Сеточная область

Здесь U" - сеточная фун.. мя, являющаяся решением разностного уравнения Л,,Л2,/1 - разностные операторы, зависящие от параметров г,/г сетки, t - пт, Q , - сеточная область, аппроксимирующая область Q, х Г - ее граница F л G -сеточные функции, аппроксимирующие соответственно f л g. Говорят, что оператор Л(г) аппроксимирует оператор А, если (г) —> о при г О на множестве II [c.29]

Рассмотрим теперь общую схему вычислений, основанную на уравнениях (8.5Ь) и (8.57), условившись о следующих терминах. Узловые точки сетки будем называть внутренними узлами сеточной области, если все соседние узлы для них принадлежат области течения, включая ее границы. Если н е хотя бы один из соседних узлов лежит за границей области течения, то данный узел будем называть граничным. [c.323]

Рис. 7.8. Сеточная область и расчетный шаблон для эллиптического уравнения

При числовом решении уравнений с частными производными при- I ходится иметь дело с сеточными функциями, задачами в узлах сеточной области. Эти понятия уже были введены в гл. 1. Важным частным случаем является равномерная прямоугольная сетка (t , Хт), = + [c.75]

Дивергентные схемы. При сквозном расчете разрывных решений уравнений газовой динамики с помощью искусственной вязкости или метода сглаживания сеточная аппроксимация, вообще говоря, может быть произвольной (но, конечно, устойчивой), так как в результате действия вязкости или сглаживания разрывное решение становится непрерывным и гладким (с формально математической точки зрения). Однако сглаженное решение обладает узкими переходными зонами, где велики производные и где погрешности аппроксимации при умеренна густой сетке могут быть значительными. Величина погрешности приближенного решения, обусловленная такими погрешностями, локализованными в узких переходных зонах, зависит от свойств используемой сеточной схемы. Наиболее выгодными оказываются дивергентные схемы. Опишем этот важный класс схем на примере модельного уравнения (6.5). Напомним, что при переходе от дифференциального уравнения (6.5) к интегральному соотношению (6.6) было использовано то обстоятельство, что левая часть уравнения (6.5), представляет собой дивергенцию некоторого векторного поля. Поэтому интеграл по двумерной области превратился в интеграл по одномерному контуру, ограничивающему область. Сеточные схемы, обладающие аналогичным свойством, называют дивергентными или консервативными. Суммируя дивергентные сеточные уравнения по двумерной сеточной области, получаем сеточную аппроксимацию контурного интеграла. [c.157]

Записывая разрешающие уравнения для всех узлов сеточной области, получи (p- -q) линейных алгебраических уравнений (здесь р и — соответственно число неизвестных смещений Иш я Wm, которые можно представить в матричной форме [c.123]

Дифференциальные уравнения, записанные относительно двух компонент перемещений, заменяются разностными уравнениями, которые выводятся при помощи вариационного метода, основанного на минимизации полной потенциальной энергии. При этом граничные условия в напряжениях, обычно затрудняющие решение задачи, становятся естественными, они входят в выражение для энергии и автоматически удовлетворяются при ее минимизации. Полная потенциальная энергия тела равна сумме энергий для всех ячеек сеточной области. При этом можно считать, что все функции и их производные остаются постоянными в каждой ячейке. Сетка может быть как равномерной (регулярной), так и неравномерной. Конечно-разностные функции для ячеек имеют, кроме того, весовые коэффициенты для учета неполных ячеек, примыкающих к наклонной границе. Получающаяся система алгебраических уравнений относительно узловых значений перемещений оказывается симметричной и положительно определенной и имеет ленточную структуру. В работе [8] дополнительно к основной, сетке строится вспомогательная и перемещения определяются в точках пересечения этих сеток. В результате этого нормальные деформации и напряжения вычисляются в центре ячеек основной сетки только через центральные разности. [c.55]

Рнс. 3.4. Сеточная область для плоскости с круговым отверстием (а) и фрагмент области (б) [c.57]

Рис, 3.6. Разветвленный патрубок в сосуде (а) и сеточная область (б) [c.58]

Используя выражения (7) для любой j-ой ячейки сеточной области, получим [c.125]

Нумеруя все вершины ячеек сеточной области последовательно, получим систему линейных разностных уравнений (9), которую можно записать в матричной форме [c.126]

Из всей сеточной области выделим внутри нее одну пространственную ячейку, узловые точки которой обо- [c.55]

Из вывода основных соотношений следует, что погрешность расчетных зависимостей не выше, чем в случае применения прямоугольной и полярной сеток, а точность замены полого конуса (при двумерной постановке задачи) сеточной областью более полная. Поэтому при применении треугольных сеток результаты расчета температурных полей оказываются удовлетворительными. [c.75]

Такое уравнение должно удовлетворяться для каждой точки (х, у) внутри всей однородной области. Если внутри сеточной области имеется N этих точек (равное числу внутренних узлов [c.74]

Расчетную область разбиваем на сетку с шагом разности, равным во всех направлениях Л = 0,05 м. Наносим сеточную область (рис. 33) так, чтобы нити сетки совпадали с границами исследуемой области. [c.89]

При решении двумерных задач методом конечных разностей нужно представить в дискретной форме не только систему разрешающих уравнений, но и граничные условия. Не всегда это просто сделать, особенно для сетки, не совпадающей с граничным контуром. Некоторые области могут иметь границу, проходящую между узлами сетки. В этом случае граничные условия на заданной области А (рис. 3.7) необходимо перенести на сеточную область Б, т. е. функции в точках [c.84]

При решении задач граничные условия на контуре задаются не только относительно самой функции, но и относительно ее производных. Переход к граничным условиям на сеточной области в этом слу- [c.85]

Функции v% w определяются интегральными операторами со слабой особенностью (интегрирование проводится по срединной поверхности п). Для вычисления этих интегралов срединная поверхность разбивается на треугольники или секторы (рис.3.1). Далее каждый треугольник разбивается на отдельные элементы (ячейки). На срединную поверхность п наносится сеточная область, узлы которой являются центрами тяжести отдельных ячеек. Интегралы по отдельным ячейкам можно представить в виде [c.77]

Рассмотрим разностную задачу, соответствующую задаче (2.12). Для этого нужно ввести сеточную область U = hi [c.169]

Для этого введем сеточную область. Выберем на временном интервале узловые точки [c.184]

Для прямоугольной области (Q = 4) составим разностную схему. Для этого выбе-ре.м сеточную область (рис. 40) [c.287]

Минимизируя функционал (5) для сеточной области, получаем систему линейных алгебраических уравнений [c.54]

Вычисление матрицы теплопроводности и вектора свободных членов для всей сеточной области может быть выполнено по общим правилам [7]. [c.55]

Основной метод решения уравнений, описывающих процессы в лазерах, — метод разностных схем [89, 901, называемый также методом конечных разностей или методом сеток. В соответствии с методом конечных разностей вместо точного решения исходной задачи ищется ее приближенное решение в отдельных точках (узлах сеточной области), называемое сеточными функциями. Система дифференциальных уравнений при этом заменяется системой алгебраических уравнений для сеточных функций. [c.38]

Для численного решения данной системы уравнений на ЭВМ применим метод конечных разностей (метод сеток), согласно которому вместо точного решения задачи ищется ее приближенное решение в отдельных точках (узлах сеточной области), называемое сеточными функциями [c.201]

Ha верхней границе сеточной области (при г = = Го, о < Z < /) применяется та же формула (4.71) для k = но формулы (4.72)— (4.76), аппроксимирующие производные по г, заменяются другими [c.203]

На правой границе сеточной области (при z = I, г Ф 0) для первых уравнений системы (4.64) используем схему первого порядка точности в результате чего получаем [c.204]

Формулу ДЛЯ правого нижнего угла сеточной области (при Z = /, г = 0) получаем из формулы (4.83), положив в ней Га = О и й = 0 [c.205]

Формулу для левой границы сеточной области (при z = 0) получаем из граничных условий (4.64) (4.66) [c.205]

Значения геометрических и физических характеристик оболочки и размеры сеточной области приведены в 5. Тепловое воздействие +=400° принимали распределенным по кольцевой зоне внешней поверхности шириной = 2/t/4 в центральной части оболочки. На краях оболочки удовлетворялись условия жесткой заделки. [c.74]

Формальный подход к решению задачи теплопроводности с учетом фазового изменения вещества посредством метода конечных разностей привел бы к большим погрешностям, так как практически невозможно подобрать шаг между пространственными слоями сеточной области, который соответствовал бы положению пограничного слоя в рассматриваемый момент времени At. Пограничный слой может занимать любое промежуточное положение между двумя соседними пространственными слоями (рис. 8.8). [c.323]

Особый практический интерес представляет рассмотрение областей с криволинейными контурами, когда граница не совпадает с линиями ортогональных сеток (рис. 38). В этом случае следует различать контур заданной области Ь и контур сеточной области М, аппроксимирующей заданную. При расчете в этом случае граничные значения должны быть заданы в точках сеточной области, тогда как известны они на границе первоначальной области. При решении первой краевой задачи (задачи Дирихле), когда на границе задаются значения искомой функции, необходимо эти значения перенести на контур сеточной области так, чтобы после отыскания решения значения искомой функции на контуре первоначальной области совпали с теми граничными значениями, которые были заданы на этом контуре. Но такой переход может быть выполнен лишь после того, как будут найдены значения функции во внутренних точках области, т. е. тогда, когда будет решена поставленная задача. В связи с этим удовлетворение граничных условий может быть выполнено лишь путем последовательных приближений, причем переход к точкам контура может быть произведен по формулам [c.88]

Так как алпроксимадия для каждой ячейюи имеет вид (7.33), то, суммируя потенциальную энергию деформации (7.33) по всем ячейкам сеточной области, получим соотношение для полной потенциальной эаергии деформации [c.123]

Большой порядок систем уравнений, вызванный подробной дискретизацией области, и большая ширина полосы ненулевых коэффициентов, вызванная разветвленным характером геометрии расчетной области, могут при ограниченной разрядности ЭВМ привести к накоплению недопустимой погрешности. Примером такой разветвленной конструкции является патрубок в сосуде, содержаший отвод внутрь сосуда (рте. 3.6, а). Для расчета вариационно-разностным методом, рассмотренным вьппе для задач концентрации напряжений, была построена сеточная область, показанная на рис. 3.6, б. Соответствующее число уравнений равно 2413, ширина полосы — 55. Расчет выполнялся на ЭВМ соответственно с 12- и 7-разрядными числами. Погрешюсть расчета контролировалась по величине возникающей в месте закрепления опорной реакции, а также путем проверки по результатам расчета условий равновесия в сечениях тонкостенных участков патрубка. Если в первом случае оцененная таким образом погрешность в величине напряжений не превьпыала 1-2%, то во втором случае все результаты расчета оказались далекими от правильных. [c.56]

Двух- и трехмерные нелинейные задачи теплопроводности для анизотропных тел (по точности, времени решения и стоимости) эффективно решаются на аналоговых и гибридных ВМ. Нами применейй гибридная ВМ с сеточным (сетка омических сопротивлений) процессором, позволяюш ая решать по неявной схеме метода сеток задачи на сеточной области с 600 узлами. Переменные электрические сопротивления позволяют имитировать любой закон изменения X х, у), с х, у), Rk х, у). Причем величины термических контактных сопротивлений могут быть заданы детерминистическим или вероятностным образом. [c.147]

Сеть прямоугольных координат х, у выбирается в каждом приближении с учетом необходимой точности расчетов со стороной клетки, составляющей целую часть шага t (например, h = tj5 или t/ Q). Сеточная область строится между профилями, как указано в работе [59] левая и правая границы области проводятся на расстоянии не более шага t от решетки через одну из линий сети. Верхняя и нижняя границы сеточной области вне решетки выбираются только по внешним точкам по отношению к крайним линиям тока. Значения Фд во всех точках сети определяются путем интерполяции между кривыми onst, причем вне решетки исполь- [c.44]

Переход к многомерному случаю связан со значительными усложнениями. Пусть задана область V тела, ограниченная поверхностью S. Выберем множество точек i, V, i = 1,2,..., N, называемых узловыми или узлами. Если 2,- V, то узлы называются внутренними если , S — то граничными. Совокупность всех узлов называется сеточной областью Vh или сеткой. Каждый узел 2,- Sft называется граничным узлом, а совокупности всех таких узлов — границей сетки. Для построения разбиения области V необходимо задать форму конечного элемента. Если это треугольник (в случае V С Кг) или тетраэдр (в случае V С Кз), то разбиение называется триангуляцией области. Мы будем рассматривать простейпше случаи разбиения, когда конечные элементы представляют собой прямоугольные параллелепипеды или прямугольники одинаковой формы. Тогда координаты узлов могут быть заданы формулами [c.165]

Рассмотрим задачу теории упругости о бесконечно длинной трубе, на внутреннем радиусе которой г = а задано равномерное давление Ра, а снаружи (г = 6) эта труба армирована тонкой упругой оболочкой и подвержена внешнему давлению рь. Пусть задано температурное поле 1 (г) и модуль сдвига G зависит от радиуса. Тогда единственное уравнение Ламе для этого случая имеет вид (2.55) гл. 3, а граничные условия — вид (2.61) гл. 3. Переход к численному решению задачи начинается прежде всего с ее обезразмеривания , т.е. введения безразмерных параметров и характеристик. Будем считать, например, что все модули и давления отнесены к некоторой постоянной fio — модулю сдвига при г = а. Вводятся безразмерный радиус и безразмерные перемещения, отнесенные к внутреннему радиусу трубы г = а. Введем сеточную область а , , х = г/а, [c.174]

Принцип получения сеточной области изложен выше, перецде сразу к выводу расчетных уравнений. [c.56]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...