Определение разностное — Методы решени

Все рассмотренные нами ранее разностные схемы для решения уравнений теплопроводности являются реализациями метода конечных разностей. Системы алгебраических уравнений для определения численного решения мы получали путем замены производных в дифференциальном уравнении и в граничных условиях или в уравнениях теплового баланса для элементарных ячеек конечными разностями. Таки.м образом, в методе конечных разностей отправной точкой для получения приближенного решения является дифференциальная краевая задача. Однако искомое поле можно находить и из решения соответствующей вариационной задачи. На ее численном решении основан получивший широкое распространение метод конечных элементов (МКЭ) [7, 27]. [c.128]

Система уравнений (1.46) - (1.48) совместно с (1.39) позволит найти изменения параметров во времени и по длине одномерного потока сжимаемой среды. Такова она будет и для идеального газа, и для реальной однофазной среды, и для двухфазной смеси. Различие будет лишь в способах определения скорости распространения волны возмущения и коэффициента Грюнайзена. Физический смысл и способы определения этих величин рассмотрены в [55]. Там же достаточно подробно изложен конечно-разностный метод решения уравнений гидродинамики с использованием метода характеристик. [c.16]

Таким образом, имеем систему четырех уравнений с четырьмя неизвестными Ti.s+i, Tz.k+i, Ta.h+i и Ti,h+i. Для определения температурного поля в рассматриваемом простейшем случае необходимо решить эту систему уравнений. С уменьшением шага интегрирования по координате, а также в случае плоских или пространственных температурных полей число уравнений в системе (2-136) возрастает настолько, что для ее решения необходимы соответствующие приемы (например, метод разностной факторизации — прогонки ). В общем случае порядок системы равен числу узлов сетки, в которых аппроксимируется данное дифференциальное уравнение и граничные условия, за исключением граничных условий первого рода. При сравнительно небольшом числе узлов (10—15) используются, как правило, прямые методы решения. В более сложных случаях система уравнений решается только каким-либо методом итераций (Л. 52]. [c.105]

С появлением и быстрым развитием вычислительной техники произошла определенная переоценка ценности методов, применяемых в вычислительной математике. Память ЭВМ и их быстродействие вначале были еще малы, чтобы эффективно решать системы типа (V.1) при больших значениях N, но уже первые ЭВМ позволили получать достаточно точные решения задач, построенные с помощью другого метода — разностного. Чтобы понять причину этого, запишем в разностной форме Следующую краевую задачу [ИJ . [c.170]

Метод конечных разностей основывается на замене уравнения Лапласа набором линейных алгебраических уравнений, связывающих друг с другом значения потенциала в узлах расчетной сетки. Эта связь может быть установлена и другим способом. В методе конечных элементов используется расчетная сетка, состоящая из треугольных элементов переменных размеров, покрывающих всю область, для которой необходимо найти решение уравнения в частных производных, -Затем аппроксимируемая вариация потенциала на каждом таком элементе некоторым образом связывается с положением угловых узлов, и строится функционал (интегральная величина, определенная на множестве функций), минимизация которого по значениям потенциала в узлах треугольников эквивалентна решению уравнения в частных производных [122]. Эти два подхода математически эквивалентны, поэтому любая задача, сформулированная в виде уравнения в частных производных, может быть переформулирована в виде вариационной задачи. Конечно-разностная процедура аппроксимирует решение задачи в форме уравнения [c.154]

Предельная форма течений идеального газа может быть (в определенных пределах) независимой от конкретного вида дополнительных членов в уравнениях газовой динамики, связанных с действием вязкости. Это обстоятельство используется в некоторых численных методах решения задач газовой динамики (в методе искусственной вязкости члены с влиянием вязкости вводятся в исходные дифференциальные уравнения явно подобные же члены фактически возникают при конечно-разностной аппроксимации дифференциальных уравнений— это так называемая схемная вязкость). [c.333]

Рассмотрим теперь численный метод решения полной системы уравнений (1.109). .. (1.113). После определения всех параметров на близлежащей к оси линии тока начинается численное интегрирование полной системы. Для этого из системы (1.109) последовательно определяются на (я+1)-м слое в первой итерации г, V я р. Затем вдоль (га-Ь1)-го слоя, начиная от плоскости 5 = 5о, производится численное интегрирование системы (1.110). .. (1.113) и последовательно определяются функции W, Т, Пз, Уз, Те, р - В сечении 5 = 5о течение принимается равновесным, т. е. параметры частиц полагаются равными параметрам газа. При интегрировании уравнений (1.112) используются неявные разностные схемы [см. разд. [c.125]

Основной вопрос, который возникает при анализе результатов численного моделирования, состоит в том, насколько точно они соответствуют реальной картине течения. При численном решении задач аэрогидродинамики кинематические, динамические, геометрические законы подобия передаются в рамках используемой математической модели, каждая из которых имеет свои ограничения. Точность конечно-разностных методов во многом зависит от дискретного множества (сетки) и от того насколько адекватно сетка отражает картину течения. Возможности алгоритма связаны с методом решения задачи и зависят от класса ЭВМ быстродействия запоминающих устройств и др. Обычно считают, что лабораторные эксперименты правильно воспроизводят физическую картину течения кинематические, динамические и геометрические законы подобия. Из-за конструктивных ограничений результаты получаются в определенном диапазоне определяющих параметров, размеров модели. В этом отношении вычислительный эксперимент обладает преимуществами начальные данные, геометрия моделей, определяющие параметры задачи меняются быстро и легко изменением части программы. Лабораторный и вычислительный, эксперименты дополняют друг друга. Поэтому в рассмотренных задачах (главы III—VI) приведено сравнение экспериментальных и численных расчетов. [c.4]

Точное аналитическое решение уравнения (6. 7. 19) может быть получено только для дискретного набора значений параметра W. Поэтому, для того чтобы не сужать область возможных значений W, решение этого уравнения проводится при помощи приближенного метода конечно-разностных схем [98]. Этот метод сводится к тому, что производная по каждой переменной заменяется разностью. Результаты численного решения уравнения (6. 7. 19) затем используются при определении профиля концентрации целевого компонента Ф (6. 7. 14). [c.274]

Остановимся далее на вопросах устойчивости и сходимости разностных схем. Сходимость разностных схем является следствием правильной аппроксимации дифференциальных уравнений разностными и устойчивостью последних. В настоящее время разработаны строгие методы анализа устойчивости разностных схем (см., например, [3—5]). Воспользуемся, однако, упрощенным, но физически более понятным способом для определения условий устойчивости явных разностных схем. В качестве примера исследуем разностное уравнение (3.17). Очевидно, что в процессе решения устойчивой разностной схемы искомая функция должна всегда оставаться ограниченной по величине. Применительно к соотношению (3.17) это условие будет заведомо выполнено, если функция йг, ь+1 В любой момент времени т удовлетворяет условию [c.64]

Дифференциальные уравнения, записанные относительно двух компонент перемещений, заменяются разностными уравнениями, которые выводятся при помощи вариационного метода, основанного на минимизации полной потенциальной энергии. При этом граничные условия в напряжениях, обычно затрудняющие решение задачи, становятся естественными, они входят в выражение для энергии и автоматически удовлетворяются при ее минимизации. Полная потенциальная энергия тела равна сумме энергий для всех ячеек сеточной области. При этом можно считать, что все функции и их производные остаются постоянными в каждой ячейке. Сетка может быть как равномерной (регулярной), так и неравномерной. Конечно-разностные функции для ячеек имеют, кроме того, весовые коэффициенты для учета неполных ячеек, примыкающих к наклонной границе. Получающаяся система алгебраических уравнений относительно узловых значений перемещений оказывается симметричной и положительно определенной и имеет ленточную структуру. В работе [8] дополнительно к основной, сетке строится вспомогательная и перемещения определяются в точках пересечения этих сеток. В результате этого нормальные деформации и напряжения вычисляются в центре ячеек основной сетки только через центральные разности. [c.55]

Приведенные ниже уравнения позволяют рассчитывать изменение параметров во времени для равновесной сжимаемой среды, движущейся в одномерном нестационарном потоке. В основу решения положен известный метод характеристик. Решение уравнений производится разностным методом в его первом нелинейном приближении. Подробно рассмотрены различные типы граничных условий, позволяющие применить развитый расчетный аппарат для решения различных конкретных задач. Полученные решения содержат в себе как частный случай решения для динамики неподвижного теплоносителя и для квазистационарного течения теплоносителя. Эти решения могут быть получены из общего решения для нестационарного потока путем наложения определенных ограничений на скорости распространения трех волн возмущения прямой, обратной и транспортной. [c.12]

В заключение следует отметить, что нелинейное уравнение теплопроводности при произвольной зависимости X=f T) сравнительно легко представляется в ко-нечно-разностной форме различных видов. Расчетные зависимости с симметричным смещением обеспечивают высокую точность [формула (2-121)]. Однако в случае ярко выраженной несимметричности температурного поля, что имеет место в элементах конструкций тепловых машин, несимметричное смещение может обеспечить требуемую точность при большей простоте расчетных зависимостей [формулы (2-119), (2-120)]. Учет нелинейности усложняет расчетные зависимости для определения температуры. Кроме того, учет нелинейности приводит к тому, что коэффициенты в расчетных зависимостях являются переменными. Схема расчета, расчетный бланк и порядок проведения расчета сохраняются такими же, как и при решении линейного уравнения теплопроводности. Линеаризация уравнения теплопроводности при пользовании численным методом существенных преимуществ не дает. [c.99]

При анализе погрешности рассматриваемого метода оператор L записывается не в разностной, а в дифференциальной форме. При этом для упрощения анализа влияние начальных условий не рассматривается. Анализ проводят для определения функции б, позволяющей оценить погрешность решения по данной схеме по отношению к точному. Конечные уравнения, с помощью которых определяют искомую функцию погрешности б = — й)/Ат, имеют вид [c.24]

Осесимметричное нагружение дисков рассмотрим как наиболее типичное при оценке статической прочности. В качестве расчетного метода использован метод конечных элементов (МКЭ). Это не единственный возможный метод расчета известно применение и других методов дискретизации пространственной задачи к расчету дисков (метод конечных разностей, вариационно-разностный [2, 43, 100]). МКЭ наиболее широко применяют в прикладных задачах 47]. Можно отметить простоту формулировок основных принципов, ясность физической интерпретации, свободу размещения узловых точек, симметрию матриц жесткости элементов и системы уравнений, облегчающую контроль расчетов. При выборе в качестве неизвестных узловых перемещений матрица разрешающей системы будет симметричной, положительно определенной (при исключении перемещения диска как жесткого целого) и иметь ленточную структуру. Это способствует быстрому решению системы разрешающих уравнений прямыми или итерационными методами. Методу конечных элементов посвящено большое число работ [3, 46, 53, 114, 119]. Приведенные в гл, 4 результаты получены ДЛЯ простейшего кольцевого элемента треугольного сечения, однако основные соображения, использованные в решении, имеют достаточно общий характер и применимы как для плоской задачи, так и при более сложных элементах в осесимметричном случае. [c.153]

В 1959 г. был опубликован метод С. К. Годунова [22], не содержащий эмпирических констант. Суть метода заключается в следующем. В некоторый момент времени У приближенное решение известно в виде сеточной функции. Если считать все сеточные функции кусочно-постоянными, то в узлах сетки возникают разрывы, которые, коне чно, являются произвольными. Такие разрывы неустойчивы. Они распадаются с образованием различных конфигураций устойчивых разрывов. В процессе распада произвольного разрыва определяются скорость и давление на контактном разрыве. Это вспомогательные величины. Они используются для определения основных величин из разностных законов сохранения. [c.237]

В случае определения поведения жидкости конечно-разностными методами удобно применять эти же методы и для исследования динамики оболочки, что вызвано необходимостью стыковки на каждом шаге по времени решений уравнений движения жидкости и оболочки. Конечно-разностные методы являются также более экономичными по сравнению с методом Рунге—Кутты и, несмотря на то, что имеют меньший порядок аппроксимации по времени, не приводят к существенной потере точности. Это объясняется тем, что наибольшую погрешность в решение [c.395]

Особенностью расчета кольцевых элементов является то обстоятельство, что большинство задач по определению напряженного состояния этих элементов сводится к решению ряда не зависящих одна от другой систем обычных дифференциальных уравнений первого порядка при одной независимой переменной. Поэтому основное внимание уделяется традиционным методам расчета, основанным на аналитическом или численном решении дифференциальных уравнений. Эти методы дают существенную экономию машинного времени ЭВМ и позволяют избежать трудоемкой работы по подготовке исходной информации, а также облегчают анализ и расшифровку результатов расчета. Кроме того, аналитические решения позволяют наглядно представить взаимную зависимость различных параметров, определяющих напряженно-деформированное состояние конструкции, и тем самым облегчают работу конструктора по выбору оптимальной схемы. В некоторых задачах традиционные методы либо не применимы, либо не эффективны. Как правило, это имеет место в тех случаях, когда в конструкции сопрягаются по линии или площади кольцевые элементы и элементы другой конфигурации. В таких задачах могут быть использованы различные модификации разностных и вариационно-разностных методов. Наиболее широко в настоящее время применяется метод конечных [c.3]

Метод конечных элементов ([38], [39], [76] и др.) является вариационным методом. Сущность его заключается в том, что благодаря достаточно большому количеству однообразных под-.областей удается применить однотипные аппроксимирующие функции внутри каждой области. Допуская определенные скачки на границах подобластей, т. е. не удовлетворяя всем граничным условиям на их стыках, легко подобрать эти функции. В выражениях функционалов учитываются скачки минимизируя функционалы, находят неизвестные постоянные. Метод конечных элементов является промежуточным между аналитическим решением, и вариационно-разностным. При аналитическом задании функции задачу наиболее рационально свести к поиску экстремума. Такой алгоритм прост, - но имеет существенный недостаток. Расчетчик должен угадать правильные выражения для координатных функций. От этого в большой степени зависит точность решения. Вариационно-разностные методы для получения желаемой точности требуют вести поиск экстремума по очень многим переменным. В методе конечных элементов число неизвестных уменьшается по сравнению с вариационно-разностным методом вследствие аппроксимации выражений неизвестных функций внутри каждой подобласти. Но число неизвестных больше, чем в тех случаях, когда координатные функции подбираются соответствующими каждой задаче. Увеличение числа неизвестных позволяет унифицировать координатные функции и сделать решение мало зависящим от того, насколько удается угадать координатные функции. [c.206]

Существует два способа расчета параметров жидкости в пограничном слое. Первый способ заключается в численном решении системы дифференциальных уравнений пограничного слоя, впервые полученных Прандтлем, и основывается на использева-нии вычислительных машин. В настоящее время разработаны различные математические методы, позволяющие создавать рациональные алгоритмы для решения уравнений параболического типа, к которому относится уравнение пограничного слоя. Такой подход широко используется для определения характеристик ламинарного пограничного слоя. Развиваются приближенные модели турбулентности, применение которых делает возможным проведение расчета конечно-разностными численными методами и для турбулентного потока. Второй способ состоит в нахождении методов приближенного расчета, которые позволяли бы получить необходимую информацию более простым путем. Такие методы можно получпть, если отказаться от нахождения решений, удовлетворяющих дифференциальным уравнениям для каждой частицы, и вместо этого ограничиться отысканием решений, удовлетворяющих некоторым основным уравнениям для всего пограничного слоя и некоторым наиболее важным граничным условиям на стенке и на внешней границе пограничного слоя. Основными уравнениями, которые обычно используются в этих методах, являются уравнения количества движения и энергии для всего пограничного слоя. При этом, однако, необходимо задавать профили скорости и температуры. От того, насколько удачно выбрана форма этих профилей, в значительной степени зависит точность получаемых результатов. Поэтому получили распространение методы расчета параметров пограничного слоя, в которых для нахождения формы профилей скорости и температуры используются дифференциальные уравнения Прандтля или их частные решения. Далее расчет производится с помощью интегрального уравнения количества движения. [c.283]

Энергетические методы широко применяют в задачах статики и динамики тонкостенных конструкций. Наиболее распространенным из них является метод Релея — Ритца, предусматривающий представление решения в виде ряда по координатным функциям. Выбор метода решения задачи — интегрирование дифференциального уравнения (классическими методам и или методом Галер-кина) или применение энергетического метода — часто связан с определенными трудностями. Можно показать, что при условии корректного применения метода Галеркина к системе дифференциальных уравнений [22], он в математическом отношении эквивалентен методу Релея — Ритца [133]. Однако, если имеется только дифференциальное уравнение, то следует применять метод Галеркина или другие методы его решения, а если имеется только выражение, определяющее энергию системы, следует отдать предпочтение энергетическим методам. Эти соображения не помогают выбрать метод решения задач, которые сформулированы как в дифференциальной, так и в энергетической постановке. Он определяется в этих случаях предшествующими расчетами, а также наличием программ решения задач на собственные значения (для устойчивости и колебаний) для вычислительных машин. Традиционно энергетические методы получили наибольшее распространение в США и Германии, в Англии отдавалось предпочтение конечно-разностным методам решения дифференциальных уравнений, а в СССР — методу Галеркина. [c.179]

Предлагаемая вниманию читателей книга освещает различные методы решения задач механики деформируемого твердого тела. Для иллюстрации возможностей методов выбраны задачи статики, динамики и устойчивости стержневых и пластинчатых систем, т.е. задачи сопротивления материалов, строительной механики и теории упругости, имеющих важное практическое и методологическое значения. Каждая задача механики деформируемого твердого тела содержит в себе три стороны 1. Статическая - рассматривает равновесие тела или конструкпди 2. Геометрическая - рассматривает связь между перемещениями и деформациями точек тела 3. Физическая -описывает связь между деформациями и напряжениями. Объединение этих сторон позволяет составить дифференциальное уравнение задачи. Далее нужно применить методы математики, которые разделяются на аналитические и численные. Большим преимуществом аналитических методов является то, что мы имеем точный и достоверный результат решения задачи. Применение численных методов приводит к получению просто результата и нужно еще доказывать его достоверность и оценивать величину погрепшости. К сожалению, до настоящего времени получено весьма мало точных аналитических решений задач механики деформируемого твердого тела и других наук. Поэтому приходится применять численные методы. Наличие весьма мощной компьютерной техники и развитого программного обеспечения практически обеспечивает решение любой задачи любой науки. В этой связи большую популярность и распространение приобрел универсальный численный метод конечных элементов (МКЭ). Применительно к стержневым системам алгоритм МКЭ в форме метода перемещений представлен во 2, 3 и 4 главах книги. Больпшми возможностями обладает также универсальный численный метод конечных разностей (МКР), который начал развиваться раньше МКЭ. Оба этих метода по праву занимают ведущие места в арсенале исследований. Большой опыт их применения выявил как преимущества, так и очевидные недостатки. Например, МКР обладает недостаточной устойчивостью численных операций, что сказывается на точности результатов при некоторых краевых условиях. МКЭ хуже, чем хотелось бы, решает задачи на определение спектров частот собственных колебаний и критических сил потери устойчивости. Эти и другие недостатки различных методов способствовали созданию и бурному развитию принццпиально нового метода решения дифференциальных уравнений задач механики и других наук. Метод получил название метод граничных элементов (МГЭ). В отличии от МКР, где используется конечно-разностная аппроксимация дифференциальных операторов, в МГЭ основой являются интегральное уравнение задачи и его фундаментальные решения. В отличие от МКЭ, где вся область объекта разбивается на конечные элементы, в МГЭ дискретизации подлежит лишь граница объекта. На границе объекта из системы линейных алгебраических уравнений определяются необходимые параметры, а состояние во [c.6]

Цоявление ЭЦВМ позволило перейти от поиска решений отдельных упругопластических задач к разработке численны х методов решения широкого класса задач [51. К ним относятся сеточные методы, использующие конечно-разностную аппроксимацию нелинейных дифференциальных уравнений [6], численное интегрирование таких уравнений методом прогонки с ортогона-лизацией решений [71, сведение нелинейных дифференциальных уравнений к интегральным [3, 4, 81, применение метода конечных элементов к физически нелинейным задачам и другие методы [5]. Расчет ведется последовательными прибли,жениями с использованием метода переменных параметров упругости [8]. Каждый из этих методов имеет свои достоинства, однако их реализация для узлов и конструкций в инженерной практике оказывается значительно более сложной по сравнению с упругим расчетом тех же конструкций. Этим объясняется традиционный подход к оценке прочности узлов, работающих в условиях упругопластического деформирования, при котором ограничиваются данными их упругого расчета [1]. При проведении поверочного расчета конструкций нормами рекомендуется определять напряжения в предположении упругого поведения материалов такжё и в том случае, если напряжения,. определенные по расчету, превышают предел текучести. При этом для удобства выполнения расчетов, принятых в инженерной практике, вместо упругопластических деформаций вводятся условные напряжения, определяемые упругим расче том [2]. [c.123]

Опишем кратко метод решения системы (6.28) — (6.33) при заданном вдоль струйки тока распределении давления [79, 94, 143]. Пусть требуется определить решение в точке Хт при известном решении в точке Xm-i и известном значении давления в точке х,п. Тогда система(6.28) — (6.33) (без уравнений (6.30) и (6.32), которые используются иа заключительном этапе расчета для определения р и F) анироксимируется со вторым порядком точности следующей системой разностных уравнений [c.263]

Чтобы получить значения Ф в каждой точке временного интервала, необходимо решить линейное дифференциальное уравнение (11.10). Существуют два распространенных метода решения уравнений такого типа. Один из них заключается в приближенной замене частной производной по времени ее конечно-разностным аналогом с применением центральной разностной схемы. Другой метод состоит в использовании конечных элементов, определенных теперь уже не в пространственной, а во временной области. Этот метод обсуждается в гл. 17 в связи с методом Галёркина. Здесь мы рассмотрим конечно-разностное решение. [c.205]

Из этого определения отрыва следует необходимое условие, приведенное в работе [26]. Действительно, если продифференцировать соотношение (3.68) по координате, нормальной к поверхности тела, а затем перейти к пределу при то получим Т(о gradp=0 (p=Q). Из условий (3.68) следуют особенности, которые возникают в вязких течениях, а условие гз>0 дает возможность отобрать те особенности, которые приводят к изменению течения на внешней границе. При численных расчетах течений в пограничном слое маршевым методом решение можно построить вплоть до возникающих особенностей. Так называемая критическая точка — точка торможения потока — является примером одной из возможных особенностей, которая не приводит к отрыву . Маршевые конечно-разностные методы расчета не позволяют автоматически пройти особенности. Поэтому необходимо Особое рассмотрение течения вблизи отрыва и учет влияния особенностей на течение в целом исходя из полной системы уравнений Навье— Стокса. [c.172]

Однако эллиптические функции, получающиеся при определении к из ур-ний (3.4.1)—(3.4.3), нестандартны и иетабулированны. Поэтому, к сожалению, получение численных результатов для точного метода является весьма трудоемким процессом, сравнимым по объему вычислений с прямыми численными (например, разностным) методами решений той же задачи. Прямые численные методы использовались несколькими авторами, и некоторые наиболее полезные из [c.36]

Метод искусственной вязкости. Идея метода искусственной вязкости заключается в том, что в уравнения движения невязкого газа вводят члены с производными более высокога порядка, содержащие малый множитель е. Эти члены, называемые искусственной вязкостью, подбирают таким образом, чтобы разрывные решения исходной системы уравнений газовой динамики превратились в непрерывные решения с узкими переходными зонами, ширина которых при е->0 стремились бы к нулю. Для приближенного определения непрерывных решений системы с искусственной вязкостью можно воспользоваться, вообще говоря, любой разностной схемой. [c.154]

Если поверхность начальных данных г1з = г1.1о совпадает с осью симметрии, описанный выше метод не может быть использован для отхода от оси из-за наличия особенности в уравнениях в осесимметричном случае. Для определения искомых величин на некоторой близкой к оси симметрии поверхности t 3 = onst можно использовать аналитические решения, например разложение решения по функции тока л в окрестности оси симметрии. Полученные таким образом данные Коши можно использовать в описанном разностном методе. [c.191]

Теоретические трудности при использовании метода сеток сводятся обычно определению условия устойчивости и оценке погрешности разностной схемы. Для нестацпонарных краевых задач удовлетворительную точность удается получить лишь при весьма большом порядке соответствующей системы алгебраических уравнений. При реализации метода в программах для ЗЦВ1М это вызывает затруднения, связанные с объемом располагаемой памяти и скоростью выполнения операций. Очевидно, такой подход на современном этапе целесообразен лишь при решении нелинейных задач для отдельного теплообменника. [c.350]

В этой связи рядом авторов исследовался вопрос о влиянии эффекта рассеяния на перенос энергии излучения. Решение задачи обычно выполнялось на основе дифференциально-разностного приближения Шустера—Шварцшильда. Путем представления поля излучения, например для плоского слоя поглощающей и рассеивающей среды, в виде прямого и обратного потоков излучения было получено приближенное решение интегродифференциального уравнения переноса излучения. Сущность метода, таким образом, состоит в определении интенсивностей излучения 1 (2я)+ и (2л )", осредненных по положительной и отрицательной полусферам. При этом задача сводится к решению системы двух обыкновенных дифференциальных уравнений для интенсивностей излучения /, (2я)+ и 4 (2л)-. [c.73]

До недавнего времени расчеты тонкослойных резинометаллических элементов (ТРМЭ) проводили с использованием трехмерных уравнений теории упругости, применяли вариационные, конечно-разностные методы и метод конечных элементов (МКЭ). Указанные подходы нельзя признать эффективными и достоверными, особенно в определении напряжений и перемещений слоев, ввиду чрезвычайной сложности их численной реализации. К вычислительным трудностям решения больших систем (пакет может иметь несколько десятков слоев) добавляются проблемы, связанные с малой объемной сжимаемостью резины и приводящие к плохо обусловленным системам уравнений. [c.4]

При решении ряда задач математической физики разностными методами на элек тронных вычислительных машинах возникает проблема выбора разностной сетки. При этом, если область определения решения задач состоит из нескольких областей, то, помимо определенного числа интервалов, которое необходимо иметь в данной области для правильной аппроксимации соответствующих дифференциальных уравнений, раз постная сетка должна удовлетворять некоторым специальным условиям на границах, а внутри области шаги сетки не должны, как правило, сильно различаться. [c.490]

В настоящее время большое внимание уделяется созданию адекватных моделей нелинейных процессов деформирования, связанных с большими деформациями, неупругим поведением материала и нелинейными динамическими волновыми явлениями в слоистых и композиционных материалах. Построение общих сложных моделей, как правило, сочетается с необходимостью разработки достаточно простых, но в то же время эффективных моделей описания процессов с требуемой точностью, выделением главных или ведущих параметров рассматриваемых процессов деформирования и созданием экономичных программ их численной реализации. При решении задач механики сплошных сред и деформирования элементов конструкций достаточно универсальными и широко распространенными являются метод конечных элементов (МКЭ), метод граничных элементов (МГЭ), вариационно-разностные методы (ВРМ), метод конечных разностей (МКР) в различных вариантах и сочетаниях с другими методами. В основу этих методов положено дискретное представление функций непрерывного аргумента и областей их определения, ориентированное на использование современных ЭВМ с дискретным способом обработки информацш, включая вычислительную технику новой архитектуры с векторными и параллельными процессорами. В механике, в частности в строительной, дискретное представление тел или конструкций в виде набора простых элементов имеет глубокие исторические корни, которые в свое время и послужили отправной точкой развития и обобщений МКЭ. [c.5]

Характеристики течения до начала отрыва точно выражаются с помощью нескольких членов нового ряда с последующей приближенной экстраполяцией или, более точно, с помощью одного или двух шагов разностного метода. Точность определения точки отрыва с помощью новых рядов обусловлена преимуществами степенных рядов. Новый ряд Гёртлера сходится значительно быстрее, чем ряд Блазиуса, и является более общим, так что с применением ряда Гёртлера решено большое число практических задач, для которых до сих пор не были получены точные решения уравнений пограничного слоя. [c.95]

Для решения дискретных задач используются известные в теории разностных схем прямые и итерационные методы для задачи определения напряженно-деформированного состояния — метод сопряженных градиентов и метод Холецкого [13], для задачи устойчивости — метод градиентного спуска и метод итерирования подпространств [11, 12, 18]. [c.337]

Задача о расчете течения и об определении контура АС сводится к расчету течения в треугольнике ADB и к решению задачи Гур-са в треугольнике АБС. Расчет велся методом характеристик с использованием конечно-разностной формы (3). Некоторые результаты приведены на рис. 2-4, где цифрами 1, 2, 3 обозначены кривые, соответствующие размерам уа = 0.5, 2 и 8 сж (индексы а, 6,... приписаны параметрам в точках А, 5,...), на рис. 2 и 3 штрихами даны аналогичные кривые для замороженного течения и штрих-пунктиром - для равновесного течения (все расчеты проведены при одинаковых значениях р, Т, VL W ). На рис. 2 показано распределение температуры, а на рис. 3 - степени диссоциации q по оси разгонного участка. Видно значительное отличие от результатов расчета и равновесного, и замороженного течений. На рис. 4 дано изменение параметров на замыкающей характеристике ВС Мь = 5.0), где А = N — Щ)/ Щ, причем N равно р, Т VL (—М) соответственно. Заметим, что при равновесном и замороженом течениях в рассматриваемом случае параметры на ВС постоянны. [c.124]

Метод прогонки. Этот метод применяется не к интегральному, а к дифференциальному уравнению переноса. Значительная трудность при его решении создается тем обстоятельством, что задаются не начальные, а граничные условия, так что надо решать не задачу Коши, а краевую задачу, что всегда сложнее. После дискретизации дифференциального уравнения по глубине, углам и частотам получающееся разностное уравнение решается сначала от верхней границы в сторону возрастающих глубин, а затем обратным ходом. Однако в первом случае не известна интенсивность излучения, идущего вверх, а во втором — вниз. Поэтому при прямом проходе находится решение не с определенным граничным значением интенсивности выходящего излучения, а рассчитываются обратные матрицы на случай как бы произвольных ее значений, причем заданных для всех значений углов. Затем решение выбирается так, чтобы удовлетворить условию на нижней границе [45]. После этого вычисляется интенсивность восходящего излучения. В теории переноса такая процедура, которая применяется для расчета как рассеяния в линии, так и при монохроматическом рассеянии, носит название метода Фотрие. [c.201]

Для применения разностного метода производные, входящие в дифференциальные уравнения (9.80) и (9.81), заменяются конечн< )разностными отношениями. Далее, полу-бесконечная полоса, ограниченная стенкой, прямой х = Х1 и подходящим образом определенной внешней границей пограничного слоя, покрывается сеткой из двух семейств прямых, параллельных соответственно оси х и оси у (рис. 9.17). Пусть х Х1 есть сечение пограничного слоя, в котором профиль скоростей задан. Для дальнейших вычислений существенно, чтобы расстояния А г/ в направлении у между прямыми сетки были одинаковыми. Расстояния Ад в направлении х обычно также выбирают одинаковыми. Решение первоначальной задачи, т. е. решение дифференциальных уравнений (9.80) и (9.81), дало бы искомые значения во. всех точках рассматриваемой области течения. В отличие от этого решение разностных уравнений может дать искомые значения только в узлах построенной сетки, т. е. в точках пересечения проведенных прямых, параллельных соответственно оси х и оси у. [c.187]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...