Аппроксимация дифференциального

Для аппроксимации дифференциального оператора разностным кроме (1.78) часто пользуются выражением [c.44]

При этом порядок погрешности относительно шага совпадает с порядком аппроксимации дифференциального Ьф разностным Ц оператором в п-м узле. [c.47]

Для определения порядка точности многих практических разностных схем достаточно определить порядок аппроксимации дифференциального оператора разностным, так как порядки точности и аппроксимации для них совпадают. Однако разностная схема, для которой такое утверждение может быть доказано, должна обладать еще одним важным свойством — устойчивостью. Устойчивая разностная схема — схема, в которой не происходит наращивания малых ошибок округления, допущенных на начальных стадиях решения. [c.47]

При разностной аппроксимации дифференциальных операторов входящие в дифференциальный оператор производные заме- [c.269]

Отметим, что имеется возможность повысить порядок аппроксимации дифференциального оператора до второго с сохранением монотонности схемы ). [c.277]

Метод разностной аппроксимации заключается в том, что все производные, входящие в дифференциальные уравнения и краевые условия, заменяют отнощением конечных разностей соответствующих величин, взятых в узлах сетки. Этим способом были составлены разностные схемы (3.10) и (3.12). Разностная аппроксимация дифференциальных операторов может быть представлена в разной форме. Например, производная йи/йх аппроксимируется схемами [c.62]

Остановимся далее на вопросах устойчивости и сходимости разностных схем. Сходимость разностных схем является следствием правильной аппроксимации дифференциальных уравнений разностными и устойчивостью последних. В настоящее время разработаны строгие методы анализа устойчивости разностных схем (см., например, [3—5]). Воспользуемся, однако, упрощенным, но физически более понятным способом для определения условий устойчивости явных разностных схем. В качестве примера исследуем разностное уравнение (3.17). Очевидно, что в процессе решения устойчивой разностной схемы искомая функция должна всегда оставаться ограниченной по величине. Применительно к соотношению (3.17) это условие будет заведомо выполнено, если функция йг, ь+1 В любой момент времени т удовлетворяет условию [c.64]

При создании электрических моделей применяют два способа. В первом из них электрическая модель в определенном масщтабе воспроизводит геометрию исследуемой системы и изготавливается из материала с непрерывной проводимостью (электропроводная бумага, фольга, электролит и т. д.) — это модели с непрерывными параметрами процесса. Во втором способе исследуемые системы заменяют моделирующими электрическими цепями [сетками омических сопротивлений ( -сетки) и сетками омических сопротивлений и емкостей ( С-сетки) ] — это модели с сосредоточенными параметрами. Принцип действия сеточных моделей основан на воспроизведении с помощью электрических схем конечно-разностных аппроксимаций дифференциальных уравнений, описывающих исследуемый процесс. [c.75]

Для получения конечно-разностной аппроксимации дифференциального уравнения (4.32) можно воспользоваться математическими преобразованиями с заменой производных отношениями конечных разностей или методом тепловых балансов. Воспользуемся первым из этих способов. [c.82]

Рассмотренные выше задачи о ламинарных установившихся течениях решались точными или приближенными аналитическими методами. Путем надлежащего использования граничных условий Б этих задачах удавалось упростить уравнения движения и привести их к интегрируемому виду. Существует немало других задач, решения которых получены тем же путем и находят важные технические приложения. Однако современное развитие инженерной практики требует решения и более сложных задач, в которых приходится учитывать все члены уравнений Навье—Стокса, что не позволяет их решить в квадратурах. Широкие возможности открывает использование ЭВМ и применение численных методов решения. Последние основаны на замене (аппроксимации) дифференциальных уравнений уравнениями в конечных разностях, которые решаются на ЭВМ как система алгебраических уравнений. Разработаны и успешно применены к различным гидродинамическим задачам несколько численных методов, причем в некоторых из них используются не только эйлеровы, но и лагранжевы переменные. [c.318]

АППРОКСИМАЦИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [c.224]

В большинстве задач система алгебраических уравнений, возникающих при аппроксимации дифференциальных уравнений разностными, имеет очень большой порядок (как правило, iV lOO), но обладает разреженной матрицей. В случае нелинейных систем итерационные процедуры, как правило, сводят к линейным системам. [c.74]

Дополняя полученную систему уравнений (8.19) разностными аналогами двух граничных условий на левом и двух на правом краях оболочки в соответствии с выражениями (8,5), получаем полную систему (N + 2) нелинейных уравнений с зависящей от решения правой частью и с (IV + 2) неизвестными. При этом порядок аппроксимации дифференциальных операторов разностными понижается с О (t ) на равномерной сетке внутри области до О (1) на ее границах. Однако этого можно избежать, используя на краях оболочки или более мелкую сетку, или более точные по сравнению с (8.18) разностные схемы. [c.159]

Как было нами показано ранее [6], при использовании сугубо приближенного метода уравнения Прандтля в устойчивой области могут быть численно неустойчивыми. Это происходит в том случае, если аппроксимация дифференциальных уравнений приводит к неустойчивой форме приближенных уравнений. Поэтому представляется необходимым провести более точные исследования методом конечных разностей. [c.285]

При численном расчете задач математической физики возможны весьма различные аппроксимации дифференциальных операторов [32-35] [c.127]

Погрешность моделирования в общем не превышала 5% от максимального значения температуры, если не считать небольшой начальной стадии процесса. В ней в зависимости от способа аппроксимации дифференциального уравнения погрешность достигла 10—15%. [c.434]

Решения конечно-разностных уравнений сходятся к точному решению краевой задачи при h , hy- 0. Скорость сходимости зависит от порядка аппроксимации дифференциального уравнения и краевых условий. Поэтому важно, чтобы погрешности аппроксимации дифференциального уравнения и краевых условий имели одинаковый порядок. В рассмотренном примере погрешность решения равна [c.487]

Вычислительный алгоритм, описанный в работе [1], реализован в виде программы для ЭЦВМ, в основе которой лежит конечно-разностная аппроксимация дифференциальных уравнений. Он позволяет ио заданным Q и Н рассчитать частоту и и амплитуду перемещения А рабочего органа. Подачу Q определяют для ряда значений /4 и со и исходя из экономических или из конструктивных соображений выбирают оптимальные параметры Л и со. Программа позволяет определить характер зависимости подачи от Л, со и Я. [c.338]

Аао,4 и Дсо-о — поправки к длине трещины, соответствующие а = = 0,4 и а = 0,8 соответственно), для определения = а р/Ь в диапазоне длин трещин между а = 0,4 а — 0,8 не приводило к ошибке больше 1 % при форме фронта трещины, имеющей наибольшую кривизну. Для определения скорости роста трещины по полученной зависимости Ui = f (Ni) использовали аппроксимацию дифференциального оператора da/dn конечно-разностным выражением для неравномерной сетки [711 [c.137]

Метод конечных разностей (МКР) основан на замене непрерывных функций и их производных в дифференциальных уравнениях дискретными значениями и приведении уравнений к алгебраической системе высокого порядка. Эффективность решения задач в разностной форме зависит от особенностей разностной аппроксимации дифференциальных уравнений, вида краевых условий и-конфигурации области, в которой ищется решение. [c.76]

Когда расчетная область содержит небольшое число расчетных точек, дискретные аналоги представляют собой грубую аппроксимацию дифференциального уравнения. При этом полученное численное решение обычно не совпадает с точным решением дифференциального уравнения. При увеличении числа расчетных точек численное решение становится более корректным и приближается к точному. Для многих задач использование даже небольшого числа расчетных точек приводит к решениям, которые достаточно точны для практических целей, что будет продемонстрировано в этой и других главах. [c.28]

Критерий близости сеток к равномерным (F). Объемы соседних элементарных ячеек сетки должны быть одного порядка. В противном случае трудно строить достаточно точные разностные аппроксимации дифференциальных уравнений. Кроме того, резко ухудшается обусловленность систем разностных уравнений, аппроксимирующих на построенной сетке системы дифференциальных уравнений. [c.512]

Наиболее широко используемые в настоящее время численные методы рассматривают дифференциальные уравнения непосредственно в той форме, в которой они были выведены (без каких-либо дальнейших математических манипуляций), при помощи одного из двух подходов или при помощи аппроксимации дифференциальных операторов в уравнениях более простыми локализованными алгебраическими операторами, действующими в последовательностях узлов, находящихся в области, или при помощи представления самой области элементами среды, не являющимися бесконечно малыми (т. е. конечными элементами), которые в совокупности аппроксимируют реальную систему. [c.12]

Это связано с тем, что при аппроксимации дифференциального уравнения в указанных узлах в разностную схему входят значения функции, принадлежащие как отрезку [О, 1], так и от- [c.526]

Для улучшения конечно-разностной аппроксимации дифференциальных операторов в работе используются аналоги третьего порядка точности, определяемые следующими выражениями [83] [c.173]

Метод конечных разностей базируется на возможности аппроксимации дифференциальных операторов, входящих в дифференциальное уравнение, более простыми локальными алгебраическими операторами, которые действуют в системе узлов, заранее выбранных в области. МКЭ основывается на представлении самой области набором элементов среды (конечных элементов), совокупность которых составляет дискретный аналог исследуемой области, т. е. аппроксимирует реальную систему. МГЭ в отличие от МКР и МКЭ, по сути, не рассматривает дифференциальные уравнения непосредственно в той форме, в которой они получены, а своим первым и основным шагом решения содержит преобразование исходных дифференциальных уравнений в эквивалентную систему интегральных уравнений. [c.48]

В работе [42] (см. также [43]) при помощи аналога третьего тождества Грина для разностного уравнения получены соотношения, связывающие значения неизвестных функций в некотором подмножестве узловых точек, образующих ленту вблизи границы области (внутренние граничные условия — ВГУ [42]). Вид этого подмножества зависит от принятой разностной аппроксимации дифференциального оператора. Совокупность ВГУ и граничных условий задачи дает систему [c.191]

К достоинствам метода относятся простота электрической схемы и способа измерения искомых напряжений, а также большая точность полученных результатов. Исследования показали [110], что ошибка в определении температуры по этому методу практически возникает только при аппроксимации дифференциального уравнения теплопроводности уравнением в конечных разностях и результаты, полученные при численном решении, совпадают с экспериментальными результатами. [c.116]

Построение полей напряжений и скоростей, удовлетворяющих дифференциальным уравнениям (1.17.3), (1.17.4) и граничным условиям (1.17.7)-(1.17.9), получено последовательным решением краевых задач вначале для напряжений, а затем для скоростей численным методом. В уравнениях (1.17.1), (1.17.3), (1.17.4) дифференциалы заменены конечными разностями, а функции — средними значениями между соседними узловыми точками. После аппроксимации дифференциальным уравнениям (1.17.1), (1.17.3) ставится в соответствие система из четырех уравнений относительно неизвестных г, z,g, 0. Два из этих уравнений нелинейны. Система решена для каждой узловой точки сетки итерационным методом с условием на окончание вычислений в виде [c.224]

Аппроксимация дифференциальных уравнений (1.17.4) конечными разностями приводит к системе из двух линейных уравнений относительно скоростей Va, в рассматриваемой узловой точке сетки. Эта система решена по формулам Крамера. [c.224]

Для построения разностной схемы, аппроксимирующей дифференциальную задачу (8.21), введем квазиравномерную сетку и, т. е. сетку с шагом Л( ), равномерную на каждом из п участков стержня. В этом случае разностную аппроксимацию дифференциальной задачи представим в случае краевых условий первого рода следующим образом [c.197]

Предельная форма течений идеального газа может быть (в определенных пределах) независимой от конкретного вида дополнительных членов в уравнениях газовой динамики, связанных с действием вязкости. Это обстоятельство используется в некоторых численных методах решения задач газовой динамики (в методе искусственной вязкости члены с влиянием вязкости вводятся в исходные дифференциальные уравнения явно подобные же члены фактически возникают при конечно-разностной аппроксимации дифференциальных уравнений— это так называемая схемная вязкость). [c.333]

Используемая аппроксимация дифференциального уравнения имеет погрешность второго порядка на гладких решениях. [c.125]

Таким образом аппроксимация первой производной связывает значение функций как минимум в двух узлах сетки, а второй производной — в трех. Соответственно локальная аппроксимация дифференциального уравнения (2.102) осуществляется на шаблоне, содержащем не менее четырех узлов. Под шаблоном будем понимать конфигурацию узлов сетки, используемую для составления разностной схемы. Для одной и той же задачи можно составить несколько разностных схем. Например, для (2.102), (2.103), (2.104) при использовании шаблона на рис. 2.26, а система разностных уравнений будет иметь вид [c.100]

На рис. 1.17 приведены примеры шаблонов, наиболее часто использующихся при аппроксимации дифференциальных операторов dffjdx и дц>1ду для функции ф=ф(д , у) в двухмерной области. Шаблон типа крест (рис. 1.17, а) соответствует аппроксимации [c.45]

К достоинствам метода относятся простота электрической схемы и способа измерения искомых напряжений, а также большая точ ность полученных результатов. Исследования показали [100], что ошибка в определении температуры по этому методу практическ возникает только при аппроксимации дифференциального уравне ния теплопроводности уравнением в конечных разностях и резуль таты, полученные при численном решении, совпадают с экспери ментальными результатами. Более подробно с методом электриче ской аналогии можно ознакомиться в специальной литературе [37] [c.102]

Предлагаемая вниманию читателей книга освещает различные методы решения задач механики деформируемого твердого тела. Для иллюстрации возможностей методов выбраны задачи статики, динамики и устойчивости стержневых и пластинчатых систем, т.е. задачи сопротивления материалов, строительной механики и теории упругости, имеющих важное практическое и методологическое значения. Каждая задача механики деформируемого твердого тела содержит в себе три стороны 1. Статическая - рассматривает равновесие тела или конструкпди 2. Геометрическая - рассматривает связь между перемещениями и деформациями точек тела 3. Физическая -описывает связь между деформациями и напряжениями. Объединение этих сторон позволяет составить дифференциальное уравнение задачи. Далее нужно применить методы математики, которые разделяются на аналитические и численные. Большим преимуществом аналитических методов является то, что мы имеем точный и достоверный результат решения задачи. Применение численных методов приводит к получению просто результата и нужно еще доказывать его достоверность и оценивать величину погрепшости. К сожалению, до настоящего времени получено весьма мало точных аналитических решений задач механики деформируемого твердого тела и других наук. Поэтому приходится применять численные методы. Наличие весьма мощной компьютерной техники и развитого программного обеспечения практически обеспечивает решение любой задачи любой науки. В этой связи большую популярность и распространение приобрел универсальный численный метод конечных элементов (МКЭ). Применительно к стержневым системам алгоритм МКЭ в форме метода перемещений представлен во 2, 3 и 4 главах книги. Больпшми возможностями обладает также универсальный численный метод конечных разностей (МКР), который начал развиваться раньше МКЭ. Оба этих метода по праву занимают ведущие места в арсенале исследований. Большой опыт их применения выявил как преимущества, так и очевидные недостатки. Например, МКР обладает недостаточной устойчивостью численных операций, что сказывается на точности результатов при некоторых краевых условиях. МКЭ хуже, чем хотелось бы, решает задачи на определение спектров частот собственных колебаний и критических сил потери устойчивости. Эти и другие недостатки различных методов способствовали созданию и бурному развитию принццпиально нового метода решения дифференциальных уравнений задач механики и других наук. Метод получил название метод граничных элементов (МГЭ). В отличии от МКР, где используется конечно-разностная аппроксимация дифференциальных операторов, в МГЭ основой являются интегральное уравнение задачи и его фундаментальные решения. В отличие от МКЭ, где вся область объекта разбивается на конечные элементы, в МГЭ дискретизации подлежит лишь граница объекта. На границе объекта из системы линейных алгебраических уравнений определяются необходимые параметры, а состояние во [c.6]

При численном интегрировании (4.10) на выбор значения помимо обеспечения необходимой точности расчета температуры тела оказывают влияние и другие соображения. При увеличении At погрешности, вызванные аппроксимацией дифференциального уравнения конечно-разностным уравнением, могут возрасти настолько, что результаты расчета потеряют физический смысл. Например, при использовании (4.23) физический смысл еще сохраняется, если значение в конце интервала сравняется со значением равновесной температуры Tv —i в начале лнтервала, определяемым из равенства qv-i =0. Тогда при — Т - из (4.23) получим предельно допустимый интервал времени [c.159]

Вообще говоря, аппроксимация — это замена одного математического объекта другим. Аппроксимация дифференциального оператора Ь разностным оператором Ьк называется согласованной [1], если при стремлении к нулю шагов по времени и по пространству оператор (Ол стремится к нулю. Ясно, что если это условие не выполнено, то построенная математическая модель не соответствует физической. Таким образом, требование согласованности является фундаментальным. Если согласованность разностной схемы отсутствует, то исследованре ее других свойств становится бессмыс-ленн хм. [c.214]

В большинстве зариантов численные значения величин могут быть выбраны из следующих значений Ai — длительность импульса, Б большинстве вариантов принималась равной 10 или 10" с. Дальнейшее сокращение длительности представляет принципиальные трудности для решения из-за необходимости сокращения шагов по времени. Как было установлено при исследовании устойчивости различных аппроксимаций дифференциальных уравнений конечно-разностными методами, решение систем уравнений с длительностями, меньшими 10 , в настоящее время представляет значительные трудности из-за недостаточности объема памяти существующих ЭВМ. [c.187]

На примере уравнений одномерной нестационарной газовой динамики для гиперболических систем с двумя независимыми переменными предложена модификация схемы Г одунова, повышающая при сохранении монотонности порядок аппроксимации дифференциального оператора до второго и уменьшающая размазывание контактных разрывов и скачков малой интенсивности. [c.186]

Обгцей идеей пепосредствеппого дискретного моделирования движения сплошной среды, минуя стадии вывода и аппроксимации дифференциальных уравнений, активно интересовался П.Н. Яненко. Автором совместно с ним было проделано исследование свойств упругой дискретной цепочки (Япепко, Франк 1980), а затем начата работа над дискретными моделями несжимаемой жидкости, которая привела к появлению описанной в 5 5.1 бессеточной модели (Франк, Яненко 1985). [c.8]

Следуя второму методу решения краевой задачи (17), (7) —(10), на первом шаге, определим функции рц при граничных условиях (26). Для сходимости процесса необходимо обеспечить движение квази-границы Ti в направлении искомой Т. Конечно-разностная аппроксимация дифференциального оператора позволяет осуществить этот прием путем сокращения области Rk, i по ф справа от координаты фз (см. рнс. 2) на каждом шаге рещения. Чтобы убедиться в этом, рассмотрим регулярный узел /, /е/ , г, содержащийся в Ti, где Pij = 0, но dpij/d(p = 0. [c.10]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...