых, часто трудно подобрать соответствующий вид функции, а во-вторых, неясно, будут ли она удовлетворять этим уравнениям. Поэтому на сцену выступает принцип Гамильтона. Если удастся параметры такой системы привести к виду функции L и если эта функция обратит в нуль вариацию интеграла Гамильтона, то тогда, введя эту функцию в уравнения Лагранжа, можно динамически определить систему. [c.871]

В первой главе рассматриваются уравнения Лагранжа второго рода для механических систем с иеременными массами. С помощью принципа условного затвердевания получено удобное на практике выраягение для обобщенной силы, возникающей за счет изменения кинетической энергии частиц перемепной массы. Исследована структура приведенного момента массовых сил и составлено дифференциальное уравнение движения машинного агрегата относительно его кинетической энергии. Рассматривается вопрос о влиянии масс обрабатываемого продукта, поступающих к исполнительным звеньям механизма, на инерционные параметры и суммарную приведенную характеристику машинного агрегата. В аналитической форме даются условия работы широких классов машинных агрегатов, время разбега и выбега которых мало но сравнению с общим временем их движения. Выясняется динамический смысл этих условий. [c.7]

Тогда же возник вопрос об общем методе кинетоста-тических исследований. С этой целью машиноведы пробовали применить не только принцип Даламбера, но и уравнение Лагранжа — однако безрезультатно. Как пишет Лоренц, все... динамические операции основывались на последовательном применении принципа потерянных сил Даламбера, который обеспечивал рассчитывающему и конструирующему инженеру преимущество непрерывной обозримости всех действий, что также сделало основы динамики особенно удобными для преподавания в высшей школе. Это следует подчеркнуть в особенности, ибо в последнее время стремятся приспособить для этого заимствованные из аналитической механики уравнения Лагранжа для каждой степени свободы движения... Основываясь на собственном опыте, я сомневаюсь, чтобы этот весьма значительный в науке метод пришелся но вкусу большинству инженеров [c.90]

При динамическом анализе составляются уравнения двинче-1П1Я механизмов. Обычно ири этом предполагается, что связи, осуществляемые кинематическими парами, являются идеальными, что позволяет использовать аппарат уравнений Лагранжа второго рода. Использование обычной процедуры составления уравнения Лагранжа, которая будет подробно рассмотрена в 3, приводит к системе уравнении [c.12]

В большинстве случаев механические системы машинных агрегатов при анализе их динамических характеристик в линейном нриблин ении рассматриваются как многомерные динамические системы с линейными голономными связями стационарного типа [25]. Уравнения движения таких систем можно получить при помощи дифференциальных уравнений Лагранжа второго рода. Однако в общем случае при рассмотрении несвободных динамических систем построение кинетического потенциала системы сопряжено с громоздкими, трудно обозримыми процедурами нсклю-чения избыточных координат. [c.171]

В настоящей работе сделана попытка динамического исследования описанного натяжного устройства. Для решения задачи нспользованы уравнения Лагранжа второго рода. [c.250]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...